基础不等式例话

1. 基础不等式例话 序 曲 提起基础不等式 学生易知难深知 阶台要爬几座山 思想点破一层纸

2. 基础不等式 ≥ 一 基础不等式的种种证法 二 基础不等式的左延右伸 三 基础不等式由2到2 k 四 平均不等式由2到3 五 平均不等式的n元推广 六 平均不等式例题应用

3. 基础不等式例话 ≥ 一 基础不等式 种种证法 ≥ 【法一】 比较法 ≥0 【法二】 综合法 ≥0 ≥0

4. 基础不等式的种种证法 只须 俗使 ≥ ≥ 0 只须 ≥0 ≥ ≤ 【说明】以上各种证法，依据都为实数平方的不负性，即 ≥0 【法三】 分析法 【法四】 放缩法 从左到右 【法五】 放缩法 从右到左

5. 基础不等式的种种证法 以 为半径作⊙O 因此有 OP≥HP 即 ≥ 【说明】几何意义 为圆的半径， 为圆的半弦. 不等式 ≥ 的意义为：直径为圆中最长的弦. 【法六】 几何法 设线段AH = a、BH = b 则AB = a+b 点P在圆上，PH⊥AB于H. 由射影定理

6. 基础不等式例话 二 基础不等式的左延右伸 一、定义 对于正数a、b ① 有算术平均数 ② 有几何平均数 ③ 有调和平均数 ④ 有平方平均数

7. 基础不等式的左延右伸 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 二、性质 等号成立的充要条件为a = b 三、证明 （放缩法）

8. 基础不等式例话 基础不等式 为二元平均不等式，它是n元平均不等式——柯西不等式的特殊情况. ≥ 三 基础不等式由2到2 k 特殊是一般的基础，以下我们研究将二元平均不等式推广到n元平均不等式： 首先对n元平均不等式的特殊情况进行证明：当n = 2k 时，以上不等式成立.

9. 基础不等式由2到2k 步骤1 对 不等式用换元法 ≥ ≥ 【说明】由基础不等式 推导方和不等式，旨在强调平均不等式的重要性. 其实按数学的逻辑性，应该是反向的，即是由 ≥ a2 + b2 ≥2ab 用a2代a，得二元方和不等式 a2+b2≥2ab 在方和不等式中，a、b 的取值是任意实数.

10. 基础不等式由2到2k 步骤2 2次运用步骤1的结果，推出4元4次方和不等式 a 4 + b 4 + c 4 + d 4≥ 4abcd 同理，三次运用步骤1的结果，或二次运用步骤2的结果，可推出8元8次方和不等式： a 8 + b 8 +…+ g 8 + h 8 ≥ 8ab…gh 【说明】再次利用8元不等式的结果，第4次运用2元平均不等式，可以推出16元平均不等式 . 如此等等，可以推出 2k 元平均不等式，这里的k为正整数.

11. 基础不等式由2到2k 步骤3 由21到2k，k次运用变化1的结果， 推出2k元2k次方和不等式 【说明】这个结果可以利用数学归纳法或递推数列法进行证明. 即当n = 2k 时，以下不等式成立.

12. 【解析】 a3+b3+c3≥3abc a3+b3+c3+abc≥4abc （Ⅱ） 以下证明（Ⅱ） 四 平均不等式由2到3 基础不等式例话 【问题】a、b、c为正数，试用2元平均不等式证明 a3+b3+c3≥3abc （Ⅰ） 故（Ⅱ）成立，从而（Ⅰ）成立 . 【说明】由2到3，配3为4，二次运用变化1的结果，推出了三元立方和不等式.

13. 平均不等式由2到3 a 5 +b 5 +c 5 +d5 +e 5 +3abcde ≥ 8abcde ① 【说明】用这种补项法还可以证得 ≥ 【问题】a、b、c、d、e为正数，求证 a 5 +b 5 +c 5 +d5 +e 5≥5abcde 【证明】分析法 a 5 +b 5 +c 5 +d5 +e 5≥5abcde 4次运用2元平均不等式，可以证得式①为真，从而证得原不等式真.

