Le nombre au cycle 2

1. Le nombre au cycle 2 Juvigny le 23 février 2011 et St Denis Sur Sarthon le 23 mars

2. Sommaire ILa construction du concept de nombre en maternelle II Les groupements à la base de notre système de numération III Numération chiffrée et numération orale IV Le calcul mental, « un champ d’expérience particulièrement riche pour la construction de connaissances relatives aux nombres » V Exemples de « problèmes pour chercher » dans le domaine numérique

3. La construction du concept de nombre en maternelle I Quelques remarques concernant le dénombrement II Quelques points concernant la construction du concept de nombre qui semblent importants

4. I Quelques remarques concernant le dénombrement Remarque préalable : dénombrer c’est trouver le nombre d’éléments d’une collection quel que soit le moyen utilisé pour trouver ce nombre. 1°) Les différentes manières de dénombrer a) Dénombrement par reconnaissance immédiate des petites quantités b) Dénombrement par comptage un par un : on utilise la comptine numérique Ce qui est difficile c’est de faire comprendre que le dernier mot-nombre prononcé n'est pas un simple numéro mais représente à lui seul la quantité de tous les objets. • Première remarque concernant le dénombrement par comptage : Pour réussir à dénombrer les éléments d’une collection par comptage l’enfant doit comprendre, comme on vient de le dire, que le dernier mot-nombre prononcé représente à lui seul la quantité de tous les objets. Il doit aussi, en amont : • comprendre que la nature des objets à compter n’a pas d’importance • comprendre qu’on peut compter les objets dans n’importe quel ordre. • - savoir énumérer les éléments d’une collection c’est-à-dire savoir passer tous les éléments en revue sans en oublier et sans en désigner un deux fois.- connaître la comptine numérique- savoir associer à chaque élément de l’ensemble un mot-nombre et un seul de la comptine récitée dans l’ordre.

5. Deuxième remarque concernant le dénombrement par comptage : Etant donné les difficultés posées par le dénombrement par comptage, Brissiaud préconise dans son ouvrage « Premiers pas vers les maths – Les chemins de la réussite à l’école maternelle » d’autres activités à pratiquer en PS et début de MS.

6. Les propositions de Brissiaud consistent en un travail sur les liens entre les nombres, les décompositions : Exemple en PS : « quatre » « un » « un » « un » « et un »

7. Troisième remarque concernant le dénombrement par comptage : On peut procéder ainsi : Si les objets sont déplaçables : « trois » « quatre » « un » « deux » Si les objets ne sont pas déplaçables : « quatre » « trois » « deux » « un »

8. c) Dénombrement en utilisant des "collections-témoins organisées" (configurations spatiales diverses, configurations digitales, etc.) qui servent de repères Remarque :On ne peut pas bien concevoir la notion de nombre si on n’est pas conscient des liens qui unissent les nombres : Exemples : « 3 est plus petit que 4 » ; « 3 et 1 ça fait quatre ». « deux » « et encore un » « ça fait trois »

9. Remarques concernant les représentations : - Il semble souhaitable de ne pas toujours utiliser la même configuration de doigts - La présence de bandes numériques collectives ou individuelles est importante (remarque : si la file numérique commence par 1 et non par 0, on fera plus facilement le lien entre aspect ordinal et aspect cardinal du nombre) 3°) Ne pas oublier que le nombre a aussi « un aspect ordinal » : lundi est le premier jour de la semaine, mardi le deuxième, etc. Exemple d’activité : Boîte contenant un objet « Comment faire comprendre dans quelle boîte se trouve l’objet, sans montrer cette boîte »

10. b) L’utilisation du calendrier 17 On est le 17. 1°) Combien de jours se sont passés depuis le 14 ? 2°) La maîtresse Aline revient dans combien de jours ? 3°) Combien de jours jusqu’à l’anniversaire de Pierre ?

