Sequential Uniform Design

1. Sequential Uniform Design 序贯均勻設計 脚本：王 柱 制作：王莉丽

2. 前言 通常我们在做完均匀设计的一论分析之后，往往要补做一些试验，以求弥补、修改、验证我们的做法和想法。 既然如此，我们何不从开始就考虑安排两批试验来完成我们的设计，亦即考虑用“序贯均匀设计” 也就是方开泰教授和王元院士在“数轮方法在统计中的应用”一书中提出的SNTO法。 2

3. 参考文献 [1]方开泰,王 元. 数论方法在统计中的应用. 北京：科学出版社, 1996年. [2]方开泰,马长兴. 正交与均匀设计. 北京：科学出版社, 2002年. [3]方开泰. 均匀设计与均匀设计表. 北京：科学出版社, 1994年. 3

4. 诸如最佳生产状态的寻找、最高得率的条 件摸索等一些寻找极值的试验设计，在一定条 件下采用“序贯均匀设计”会更好，可以达到 既减少试验次数，又提高试验精度的目的。 4

5. 对 来说， 一次n1个试验的精度为 。 这时在分析数据结果的基础上，我们在”较好点”的“邻域”内再安排一批n2个试验点，注意这时已缩小了范围。 因此，两批试验的最后精度为 * 5

6. 我们可以适当安排使得 ， 和 * 6

7. 其实，对于固定的s来说， 取k1=k2 , 这时就很容易找到满足两个条件的n1和n2 了。 以此类推，可以在一定范围内做到批数多精 度高，而试验次数又少。 7

8. 可真正做起来却不太容易。 究竟怎么运作，对一个固定的s、n来说， 分几批好，又选什么样的表呢？ 依据 方开泰,马长兴 “正交与均匀设计” 的附表，我们有两个建议。 8

9. 第一个，s=2。 将邻域划分为x和y各5个水平共25个小区域。 用 安排的5个试验点为 (x[1],y[2])；(x[2],y[5])；(x[3],y[3])； (x[4],y[1])；(x[5],y[4]) 9

10. 二维序贯均匀设计 5 4 3 2 1 请记住如下数对： 这是均匀设计的表： 1 2 3 4 5 10

11. 如果最大值在 数对：i j 处 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 旧点为 最大值在（5 4）处 新点为 1 2 3 4 5 11

12. 除第一次安排 5 点外，以后各批均 在剩下的四分之一的区域内安排新的 4 点 （1个中心点为前次的）。 作 k 批试验的点数为 12

13. k批试验点后精度为 一直做下去，可以寻找出在各维中 心两边各0.8倍的范围内的一个极大值。 13

14. 第二个，s=3。 将邻域划分为x、y、z各9个水平共729个小区域。 用 安排的9个试验点为 (x[1],y[6],z[3])； (x[2],y[2],z[8])； (x[3],y[9],z[6])； (x[4],y[3],z[1])； (x[5],y[5],z[5])； (x[6],y[7],z[9])； (x[7],y[1],z[4])； (x[8],y[8],z[2])； (x[9],y[4],z[7])。 14

15. 记 则当 时分 k 批作试验。 除第一次安排 9 点外，以后各批均 在剩下的四分之一的区域内安排新的 8 点 （1个中心点为前次的）。 15

16. 两个建议的共同特点： 随着所选批次 k 的增加，试验点数按算术极数增加 随着所选批次 k 的增加，而试验区域按等比极数缩小 16

17. 模拟实验: 设定义在单位立方体上的函数为 求极值及极值点。 17

18. 做法（1） 使用 x、y、z分的25个水平为： 0.02，0.06, 0.10, 0.14, 0.18, 0.22, 0.26, 0.30, 0.34, 0.38, 0.42，0.46, 0.50, 0.54, 0.58, 0.62, 0.66, 0.70, 0.74, 0.78, 0.82，0.86, 0.90, 0.94, 0.98 18

