Électrostatique: L’énergie

1. Électrostatique:L’énergie

2. Énergie potentielle électrique • Analogie avec force gravitationnelle • Soulever une masse (force FG=mg) dans le champ gravitationnel = travail • Ce travail se transforme en énergie potentielle • Énergie potentielle proportionnelle à la masse • En tombant le corps perd de l’énergie potentielle et gagne de l’énergie cinétique ® ® ® ® • Déplacer une charge (force FE=q0E) contre l’influence d’un champ électrique = travail • Ce travail se transforme en énergie potentielle électrique • Énergie potentielle (EP) proportionnelle à la charge • En se déplaçant l’une vers l’autre deux charges opposées perdent de l’énergie potentielle et gagnent de l’énergie cinétique

3. Potentiel électrique Indépendance vis-à-vis de la charge  Énergie potentielle électrique par unité de charge : Potentiel électrique ou potentiel ou tension Unité: Joule/Coulomb (J/C)  Volt (V) NB. Précédemment: Unité de champ électrique: N/C Plus couramment mesuré en V/m Équivalence:

4. Différence de potentiel électrique Travail effectué sur une charge de A vers B Segment AB divisé en n segments Dlj(suffisamment petits pour E ne varie pas) ® ® Force F déplace la charge du repos vers le repos(Énergie cinétique nulle) Dans le sens du déplacement (parallèle au champ électrique) opposée à la force du champ électrique: Fj=F­j; Ej=E­j ® ® Travail énergie potentielle Potentiel:  Sur AB:

5. Différence de potentiel (suite) La différence de potentiel entre deux points A et B estégale au travail effectué contre le champ pour déplacerune charge positive unitaire de A vers B sans accélération Quantité relative: aucun point de l’espace n’est « zéro absolu » Charge positive sans vitesse initiale se déplace d’un potentiel élevé vers un potentiel plus bas (DV<0): Perte d’énergie potentielle et gain d’énergie cinétique

6. Différence de potentiel (suite) De même: Charge négative sans vitesse initiale se déplaced’un potentiel bas vers un potentiel plus élevé (DEP = q0.DV<0) Conservation de l’énergie: le travail effectué pour déplacerune charge ne dépend pas du chemin suivi Proton se déplaçant dans DV=1V: Perte d’énergie potentielle DEP=qe´DV=1.6´10-19J  1 eV Électron-volt: unité d’énergie à l’échelle microscopique

7. Électrophorèse Déplacement particules chargées dans un champ électriqueuniforme  dépend de la charge et de la taille de l’ion (g: coefficient de friction) Vitesse électrophorétique: Mobilité électrophorétique: Électrophorèse analytique : migration sur gel (ex.: agarose):  fonction de la charge et de la taille des ions • Exemple: séparation d’ADNchromosomique • Champ: 5,1 V/cm • Durée: 34 heures

8. Exemple: tube à rayons cathodiques Électrons émis par cathode chauffée Accélérés dans DV=20kV Vitesse finale ? DEPE=qeDV=(-1.6´10-19C)(20´103V) = -3,2´10-15 J ECi+EPi=ECf+EPf; ECi=0  ECf=EPi-EPf=-DEPE ½ mevf2 = 3,2´10-15 J vf= 8,4´107 m/s

9. Potentiel dans un champ uniforme Charge positive Dans le sens du champ Dans le sens opposé Potentiel nul pour un déplacementperpendiculaire au champ (de C en B par ex.)  Travail nul !

