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引 力 作 用 习题解

引 力 作 用 习题解. 6-1 ， 6-2 ， 6-3 ， 6-4 。. 6 -1 大约 200 年前，法国数学家兼天文学家拉普拉斯于 1796 年曾预言：“一个密度如地球而直径为太阳 250 倍的发光恒星，由于其引力作用，将不容许任何光线离开它，试证明之。 已知：太阳的半径是地球的 109 倍 地球的逃逸速度 v 逃 =11.2  10 3 m / s 解：设光子能量为 E ，相应质量为 m =E/c 2 。 光线不能离开恒星的条件为： GmM S / R S = E.

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  1. 引 力 作 用 习题解 6-1，6-2，6-3，6-4。

  2. 6 -1 大约 200 年前，法国数学家兼天文学家拉普拉斯于 1796 年曾预言：“一个密度如地球而直径为太阳 250 倍的发光恒星，由于其引力作用，将不容许任何光线离开它，试证明之。 已知：太阳的半径是地球的 109 倍 地球的逃逸速度 v逃=11.2  103 m / s 解：设光子能量为 E，相应质量为 m =E/c2。 光线不能离开恒星的条件为： GmMS / RS = E

  3. M太 = 109M地 , v逃=11.2×103 m / s , m =E /c2. GmMS / RS = E (1)  MS =  4RS3 / 3， M地 = 4R地3 / 3  MS = M地 RS3 /R地3 代入(1)式得： G (E /c2 )( M地 RS3 /R地3 )/ RS = E (RS/R地)2= c2 /(GM地 /R地) = c2/v逃2  RS/R地 =c/ v逃 RS =( c/ v逃 )R地= ( c/ v逃 ) R太/ 109  RS =( 3 108  11.2  103 109 )R太 RS  250 R太

  4. 6 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为ρ，半 径为 R )。

  5. 6 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为ρ，半 径为 R )。

  6. 6 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为ρ，半 径为 R )。 解：当 r > R，圆柱体外， 如图作高斯面：  g高 = g侧+ g两底 = g侧 ∮Eg•dS = 侧Eg•dS = - 2r l Eg Σ(S内) mi =  R2l - 2r l Eg = - 4 G R2l Eg = 2R2G /r

  7. 6 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为ρ，半 径为 R )。

  8. 6 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为ρ，半 径为 R )。

  9. 6 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为ρ，半 径为 R )。 解：当 r < R，圆柱体内， 如图作高斯面：  g高 = g侧+ g两底 = g侧 ∮Eg•dS = 侧Eg•dS = - 2r l Eg Σ(S内) mi =  r2l - 2r l Eg = - 4 G r2l Eg = 2r G

  10. R m F o r  6 -3 假定沿地球某一直 径打通一个隧道， (a) 证明在距地心 r 处 质量 m 上的受力为： F = - 4  G  m r / 3 证：Eg = - GMr / R3 ，M =  4  R3 / 3 Eg = - G ( 4  R3 / 3 ) r / R3 =- 4  G  r / 3  F = m Eg = - 4  G  m r / 3

  11. R m F o r  (b)证明 m 的运动是简诣振动，周期约 84分钟，忽略物体的摩擦力。 已知：地球的平均密度ρ= 5.5  103 kg / m3 G = 6.67  10 -11 N m2 / kg2 证：F = - 4Gmr/3 牛顿第二定律： F = m d2r/dt2 m d2r/dt2 = - 4Gmr/3 d2r/dt2 +(4G/3) r = 0   = (4  G  / 3) 1/2 周期 T = 2  /  = 2  /( 4  G  / 3 ) 1/2 = 5067 秒钟  84 分钟

  12. Fx x o m x r F R  (c)若隧道不沿地球直径，而是地面上任意两点的直线开挖，证明 m 的运动也是简诣振动，而且振荡周期完全相同。 证： F = - 4Gmr/3  Fx = - 4Gmrsin/3 = - 4Gmx /3  Fx = m d2x /dt2 m d2x /dt2 = - 4Gmx /3 d2x /dt2 +(4G/3) x = 0  ’ = (4  G  / 3) 1/2 =  周期 T’ = T

  13. r 6 -4 证明将物体象洋葱似地一层层加上去形成一个半径为 R 的球体 ( 球的密度保持一定 )时所需要的能量为 E = - 3 GM2 / 5R，其中 M 是球体的总质量。 dr 证：设球体半径为 r 时， 质量为 m =  4r3/3 。 引力势分布为： Vg = - Gm /r’ ( r’ > r ) 当半径为 r，厚度为 dr 的球壳 ( 其质量为 dm =  4r2dr ) 从无穷远加到半径为 r 的球体上时，外力作微功为： dA外 = dm [ Vg (r) - Vg () ]

  14. m =  4r3/3 ，dm =  4r2dr Vg = - Gm /r’ ( r’ > r ) dA外 = dm [ Vg (r) - Vg () ] =  4r2dr ( - Gm /r - 0 )= - G m 4rdr = -(4r3/3)4rdr = - 3G(4 /3)2r4dr A外 = -oR3 G ( 4 /3)2r4dr = -3 G ( 4 /3)2R5/ 5 = - 3 G ( 4R3/3)2/ 5R = - 3 G M2/ 5R 即所需能量为：E = - 3 G M2/ 5R

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