11. Autre exemple : On ajoute trois jetons. On ajoute quatre jetons. Combien y a-t-il de jetons dans la boîte ? On peut ensuite vérifier en vidant la boîte. (la réflexion précède ici la manipulation qui sert à vérifier si le résultat qu’on a trouvé est exact) Boîte opaque

12. Les trois fonctions du nombre: • Mémoire d’une quantité • Mémoire du rang • Anticipation: donner le résultat d’une action sans avoir à la réaliser.

13. Les trois concepts: • Le concept de collection: (objets unis par une propriété commune) • Le concept de désignation: (remplacer un objet par un symbole) • Le concept d’énumération: (pointer une et une seule fois tous les éléments d’une collection)

14. II Les groupements à la base de notre système de numération

15. II Les groupements à la base de notre système de numération Notre système de numération est basé sur les groupements (on fait des paquets de dix puis de cent puis…) mais ce qui est important c’est que l’élève comprenne l’intérêt de faire des paquets de dix (quand on a beaucoup d’objets à dénombrer, on fait des paquets et ensuite on compte ces paquets). Exemples d’exercices permettant de voir si un élève a compris ou pas l’intérêt de faire des paquets : Premier exemple :Dans la case blanche écris en chiffres combien il y a de croix. X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

16. Deuxième exemple : Dans la case blanche écris en chiffres combien il y a de doigts.

17. Troisième exemple : Dessine dans le grand cadre blanc le nombre de croix correspondant au nombre écrit sur l’étiquette. Attention, on doit tout de suite voir que c’est juste.

18. Pour les CP, il s’agira de construire des stratégies pour dénombrer rapidement et de manière fiable des collections de 60 à 100 objets et au CE de plusieurs centaines voire milliers d’objets. L’évolution du CP au CM2 se fait au niveau du passage de collections réelles à des collections représentées sous différentes formes:Par exemple dans ERMEL les situations « les fourmillions » (CP), « les cahiers » (CE1), « les craies » (CE2),« les trombones » (CM1) et « les tickets de cantine » (CM2) entrent dans cette catégorie. Les « fourmillions »

19. III. Numération chiffrée et numération orale

20. III Numération chiffrée et numération orale 1°) Généralités sur les changements de registre De façon générale, les concepts mathématiques sont des concepts compliqués. Pour bien les appréhender, il est nécessaire de disposer de plusieurs registres et de savoir passer de l’un à l’autre. Exemple concernant la notion de nombre : Au cycle 1 :

21. Au cycle 2 :

22. Au cycle 3 :

23. Remarque : Passer du registre des désignations orales au registre des écritures chiffrées nécessite de comprendre que certains mots sont traduits par des chiffres et d’autre pas et en plus qu’il faut écrire des chiffres « qu’on n’entend pas » : est traduit par le chiffre 3 mais on doit écrire aussi un 0 « qu’on n’a pas entendu » : 3 2 0 3 trois mille deux cent trois est traduitpar le chiffre 3 est traduitpar le chiffre 2 n’est pas traduit par un chiffre mais indique que le chiffre 3 doit être mis à une certaine place : 3 _ _ _ n’est pas traduit par un chiffre mais indique que le chiffre 2 doit être mis à une certaine place : 3 2 _ _ Remarque : notre système de numération orale est un système hybride dans lequel les noms des nombres sont composés suivant un principe additif (dix-sept) ou multiplicatif (deux-cents).

24. Parmi les différentes manières de représenter les nombres on peut citer la représentation « en carte à points » qui permet, en particulier de travailler les doubles et les compléments à dix.

25. Ensuite, on se compte et on trouve qu’on est 23. On peut faire en sorte que les élèves établissent le lien entre le 2 et le nombre de cartons pleins et entre le 3 et les trois points du dernier carton ...