14. 五 平均不等式的 n元推广 基础不等式例话 当n = 2k的问题解决之后，我们可以用“补项法”把 n 推广到任意的正整数 N 由2k 到 n，配 n为2k+1，k+1次运用2元平均不等式 推出n元n次方和不等式 【说明】设 n = 2k + m，m < 2k . 设2k–m = p以上不等式变为

15. 平均不等式的n元推广 （Ⅰ） 【证明】 （Ⅱ） 【说明】至此已经证得，对任意的正整数n，n 元 n 次方和不等式成立： 【问题】设 n = 2k + m，m <2k 求证 式（Ⅰ）两边同时加上(2k- m)a1a2 …an 得 对（Ⅱ）第 k+1 次运用2元平均不等式可以证得.

16. 平均不等式的n元推广 柯西不等式 的推得 在 n 元 n 次方和不等式中： 令 a n = x，则得到如下的柯西不等式 其中，等号成立的条件为：x1 = x2 = …=xn 【说明】以上柯西不等式的证法，采用了初等方法，即反复利用2元平均不等式.

17. 平均不等式的n元推广 应用 平均不等式是“和、积不等式” “和”一定，等号成立时，“积”得最大值； “积”一定，等号成立时，“和”得最小值．

18. 平均不等式例题应用 【例1】x≠0，求函数 f (x) = 的值域 【解1】 x， 同号， 或 【解2】设 x 2- yx +1=0 令 (- y ) 2 - 4≥ y 2 ≥4 故函数的值域为（-∞，-2］∪［2， ∞） 得 y ≥2或 y ≤-2 【说明】解1直接运用平均不等式，比用判别式法的解2简便.

19. 平均不等式例题应用 （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 【例2 】正数R+中，求证 【解Ⅰ】 【解Ⅱ】 【解Ⅲ】

20. 平均不等式例题应用 S = xy ≤ ≤ 等号成立的条件为 x = y = 故所求的最大值为4S = 2R2 作圆 x2 + y2 = R2的内接矩形，矩形的4条 边分别平行于轴．问矩形的面积何时最大？ 【例3】 【解1】（放缩法） 设矩形在第一象限面积为 S，则

21. 平均不等式例题应用 设 x=Rcosθ，y = Rsinθ S = xy =Rcosθ·Rsinθ=R2sinθcosθ = sin2θ≤ 【说明】 此法涉及换元和三角函数的最值，不如解法1（利用　　 ≥ 进行放缩）简明. 【例3】 作圆 x2 + y2 = R2的内接矩形，矩形的4条 边分别平行于轴．问矩形的面积何时最大？ 【解2】（参数法） 当θ=45°时，等号成立. 所求最大值为 4S = 2R2

22. 平均不等式例题应用 令 = 0 得x = （下略） 【说明】 此法涉及求导，不如解法1（利用　　 ≥ 进行放 缩）简明. 作圆 x2 + y2 = R2的内接矩形，矩形的4条 边分别平行于轴．问矩形的面积何时最大？ 【例3】 【解3】（求导法）

23. 平均不等式例题应用 作椭圆 的内接矩形，矩形的4条 边分别平行于轴．问矩形的面积何时最大？ 【说明】 上例中的三种解法对本题有效，但仍以解法1（利用　　 ≥ 进行放缩）简明. 【例4】

24. 平均不等式例题应用 【解析】内接矩形在第一象限的部分为小矩形 OQPT，其面积设为S．则有

25. 平均不等式例题应用 设 =s， = t，则得单位圆 s 2 + t 2 =1. 当s = t = 时，单位圆内接矩形面积获得最大值. 令 ，即 时， 椭圆 内接矩形面积的最大值为 【另解】（单位圆法）

26. 平均不等式例题应用 在抛物拱 y =1-x2（-1≤x≤1）上作内接矩形（一边在x轴上），何时面积最大？ 【例5】

27. 平均不等式例题应用 内接矩形在第1象限的部分为小矩形QPS，其面积设为S，则有 【解析】

28. 尾 声 基础不等式例话 熟读唐诗三百首 不会提笔也上口 弄清题根三十道 解题、编题来两手