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离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求 :

X x 1 x 2 ... x n ... g(X) g(x 1 ) g(x 2 ) … g(x n ) … P p 1 p 2 ... p n. 2.3. 随机变量函数的分布. 离散型随机变量函数的概率分布 :. 注意. 离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求 :. (1) 由 y=g(x) 计算出随机变量 Y 的所有取值 y 1 ,y 2 ,...,y n ,...;

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离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求 :

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Presentation Transcript

  1. X x1 x2 ... xn ... g(X) g(x1) g(x2) … g(xn) … P p1 p2 ... pn ... 2.3. 随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的概率分布: 注意 离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求: (1)由y=g(x)计算出随机变量Y的所有取值y1,y2,...,yn,...; (2)P(Y=yn)为yn 对应的随机变量X的取值的概率和.

  2. 连续型随机变量函数的概率密度函数 定理1设X~fX(x),y=g(x)是x的单调可导函数,其导数不为0,值域为(a,b),-∞<a<b<+∞,记x=h(y)为y=g(x)的反函数,则Y=g(X)的概率密度函数为:

  3. 第3章 随机向量 • 随机向量及其概率分布 • 随机向量的联合分布函数 • 随机变量函数的分布

  4. 第3.1节 随机向量及其概率分布 例如射击一次.问击中否?击中几环?击中点的坐标?击中点到靶心的距离? 1. n 维随机向量 以 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn为分量的向量 X=(X1,X2,…,Xn)称为n维随机向量。 以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。 2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布 定义如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。 易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量X与Y分别都是一维离散型的。

  5. 联合概率分布 y1 y2 … y j … Y X x1 x2 … x i … p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … p i j … … … … … … 称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,…,)为(X,Y)的联合概率分布.其中E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下: 联合概率分布性质 ① pij≥0 ;i,j=1,2,… ②∑∑pij = 1; 计算P{(X,Y)∈D }=

  6. 边缘概率分布 (1) 定义 随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关于Xi的边缘分布。 (2) 边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列。 若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则 (i=1,2,...) 同理 (j=1,2,...) 一般地,记: P(X=xi) P(Y=yj) Pi . P. j 概率分布表如下:

  7. Y . X

  8. 独立性 若(X,Y)的联合概率分布满足 P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj ) 称X与Y独立。 例1某盒子中有形状相同的2个白球， 3个黑球。从中一个个取球，令

  9. Y1 0 1 Y1 0 1 Y 0 1 Y 0 1 3/10 3/10 3/10 1/10 9/25 6/25 6/25 4/25 Y1 0 1 P 3/5 2/5 Y 0 1 P 3/5 2/5 Y1 0 1 P 3/5 2/5 Y 0 1 P 3/5 2/5 放回 不放回 P{X=xi,Y=yj) ≠P(X=xi)P(Y=yj ) P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj ) 不独立 独立

  10. Y 0 1 2 X -1 0 1 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05 (2)由P{(X,Y)∈D}= 例2二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为: 求:(1)常数a的取值; (2)P(X≥0,Y≤1); (3) P(X≤1,Y≤1) 解 (1)由∑pij=1得: a=0.1 得 P(X≥0,Y≤1)= P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.6 =0.1+0.2+0.1+0.2 =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) (3)P(X≤1,Y≤1) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75

  11. 二维随机向量区域概率图: Y 2 1 P(X≤1,Y≤1} P{X≥0,Y≤1} X -1 0 1

  12. Y 0 1 2 X -1 0 1 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05 X -1 0 1 P 0.25 0.4 0.35 Y 0 1 2 P 0.25 0.5 0.25 X+Y -1 0 1 2 3 P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05 例3设(X,Y)的联合概率分布为: 求:(1)X,Y的边缘分布; (2)X+Y的概率分布. 解(1)由分析得: (2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3, P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05 P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2 P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4 同理,P(X+Y=2)=0.3, P(X+Y=3)=0.05 所以

  13. Y y1 y2 y3 X x1 x2 1/8 1/8 1/6 1 例4设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整. 1/24 1/4 1/12 1/4 3/8 3/4 1/2 1/3

  14. 第3.2节 随机向量的联合分布函数 定义 二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y )=P{X≤x,Y≤y} (x,y)∈R2

  15. 二维联合分布函数区域演示图: Y y (x,y) X { , } X≤x Y≤y x

  16. 联合分布函数性质 (4)如果(X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为 则 F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}=

  17. Y y2 (x1,y2) (x2,y2) y1 (x1,y1) (x2,y1) X x1 x2

  18. 3. 连续型随机向量的联合概率密度 性质 (1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2 其中D为任意可度量区域. 特别 在f(x,y)的连续点有

  19. 例5设(X,Y)～ 试求:(1)常数 A ;(2)P{ X<2, Y<1}; (3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6. (4) P（X≤x,Y≤y）. 解 (1) =A/6 =1 所以, A=6

  20. Y 0 X 所以,P{ X<2,Y<1}= 1 {X<2, Y<1} 2

  21. Y 0 X (3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6. 2 2x+3y=6 3

  22. Y 0 X (4) y x 所以, 当x≥0,y≥0时, 即:

  23. Y X 例6设(X,Y)~ 求(X,Y)的联合分布函数. 解 (1)x<0,或y<0时,F(x,y)=0 (2)x≥1,y≥1时,F(x,y)=1 (3)0≤x≤1,0≤y≤1时, F(x,y)= 1 y 4xy x 1 (4)0≤x≤1,y>1时,F(x,y)= 综合即得: (5)x>1,0≤y≤1时,F(x,y)=

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