26. Problème : Voici le tableau des présents dans une autre classe ? Combien y a-t-il d’élèves dans cette classe ?

27. 2°) Le passage des écritures chiffrées aux désignations orales et réciproquement Une grande partie des difficultés rencontrées par les élèves sont dues aux irrégularités de notre numération orale car en français, les règles de lecture des nombres sont complexes et souffrent de nombreuses anomalies (on dit "treize" et pas "dix-trois" ; on dit "soixante-douze" et pas "septante-deux" ; on dit "cent" et "mille" mais "un million", etc.). a) Les noms des dizaines 40 se dit quarante alors que dans les langues asiatiques ont dit « quatre-dix », ce qui est beaucoup plus porteur de sens. b) Des nombres ayant des noms bizarres  Stella Baruk les appellent « les cachotiers »

28. Remarques - on peut travailler sur les écritures chiffrées de ces nombres avant de savoir les nommer 7 8 Autrefois, certains aimaient bien faire des paquets de soixante soixante - dix - huit

29. 8 3 9 4 Autrefois, certains comptaient avec les doigts des mains et des pieds. quatre-vingt-trois quatre-vingt-quatorze - On peut utiliser ce qu’on entend : Pour soixante treize : 60 + 13 = 73 Pour quatre-vingt-deux : 20 + 20 + 20 + 20 + 2 = 82Pour 93 : 20 + 20 + 20 + 20 + 13 = 93

30. c) Des idées tirées du tome 1 de l’ouvrage de Stella Baruk « Comptes pour petits et grands » publié aux éditions Magnard) Le fil conducteur est de s’appuyer sur ce qu’on entend.Exemples :

32. Par ailleurs:

33. d) Evaluer les élèves en distinguant différentes compétences mises en jeu dans l’apprentissage de la numération - Comprendre comment on exprime des quantités à l’aide d’écritures chiffrées (sans intervention de la numération orale)

36. Vidéo 2 : les abaques

38. - Comprendre le fonctionnement de notre système d’écritures chiffrées (sans intervention de la numération orale) (aspect algorithmique: les compteurs) ) Exemples d’exercice (à adapter au niveau) : - Ecris en chiffres le nombre qui vient juste après le nombre donné : - Ecris en chiffres le nombre qui vient juste avant le nombre donné : - Ecris en chiffres le nombre compris entre les deux nombres donnés : - Complète la phrase suivante par un nombre écrit en chiffres : ………………………. se trouve entre 129 et 131

39. - Ecris à leur bonne place les nombres 324, 354 et 408 - Entoure le plus grand des deux nombres : 524 et 673 - Range du plus petit au plus grand les nombres 38, 402, 24 et 342

40. - Comprendre comment on exprime des quantités à l’aide de désignations orales des nombres • Exemples d’exercices (à adapter au niveau) : • - Lis ces écritures chiffrées : • 123 238 199 2178 5674 - Ecris en chiffres les nombres que je vais te dicter…. - Comprendre le fonctionnement de notre système de désignations orales (aspect algorithmique) Exemples d’exercices (à adapter au niveau) : - Demander le nombre qui vient juste après cent-quatre-vingt-dix-neuf, le nombre qui vient juste avant cent-vingt-trois (L’enseignant et l’élève utilisent des désignations orales des nombres) - Demander à l’élève d’écrire avec des chiffres le nombre qui vient juste après cent-vingt-trois, le nombre qui vient juste avant cent-vingt-deux (L’enseignant utilise des désignations orales ; l’élève produit des écritures chiffrées)

41. - Demander le nombre compris entre quatre-vingt-neuf et quatre-vingt-onze (L’enseignant et l’élève utilisent des désignations orales) - Demander à l’élève d’écrire en chiffres le nombre compris entre quatre-vingt-neuf et quatre-vingt-onze (L’enseignant utilise des désignations orales et l’élève produit des écritures chiffrées) - Demander un nombre compris entre cent-vingt-deux et cent-cinquante (L’enseignant et l’élève utilisent des désignations orales) - Demander à l’élève d’écrire en chiffres un nombre compris entre cent-vingt-deux et cent-cinquante (L’enseignant utilise des désignations orales et l’élève produit des écritures chiffrées)