19. 使用 安排的试验点为： (x[1],y[14],z[16]);(x[2],y[6],z[5]);(x[3],y[22],z[23]); (x[4],y[11],z[12]);(x[5],y[18],z[2]);(x[6],y[3],z[21]); (x[7],y[20],z[10]);(x[8],y[9],z[19]);(x[9],y[24],z[7]); (x[10],y[5],z[14]);(x[11],y[16],z[25]);(x[12],y[2],z[3]); (x[13],y[13],z[8]);(x[14],y[25],z[18]);(x[15],y[8],z[11]); (x[16],y[12],z[22]);(x[17],y[21],z[4]);(x[18],y[1],z[17]); (x[19],y[17],z[15]);(x[20],y[10],z[1]);(x[21],y[23],z[13]); (x[22],y[7],z[24]);(x[23],y[15],z[6]);(x[24],y[4],z[9]); (x[25],y[19],z[20])。 19

20. 结果如下： 9.6922 8.1290 9.8562 9.3538 8.0042 9.3754 9.2410 9.7562 8.7154 9.2290 9.9538 7.5082 8.9514 9.6514 9.0850 9.8434 8.2346 8.9370 9.5794 7.4842 9.2242 9.4002 8.3978 8.2650 9.5370 极值为 9.9538， 极值点为 [11 16 25] =( 0.42 0.62 0.98 ) 。 20

21. 做法（2） 使用两次序贯均匀设计法，先用 x、y、z分的16个水平为： 0.03125 0.09375 0.15625 0.21875 0.28125 0.34375 0.40625 0.46875 0.53125 0.59375 0.65625 0.71875 0.78125 0.84375 0.90625 0.96875 21

22. 使用 安排的试验点为： (x[1],y[12],z[7]); (x[2],y[6],z[12]); (x[3],y[4],z[4]); (x[4],y[14],z[15]); (x[5],y[9],z[1]) ; (x[6],y[1],z[10]); (x[7],y[16],z[5]); (x[8],y[8],z[16]); (x[9],y[5],z[8]); (x[10],y[11],z[13]); (x[11],y[2],z[2]); (x[12],y[15],z[11]); (x[13],y[7],z[6]); (x[14],y[13],z[3]); (x[15],y[3],z[14]);(x[16],y[10],z[9])。 22

23. 结果如下： 9.256103 9.687978 8.325478 9.908603 7.858916 9.005166 8.751103 9.885791 9.204541 9.906728 7.467041 9.580478 8.846728 8.173291 9.178291 9.241416 极值为 9.908603 ， 极值点为 [4 14 15] =(0.218750.84375 0.90625 ) 。 23

24. 在其邻域重新划分， x新分的9个水平为: （0.09375 0.12500 0.15625 0.18750 0.21875 0.25000 0.28125 0.31250 0.34375） y新分的9个水平为: （ 0.71875 0.75000 0.78125 0.81250 0.84375 0.87500 0.90625 0.93750 0.96875） z新分的9个水平为:（ 0.78125 0.81250 0.84375 0.87500 0.90625 0.93750 0.96875 1.00000 1.03125） 24

25. 使用 安排的试验点为： (x[1],y[6],z[3])； (x[2],y[2],z[8])； (x[3],y[9],z[6])； (x[4],y[3],z[1])； (x[5],y[5],z[5])； (x[6],y[7],z[9])； (x[7],y[1],z[4])； (x[8],y[8],z[2])； (x[9],y[4],z[7])。 25

26. 结果如下： 9.840869 9.887275 9.752939 9.921611 9.908603 9.784267 9.988095 9.824462 9.917744 极值为 9.988095， 极值点为 [7 1 4 ] =( 0.28125 0.71875 0.87500 ) 。 26

27. 综合比较，先后两次总共作了24个试验 （一个重复），无论极值，还是极值点，都比 一次25点法更接近真值：极值为10.0， 极值点 ( 0.33 0.65 0.87)。 27