10. Déplacement parallèle à un champ électrique uniforme Déplacement de B en A: VA-VB=-Ed Potentiel borne + de la pile supérieurde 12V à celui de la borne - Champ électrique entre les plaques si distantes de 2 mm ? E = 6,0 kV/m

11. dl q Potentiel d’une charge ponctuelle Analogie avec énergie gravitationnelle dl tangente à la trajectoire  dr=-cosqdl  Potentiel nul à l’infini 

12. Exemple Différence de potentiel en allant de B vers A (q=+10µC; rB=10 cm; rA=20 cm) VA-VB=-0,45 MV

13. Équipotentielles Déplacement d’une charge perpendiculairement au champ électrique  pas de travail (pas de variation de potentiel) Équipotentielle: ligne partout perpendiculaire au champ Potentiel à distance R d’une charge ponctuelle q Même potentiel dans toutes directions  Surfaces équipotentielles = sphères concentriques Champ électrique toujours normal à ces surfaces

14. Équipotentielles (suite) • Rappel: conducteurs • Champ partout ^ à leur surface • Leur surface est une équipotentielle • Intérieur du conducteur en équilibre électrostatique (aucun champ) volume équipotentiel • Terre: conducteur  surface équipotentielle (potentiel zéro) • Équipotentielles représentées par des lignes • Séparées par une différence de potentiel constante • Équidistantes dans champ uniforme

15. Potentiel créé par plusieurs charges Potentiel: quantité scalaire  Potentiel d’un système de charges ponctuelles=somme algébrique des potentiels créés par chacune descharges Exemple: potentiel au point A VA = 45 V Mais EA= 0,0 N/C !

16. Équipotentielles de deux charges égales Les surfaces deviennent sphériquesà distance • Pour un dipôle, le potentiel s’annuleà mi-chemin • Le plan médiateur (égale distance des deux charges) = équipotentielle (V=0) • Les lignes de champ sont ^ à ce plan • Aucun travail n’est nécessaire pour y déplacer une charge

17. Potentiel créé par une distribution continue de charges Charge ponctuelle: Élément différentiel de charge » charge ponctuelle Potentiel total = somme (intégrale) des éléments dV V sur l’axe de l’anneau ?

18. Exemple: V(r)=kQ/r Détermination de E à partir de V Relation entre E et V pour une distribution de charges DV: somme de différences infinitésimales  E est l’opposé du gradient de V Rappel: E­ composante du champ parallèle au déplacement Champ radial: Er=-dV/dr Dans l’espace V(x,y,z):

19. Potentiel et configuration de charges Relation entre charge, géométrieet travail (pour ajouter une charge) Plus une sphère est chargée négativement, plus il faut de travail pour lui ajouter un électron  A densité surfacique égale la charge et le potentielde la plus grande sphère sont plus élevés Mais potentiel maximum: apport électron supplémentaire impossible

20. Générateurs électrostatiques • Générateur de Van de Graaff: • Charge à l’intérieur d’un conducteur • Aucun champ ne la repousse • Potentiel limité par propriété isolante de l’air • Claquage: dépassement de la rigidité du diélectrique

21. Conservation de la charge • Laboratoire immobile dans Champ uniforme • Déplacement charge de l’extérieur (potentiel arbitraire V=0) vers l’intérieur DEPE=q0DV • A l’intérieur du laboratoire: impossible de mesurer V  DV’=DV+DV0 • Disparition de la charge ? • Conservation de l’énergie  même transformation d’énergie doit être observée dans et hors du laboratoire (au repos) • Impossible car DV’ ¹DV

22. Capacité Définie par Volta (18ème siècle): Quantité de charge (Q) qu’un corps peut emmagasiner àun potentiel V Unité: Coulomb par Volt (C/V)  le farad 1 F = 1 C/V (Toujours positif !) 1 F : grande capacité Unité courante en électronique: le µF=10-6 F ou le pF=10-12F Plus gros condensateurs en électromécanique NB: Homme » 100pF; vache » 200pF

23. Capacité d’une sphère métallique Rayon R: Donc C=4peR Dans l’air (e » e0): C=4pe0R • La capacité d’une sphère métallique est donc proportionnelle à son rayon • Elle reste cependant modeste car 4pe0 » 10-10

24. Bouteille de Leyde • Conducteurs (plaques métalliques) séparés par un isolant (verre) • Charge du conducteur interne induit charge sur conducteur externe • Répulsions charges conducteur interne plus faibles  plus de charges stockées pour un même potentiel

