冯伟森

1. 离散　　数学 冯伟森 计算机学院 Email：fws365@scu.edu.cn 2014年10月25日星期六

2. 主要内容 哈密尔顿图及其应用 • 哈密尔顿道路（圈 ）的定义 • 连通图G是哈密尔顿图的必要条件 • 连通图G是哈密尔顿图的充分条件 • 连通图G是哈密尔顿图的充要条件 • 哈密尔顿图的应用(推销商问题) 计算机学院

3. 2 15 16 14 13 1 3 17 20 12 4 5 18 11 19 6 10 9 7 8 哈密尔顿图 周游世界问题  1857（59）年爱尔兰数学家W.R.Hamilton在给他朋友的一封信中，首先谈到关于十二面体的一个数学游戏：将右图中的每个结点看成一个城市，联结两个结点的边看成是交通线，他的问题就是能不能找到一条旅行路线，使得沿着交通线经过每个城市恰好一次，再回到原来的出发地? 他把这个问题称为周游世界问题。 计算机学院

4. 定义13.2　设G是一个连通图，若G中存在一条包含全部结点的基本道路，则称这条道路为G的哈密尔顿道路；若G中存在一个包含全部结点的圈，则称这个圈为G的哈密尔顿圈；含有哈密尔顿圈的图称为哈密尔顿图。定义13.2　设G是一个连通图，若G中存在一条包含全部结点的基本道路，则称这条道路为G的哈密尔顿道路；若G中存在一个包含全部结点的圈，则称这个圈为G的哈密尔顿圈；含有哈密尔顿圈的图称为哈密尔顿图。 • 规定平凡图为哈密尔顿图。 • 哈密尔顿道路是经过图中所有结点的道路中长度最短的通路； • 哈密尔顿回路是经过图中所有结点的回路中长度最短的回路。 计算机学院

5. a c (a) (b) (c) (d) 例13-2.1 既存在哈密尔顿道路，又存在哈密尔顿圈，即为哈密尔顿图。 既不存在哈密尔顿道路，也不存在哈密尔顿圈。 既存在哈密尔顿道路，又存在哈密尔顿圈，即为哈密尔顿图。 存在哈密尔顿道路，但不存在哈密尔顿圈。 计算机学院

6. 定理13.3 此定理表明哈密尔顿 有较好的连通性 设无向连通图G＝<V,E>是哈密尔顿图，S是V的任意非空真子集，则 (G-S)≤|S| 其中(G-S)是从G中删除S后所得到图的连通分支数。 证明：设C是G的一个哈密尔顿圈，则对 S(≠)V，有 (C-S)≤|S| ∵ C-S是G-S的一个生成子图 ∴ (G-S)≤(C-S)≤|S| 为什么？ 计算机学院

7. a c 注意 定理13.3给出的是哈密尔顿图的必要条件，而不是充分条件。下图所示的彼得森图，对V的任意非空子集V1，均满足(G-V1)≤|V1|，但它不是哈密尔顿图。 定理13.3在应用中它本身用处不大，但它的逆否命题却非常有用。我们经常利用定理13.3的逆否命题来判断某些图不是哈密尔顿图，即：若存在V的某个非空子集V1使得(G-V1)＞|V1|，则G不是哈密尔顿图。例如在右图中取V1=｛a,c｝，则(G-V1)＝4＞|V1|＝2，因而该图不是哈密尔顿图。 计算机学院

8. 定理13.4 设G＝<V，E>是具有n个结点的简单图。如果对任意两个结点u,v∈V，均有 deg(u)+deg(v)≥n-1 则G中存在哈密尔顿道路。 证明：1、首先证明满足上述条件的G是连通图。否则G至少有两支，即 G1＝<V1，E1>和G2＝<V2，E2> 对v1∈V1，v2 ∈V2， 显然 deg(v1)＋deg(v2)≤|V1|-1+|V2|-1=n-2 与已知矛盾，故G是连通的。 计算机学院

