应力状态和强度理论

1. 平面应力状态的应力分析·主应力 应力状态和强度理论 平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应力而无切应力这种应力状态。 等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态。

2. A B Me Me B C 应力状态和强度理论 C s 横截面，周向面，直径面各一对 一对横截面，两对纵截面

3. P A B C tB B sA sA A C tC sC sC 应力状态和强度理论

4. 简单拉伸： 横截面只有正应力 应力状态和强度理论 斜截面 单向应力状态

5. 扭转： 横截面只有切应力 应力状态和强度理论 斜截面 纯剪切应力状态 单轴应力状态

6. 应力状态和强度理论 对于图所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图 本节中的分析结果将表明A点也处于平面应力状态。

7. 应力状态和强度理论 平面应力状态最一般的表现形式如图所示，现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面上的应力。

8. 应力状态和强度理论 Ⅰ. 斜截面上的应力 图中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法线n与x轴的夹角α定义，且α角以自x 轴逆时针转至外法线n为正。 斜截面上图中所示的正应力sa 和切应力ta均为正值，即sa 以拉应力为正，ta以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。

9. 应力状态和强度理论 图知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面的面积为dA·cosα，而底面 的面积为dA·sina。图示出了作用于体元诸面上的力。 体元的平衡方程为

10. 需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力ty按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向，故方程中的ty仅指其值。也正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是tx=ty。需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力ty按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向，故方程中的ty仅指其值。也正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是tx=ty。 应力状态和强度理论 由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2a为参变量的求a 斜截面上应力sa，ta的公式：

11. 二向应力状态具有如下性质： 应力状态和强度理论 1，相互垂直的截面上正应力之和为常量。 2，相互垂直的截面上切应力等值反号。

12. The End

13. 斜截面上的应力 应力状态和强度理论 平衡方程为

14. 应力圆 应力状态和强度理论 为便于求得sa，ta，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆)来表示。 先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得： 半径： 圆的方程。 圆心：

15. O C 而这就是如图所示的一个圆——应力圆，它表明代表α斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。 应力状态和强度理论

16. τ E O σ 与 连线。与 轴交点C。作圆，得莫尔圆。 应力圆的作法： 应力状态和强度理论 建立-- 坐标系： 2 C 按规定比例量取： 代表 X截面上应力。 任一截面上的应力可从CD1开始按方向转动2角得CE。 得E点坐标（，）

17. τ O σ 应力圆 单元体 应力状态和强度理论 点面对应， 转向一致， 转角加倍 坐标 点 直径两端 面 垂直两面 应力

18. τ C O σ 主应力与主平面 根据图所示单元体上的应力所作应力圆. 应力状态和强度理论 圆周上A1和A2两点的横座标分别代表该单元体的垂直于xy平面的那组截面上正应力中的最大值和最小值，它们的作用面相互垂直(由A1和A2两点所夹圆心角为180˚可知)，且这两个截面上均无切应力。

19. τ E D1 B2 B1 O σ 2 C F 一点处切应力等于零的截面称为主平面， 应力状态和强度理论 主平面上的正应力称为主应力。 应力圆圆周上点A1和A2所代表的就是主应力；但除此之外，图所示单元体上平行于xy平面的面上也是没有切应力的，所以该截面也是主平面，只是其上的主应力为零。

20. 应力表达式 应力状态和强度理论 求正应力的极大值 可见：正应力的极值点发生在切应力为零处。 即：对复杂的应力状态，当切应力为零时， 正应力取极值。

21. τ E D1 B2 B1 O σ 2 C F 在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作s1，s2，s3。图所示应力圆中标出了s1和s2，而s3=0。 应力状态和强度理论 代数值

22. 当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是s1，也可能是s2或s3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是s1，也可能是s2或s3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。 应力状态和强度理论

23. (a) 应力状态和强度理论 当空间应力状态的三个主应力s1，s2，s3已知时(图a)，与任何一个主平面垂直的那些斜截面(即平行于该主平面上主应力的斜截面)上的应力均可用应力圆显示。

24. 图中所示垂直于主应力s3所在平面的斜截面，其上的应力与s3无关，这类斜截面上应力的点必落在以 s1 和s2 作出的应力圆上。 应力状态和强度理论

25. 同理，显示与s2(或s1)所在主平面垂直的那类斜截面上应力的点必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的应力圆上。同理，显示与s2(或s1)所在主平面垂直的那类斜截面上应力的点必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的应力圆上。 应力状态和强度理论

26. 研究证明，表示与三个主平面均斜交的任意斜截面上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。研究证明，表示与三个主平面均斜交的任意斜截面上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。 应力状态和强度理论

27. 受力物体内一点处代数值最大的正应力smax就是主应力s1受力物体内一点处代数值最大的正应力smax就是主应力s1 应力状态和强度理论 而最大切应力为

28. The End

29. 例题:简支的焊接钢板梁及其上的荷载如图所示，梁的横截面如图。试利用应力圆求集中荷载位置C的左侧横截面上a ，b两点处的主应力。 应力状态和强度理论

30. 解：焊接钢板梁的腹板上在焊缝顶端(图中点f)处，弯曲应力和切应力都比较大，是校核强度时应加以考虑之点；在实际计算中为了方便，常近似地以腹板上与翼缘交界处的 a 点代替 f 点。正因为如此，本例题中要求的也是a点处主应力。梁的自重不计。 应力状态和强度理论