28. 做法（3） 使用三次序贯均匀设计法，先用 x、y、z分的 9 个水平为： （ 1/18 3/18 5/18 7/18 9/18 11/18 13/18 15/18 17/18 ） 28

29. 使用 安排的试验点为： ((x[1],y[6],z[3])； (x[2],y[2],z[8])； (x[3],y[9],z[6])； (x[4],y[3],z[1])； (x[5],y[5],z[5])； (x[6],y[7],z[9])； (x[7],y[1],z[4])； (x[8],y[8],z[2])； (x[9],y[4],z[7])。 29

30. 结果如下： 8.869474 9.502067 9.622807 7.729474 9.515400 9.893919 8.445030 8.195400 9.420585 极值为 9.893919， 极值点为 [6 7 9 ] =(11/18 13/18 17/18) =(0.61111111 0.722222220.94444444)。 30

31. 在其邻域重新划分， x新分的9个水平为: (7/18, 8/18, 9/18, 10/18,11/18,12/18,13/18,14/18,15/18) y新分的9个水平为: (9/18,10/18,11/18, 12/18,13/18,14/18,15/18,16/18,17/18) z新分的9个水平为:(13/18,14/18,15/18, 16/18,17/18,18/18,19/18,20/18,21/18) 31

32. 使用 安排的试验点仍然为： ((x[1],y[6],z[3])； (x[2],y[2],z[8])； (x[3],y[9],z[6])； (x[4],y[3],z[1])； (x[5],y[5],z[5])； (x[6],y[7],z[9])； (x[7],y[1],z[4])； (x[8],y[8],z[2])； (x[9],y[4],z[7])。 32

33. 结果如下： 9.959844 9.794659 9.747005 9.880585 9.893919 9.555400 9.800091 9.659844 9.642807 极值为 9.959844， 极值点为 [1 6 3 ] =(7/18 14/18 15/18 ) =(0.38888889 0.77777778 0.83333333)。 33

34. 在其邻域重新划分， x新分的9个水平为:(10/36,11/36,12/36, 13/36,7/18,15/36,8/18,17/36,9/18) y新分的9个水平为: (12/18,25/36,13/18, 27/36,14/18,29/36,15/18,31/36,16/18) z新分的9个水平为:(13/18,27/36,14/18, 29/36,15/18,31/36,16/18,33/36,17/18) 34

35. 安排的试验点仍为新的： 使用 ((x[1],y[6],z[3])； (x[2],y[2],z[8])； (x[3],y[9],z[6])； (x[4],y[3],z[1])； (x[5],y[5],z[5])； (x[6],y[7],z[9])； (x[7],y[1],z[4])； (x[8],y[8],z[2])； (x[9],y[4],z[7])。 35

36. 结果如下： 9.923363 9.988919 9.885616 9.923085 9.959844 9.908641 9.973888 9.847437 9.950030 极值为 9.988919， 极值点为 [2 2 8 ] =(11/36 25/36 33/36 ) =(0.3055556 0.6944444 0.9166667 )。 36

37. 综合三次结果及真值： 极值为 c b a t 9.9538 9.9880959.988919 10.000 极值点为 c(0.42 0.62 0.98 ) b(0.281250.71875 0.87500 ) a(0.3055556 0.6944444 0.9166667) 真极值点 t(0.33 0.65 0.87 ) 37

38. 综合比较，先后三次总共作的25个试验 （2个重复点），无论极值，还是极值点， 都比二次24点法、更比一次25点法接近真值。 事实上： sum(abs(a-t)) 0.1155555 sum(abs(b-t)) 0.1225 sum(abs(c-t)) 0.23 sum((a-t)^2) 0.004750614 sum((b-t)^2) 0.007128125 sum((c-t)^2) 0.0211 38

39. 最后再次指出：两个建议的共同特点是： 随着所选批次 k 的增加，试验点数按算术极数增加 随着所选批次 k 的增加，而试验区域按等比极数缩小 类似于一维的 “黄金分割法”。 39

40. 40 谢谢！