9. Why? 证明(续1) 2、证明G中存在哈密尔顿道路。 设L＝v1v2…vk为G中最长的一条基本道路，显然k≤n。 • 若k＝n，则L为G中经过所有结点的道路，即为哈密尔顿道路。 • 若k＜n，由L的最长性可知，v1和vk的全部邻接点都在L上。 • 若v1vkE，则v1v2…vkv1就构成G的一个包含L的圈。 • 若v1vkE，则存在L上的结点vi，使得 计算机学院

10. Why? 证明(续2) v1viE  vi-1vkE。 （否则，即对viL， v1viE而vi-1vkE。设v1在L上与vi1，vi2，…，vit相邻（t≥2）， 因为如果t=1，则v1只有一个邻接点vi1， d(v1)=1， 而v1vkE，所以d(vk) ≤k-2，有d(v1)+d(vk)≤k-1＜n-1。（矛盾） 则vk不能与vi1-1,vi2-1,…,vit-1中的任何一个相邻，这样就有d(vk)≤k-t-1，d(v1)=t，d(v1)+d(vk)≤k-1＜n-1。推出矛盾。） 计算机学院

11. v1 vj vi vk vi-1 证明(续3) 这样就可以构造一个圈 C＝v1v2…vi-1vkvk-1…viv1。 vk-1 如图所示，这个圈包含了L中的全部结点。 这样，对a）和b），都可以构造一个包含L中的全部结点的一个圈C。 计算机学院

12. u v1 vj vi vk vi-1 证明(续4) 因为k＜n，所以V中还有一些结点不在C中，由G的连通性知，存在C外的结点u与C上结点vj相邻。 由此可以看到，本定理的证明方法是一种构造性证明方法。 vk-1 显然，可以构造一条基本道路P′＝uvjvj+1…vi-1vkvk-1…viv1v2…vj-1。P′比P长，与L的最长性相矛盾。所以，必然k=n，即L必是G的一条哈密尔顿道路。 计算机学院

13. 定理13.5 设G＝<V,E>是具有n个结点（ n≥3）的简单图。如果对任意的两个结点 u,v∈V，均有 • deg(u)+deg(v)≥n 则G必是哈密尔顿图。 • 证明：利用已知条件，仿照定理13.4 中b）的方法，可构造出一个包含所有结点的哈密尔顿圈。 定理13.5给出的是哈密尔顿图的充分条件，而不是必要条件。在六边形中，任意两个结点的度数之和都是4＜6，但六边形是哈密尔顿图。 计算机学院

14. 例13-2.2 某地有5个风景点，若每个风景点均有两条道路与其他点相通。问游人可否经过每个风景点恰好一次而游完这5处？ 解　将5个风景点看成是有5个结点的无向图，两风景点间的道路看成是无向图的边，因为每处均有两条道路与其他结点相通，故每个结点的度数均为2，从而任意两个结点的度数之和等于4，正好为总结点数减1。故此图中存在一条哈密尔顿道路，因此本题有解。 计算机学院

15. d d a i i h j h j b c e f e f (a) (b) 例13-2.3 证明下图(a)所示的图中，不存在哈密尔顿圈。 证明在图(a)中，删除结点子集V1＝{a,b,c}，得到图(b)，在图(b)中，它的连通分支为4，显然有： (G-V1)＝4＞|V1|＝3。由定理13.3可知：图(a)所示的图中不会存在哈密尔顿圈，即不是哈密尔顿图。 计算机学院

16. c 3 4 b d 5 2 a e 1 例13-2.4 • 判断右图所示的图是否存在哈密尔顿圈。　 解若该图中存在哈密尔顿圈，则该圈组成的图中任何结点的度数均为2。 因而结点1、2、3、4、5所关联的边均在圈中，于是在结点a、b、c、d、e处均应将不与1、2、3、4、5关联的边删除，而要删除与结点a、b、c、d、e关联的其他边，这样一来，图就不连通了，因而图中不存在哈密尔顿圈。 计算机学院