42. 3°) Des situations à reprendre aux différents niveaux de la scolarité en adaptant le domaine numérique (d’après des propositions de Denis Butlen et Pascale Masselottirées du document « le nombre au cycle 2 » récemment mis en ligne sur le site Eduscol) a) Situations d’échange pour travailler les écritures chiffrées des nombres Remarque :Pour des vidéos concernant le jeu du banquier au cycle 2, voir :http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/Videos/Videos.asp - Situations amenant à repenser les groupements par rapport aux échanges Il s’agit d’amener les élèves à lire dans l’écriture d’un nombre des informations liées aux échanges ou aux groupements qui ont été effectués.La situation de référence est par exemple le problème des timbres : les timbres sont vendus par carnets de dix timbres.Paul a besoin de 260 timbres. Combien doit-il acheter de carnets ?Corinne a besoin de 500 timbres. Combien doit-elle acheter de carnets ?

43. Remarques :- Comprendre que, dans 623, le chiffre des dizaines vaut 2 mais que le nombre de dizaines vaut 62 est un objectif important mais il me semble qu’il faut faire attention à ne pas aller trop vite avec des élèves en difficulté et qu’il est souhaitable de s’appuyer s’appuyer sur le matériel de numération utilisé. 6 2 3 Le chiffre 2 indique le nombre de dizaines « visibles » Mais il y a aussi 60 dizaines « cachées dans les centaines »

44. - Au cycle 3, il s’agira de comprendre que 1 2 4 1 , 7 8 c’est : 1 millier 2 centaines 4 dizaines 1 unité 7 dixièmes 8 centièmes mais c’est aussi, par exemple : 12 centaines 41 unités 78 centièmes b) Situations abordant le point de vue algorithmique (dans les deux systèmes de numération) Activités autour des familles de nombres comme dans la situation du « jeu du château » en CP/ CE1 (cf. les ouvrages de l’équipe ERMEL publiés par Hatier) (ouvrages)

45. Remarque : « chef de famille » « Tableau Brissiaud » « Tableau ERMEL» Permet de travailler le sens des écritures chiffrées Permet de travailler sur les désignations orales des nombres 23 c’est 2 paquets de dix et 3 unités 23 appartient à «la famille des vingt»

46. Vidéo 1 : le boulier

47. Activités autour des compteurs (avec des chiffres ou avec des mots) et des calculatrices Exemple d’activité : Un premier nombre est affiché sur l’écran de la calculatrice (par exemple 1234). Sans éteindre la calculatrice, ni effacer le nombre affiché, il s’agit d’obtenir l’affichage de 1334 en tapant le minimum de touches.

48. c) Situations d’exploration des règles de la numération orale et de mise en relation avec la numération de position (chiffrée) Construire un dictionnaire de nombres (CP)Au CP on peut construire un livret dédié à l’écriture des nombres. Chaque page est consacrée à un nombre. L’élève y inscrit différentes écritures ou représentations de ce nombre. Les pages vont s’enrichir progressivement. Mettre en correspondance les deux types d’écritures L’élève dispose de deux jeux de cartes. Le premier comporte des cartes sur lesquelles il y a les écritures chiffrées de nombres entiers (par exemple les n premiers nombres). Le second est un jeu de cartes avec les mots-nombres correspondant.La consigne est la suivante : Il faut remettre dans l’ordre les différents nombres. Dans la colonne de gauche tu écris les nombres du plus petit au plus grand avec des chiffres. Dans la colonne de droite tu écris avec des mots.

49. Simuler un « compteur manuel » permettant d’écrire les nombres avec des mots Combien de chiffres ? Combien de mots ?Un nombre étant énoncé par l’enseignant, l’élève écrit sur son ardoise le nombre de chiffres nécessaires pour l’écrire. Inversement, un nombre étant écrit au tableau avec des chiffres, l’élève doit écrire sur son ardoise le nombre de mots nécessaires. L’institutionnalisation porte sur la longueur de l’écriture d’un nombre qui ne dépend pas systématiquement de sa grandeur : le nombre « deux-cent-vingt-trois » comporte plus de mots que le nombre « trois-cents».

50. Remarque : pour d’autres idées d’activités, voir, par exemple les ouvrages de l’équipe ERMEL (ouvrages) On y trouve, par exemple des activités de ce type :