25. Condensateur plan • Conducteurs plans séparés par isolant (air ou isolant plus puissant) • Réduction de potentiel lors de l’approche du conducteur neutre relié à la terre Capacité d’un condensateur plan? C=Q/DV Champ électrique uniforme entre armatures: DV=Ed Capacité augmente avec S et e diminue quand d augmente

26. Le farad est une grande valeur … Taille d’un condensateur de 1 F à plans parallèlesd’armatures carrées séparées par 1 mm d’air ? L=ÖS=10,6km Si air remplacé par du verre (e=10e0): L = 3,35 km

27. Action du diélectrique • Polarisation du diélectrique champ interne plus faible (E=s/e) • Charge opposée en face du conducteur  Différence de potentiel diminue (DV=Ed) à charge constante des conducteurs

28. Réalisation technique • Feuilles d’aluminium séparées par un isolant (papier, mylar, …) • L’isolant peut être un électrolyte

29. Association de condensateurs Circuit électrique Association en parallèle Capacité résultante ? V=V1=V2=V3 Q=Q1+Q2+Q3 Donc CV=C1V1+C2V2+C3V3=V(C1+C2+C3) et C=C1+C2+C3 La capacité de condensateurs associés en parallèle est lasomme des capacités individuelles

30. Exemple: un circuit simple Équivalent à: Q1=VC1=(12V)(20´10-6F)=2,4´10-4C Q2=VC2=(12V)(30´10-6F)=3,6´10-4C Condensateurs montés en parallèle: C=C1+C2=(20´10-6F)+(30´10-6F)=50µF =Q1+Q2 Charge correspondante: Q=CV=6,0´10-4C

31. Association en série Équivalent à Charge + de C3 provoque charge – égale et opposée sur C2 (électrons chassés de C3) etc…  Q=Q1=Q2=Q3 Chute de potentiel totale (V): V=V1+V2+V3 V=Q/C, donc :

32. Exemple: circuit mixte Équivalent à Calculer C, V1, V2, V3, Q1, Q2, Q3 Q3=C3V3=(5,0µF)(12V)=60µC Q=CV=(6,0µF)(12V)=72µC Q1=Q2=Q-Q3=(72µC)-(60µC)=12µC C=C12+C3=(1,0µF)+(5,0µF)=6,0µF

33. Donc Énergie stockée dans un condensateur • Charge d’un condensateur = travail • Quantité d’énergie indépendante de la façon de charger • Charge +Q d’une armature à l’autre (celle de départ reste avec –Q) • Avec accumulation des charges le potentiel augmente  force répulsive augmente • Travail avec force variable : calcul avec force moyenne (ou différence de potentiel moyenne) V varie linéairement de 0 à V=Q/C: potentiel moyen V/2

34. Exemple: énergie stockée dans un réseau de condensateurs Énergie stockée dans le circuitprécédent ? EPE = EPE1+EPE2+EPE3= 432µJ Vérification

35. C1 12 V 6 V C2 4 µF 2 µF Décharge du condensateur Si possibilité : électrons se déplacentde l’armature – à l’armature + DV=0 en cas de court-circuit Décharge de 2 condensateurs parallèles(C1=4µF; C2=2,0µF; V1=12V; V2=6V) Connexion armatures + (aucun mouvement de charge) Connexion armatures – (mouvement charges  équilibre) Avant connexion: Q1=C1V1=(4µF)(12V)=48µC Q2=C2V2=(2µF)(6V)=12µC Q=60µC Après connexion (même V): Q1=40µC; Q2=20µC

36. Énergie emmagasinée et champ électrique Travail pour charger le condensateur º champ électrique C=eS/d et V=Ed Énergie emmagasinée par le champ électrique estproportionnelle au carré du module du champ Champ électrique peut être traité comme milieutransportant énergie et quantité de mouvement Le vecteur en est le photon