31. 图 图 1. 此梁的剪力图和弯矩图如图。危险截面为荷载作用位置C的左侧横截面。 应力状态和强度理论

32. 2. 相关的截面几何性质为 应力状态和强度理论

33. 3. 危险截面上a点和b点处的应力： 应力状态和强度理论

34. y x 4. 从危险截面上a点和b点处以包含与梁的横截面在内的三对相互垂直的截面取出单元体，其x和y面上的应力如图f和h中所示。据此绘出应力圆。 应力状态和强度理论 (h) (f)

35. 应力圆上点 所表示的是 y x 注意到图f所示单元体，其平行于xy平面的面为主平面（其上无切应力，相应的主应力为零，作应力圆. 应力状态和强度理论 对于点 a 按作应力圆时的同一比例尺可量得

36. y x 应力状态和强度理论 对于点 b s1沿x方向。

37. 应力与应变间的关系 应力状态和强度理论 前已讲到，最一般表现形式的空间应力状态有6个独立的应力分量：sx , sy , sz , txy , tyz, tzx；与之相应的有6个独立的应变分量：ex , ey , ez , gxy , gyz , gzx。

38. 关于应力分量的正负已讲述；至于应变分量的正负为了与应力分量的正负相一致。关于应力分量的正负已讲述；至于应变分量的正负为了与应力分量的正负相一致。 应力状态和强度理论 规定：线应变ex , ey , ez以伸长变形为正，切应变gxy , gyz , gzx 以使单元体的直角∠xoy , ∠yoz , ∠zox减小为正。

39. Ⅰ. 各向同性材料的广义胡克定律 应力状态和强度理论 对于各向同性材料，它在任何方向上的弹性性质相同，也就是它在各个方向上应力与应变之间的关系相同。因此，对于各向同性材料： (1) 在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方向产生线应变，而在包含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变； (2) 在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。

40. 现在来导出一般空间应力状态(图a)下的广义胡克定律。因为在线弹性,小变形条件下可以应用叠加原理，故知x方向的线应变与正应力之间的关系为现在来导出一般空间应力状态(图a)下的广义胡克定律。因为在线弹性,小变形条件下可以应用叠加原理，故知x方向的线应变与正应力之间的关系为 应力状态和强度理论 同理有

41. 应力状态和强度理论 至于切应变与切应力的关系，则根据前面所述可知，切应变只与切应变平面内的切应力相关，因而有

42. 对于图所示的那种平面应力状态(sz＝0，txz=τzx=0，tyz=tzy=0)，则胡克定律为对于图所示的那种平面应力状态(sz＝0，txz=τzx=0，tyz=tzy=0)，则胡克定律为 应力状态和强度理论 各向同性材料的三个弹性常数E，G，n 之间存在如下关系：

43. 当空间应力状态如下图所示以主应力表示时，广义胡克定律为当空间应力状态如下图所示以主应力表示时，广义胡克定律为 应力状态和强度理论 式中，e1，e2，e3分别为沿主应力s1，s2，s3方向的线应变。

44. 对于各向同性材料由于主应力作用下，在任何两个主应力构成的平面内不发生切应变，因而主应力方向的线应变就是主应变── 一点处两个相互垂直方向间不发生切应变时该两个方向的线应变。 应力状态和强度理论 在平面应力状态下，若s3＝0，则以主应力表示的胡克定律为

45. 各向异性材料：正应力可能要引起切应变。切应力要引起正应变。从而在线弹性范围内且小变形的条件下，应力分量与应变分量之间的关系可表达为各向异性材料：正应力可能要引起切应变。切应力要引起正应变。从而在线弹性范围内且小变形的条件下，应力分量与应变分量之间的关系可表达为 应力状态和强度理论

46. 即是完全各向异性材料的广义胡克定律。式中的Cij为弹性常数，其第一个下角标i（＝1，2，┅ ，6）表示它对应于应变分量ex，ey，ez，gyz，gzx，gxy中的第几个，例如C24表示ey对应于tyz的弹性常数。从式中可见，完全各向异性的材料总共有36个弹性常数。 应力状态和强度理论 利用功的互等定理很容易证明，上列弹性常数中存在Cij=Cji这一互等关系，也就是说，在上列一组式子中有(36－6)/2＝15对弹性常数是互等的。可见完全各向异性的材料只有36－15＝21个独立的弹性常数。

47. 各向同性材料的体应变 应力状态和强度理论 材料受力而变形时其体积的相对变化称为体应变q。 取三个边长分别为a1，a2，a3的单元体，它在受力而变形后边长分别为a1(1+e1)，a2(1+e2)，a3(1+e3)，故体应变为

48. 将上式展开并略去高阶微量e1e2，e2e3，e3e1，e1e2e3，再利用各向同性材料的广义胡克定律得将上式展开并略去高阶微量e1e2，e2e3，e3e1，e1e2e3，再利用各向同性材料的广义胡克定律得 应力状态和强度理论

49. 对于以最一般形式表达的空间应力状态，由于单元体每一个平面内的切应力引起的纯剪切相当于这个平面内的二向等值拉压(s1＝t，s3＝－t，s2＝0），从而从上列体应变公式中可见，它们引起的体应变为零。对于以最一般形式表达的空间应力状态，由于单元体每一个平面内的切应力引起的纯剪切相当于这个平面内的二向等值拉压(s1＝t，s3＝－t，s2＝0），从而从上列体应变公式中可见，它们引起的体应变为零。 应力状态和强度理论 可见，对于各向同性材料，在一般空间应力状态下的体应变也只与三个线应变之和有关，即

50. The End