17. 图的闭包 定理13.5的条件很强，有些图虽然不直接满足这个条件，但可以通过在一定条件下加边的办法来满足这个条件。 定义13.3 设G＝<V,E>是n阶的简单图。若存在一对不 相邻的结点u,v∈V，满足 deg(u)+deg(v)≥n 则构造图G+uv，并且在图上G+uv重复上述步 骤，直至不再存在这样的结点对为止，所得之 图称为图G的闭包，记为c(G)。 计算机学院

18. 定理13.6 一个简单图G是哈密尔顿图当且仅当其闭包图是哈密尔顿图。 证明：首先证明，若u,v是G的两个非邻接结点且deg(u)+deg(v)≥n ，则G是哈密尔顿图当且仅当G+uv是哈密尔顿图。必要性是显然的。现证充分性，即G+uv是哈密尔顿图，则G中必然存在一条以u为起点，v为终点的哈密尔顿道路L，仿照定理13.4的证明过程，由L可以构造一个哈密尔顿圈，即G也是一个哈密尔顿图。 这样，在构造c(G)的过程中，所得的图与G同为哈密尔顿图或同不为哈密尔顿图，所以结论成立。 计算机学院

19. 定理13.7 设G＝<V,E>是一个n阶无环的连通平面图。 若G含有哈密尔顿圈C，则 其中 和 分别是含在圈C内部和外部的i度面的数目。 可以利用此定理来否定某些平面图是哈密尔顿图。 计算机学院

20. 2 15 16 14 13 1 3 17 20 12 4 5 18 11 19 6 10 9 7 8 • 圈内有6个5度面，圈外也有6个5度面。 计算机学院

21. f e 2 1 3 1 4 10 a d 6 1 c b 5 推销商问题 设v1，v2，‥‥，vn代表n个城市， w（vivj）表示城市vi和vj之间的距离（或旅费）。 有一个商人从其中的一个城市出发，去每个城市 经商一次，最后回到出发地。问怎样安排行程以 使总的路程最短（或旅费最少）？ 实际上，这个问题就是要在一个带权的完全图中，找一个各边权之和最小的哈密尔顿圈，即最优哈密尔顿圈的问题。 2 2 2 2 计算机学院

22. 这个问题具有重要的实际意义，但至今仍未找到一个有效的解决办法。这个问题具有重要的实际意义，但至今仍未找到一个有效的解决办法。 现在提出的解决办法有两种：求近似解和精确解。 求近似解的代表方法有回路修正法和近邻法。 下面，介绍一种求精确解的方法——分枝定界法。这个方法比较直观，对于不太复杂的权图往往很快就能得到精确解，因而也是运筹学中常用的一种方法。 计算机学院

23. 例13-2.5 给定在4个城市间旅行所需费用的矩阵如下，如何安排行程以使旅行费用最少？ 该问题实际上就是要在右图中找出一个权最小的哈密尔顿圈。 计算机学院

24. 将D变成每行都有0的矩阵。先找出每行的最小元，同时用该行元素各减去这个最小元，然后再对每列施行同样的方法，得到以下矩阵：将D变成每行都有0的矩阵。先找出每行的最小元，同时用该行元素各减去这个最小元，然后再对每列施行同样的方法，得到以下矩阵： 显然，D同 对应于相同的最优解，其中（31）是从各行各列减去的最小元素之和，它是所求问题的一个下界。 计算机学院

25. 在 中的 行找到最小元（1，4）： • 如（1，4)包含在最优解中，则从 中划去第一行和第四列，同时将元（4，1）改成（为什么？），所得矩阵记为 。 的第一行没有0元，最小元是1，于是对应的权下界累计为32。 计算机学院

26. 如最优解不包含（1，4）时，由　　得到的权下界是31，比　　所得下界32要小，自然选择具有最小累计下界的矩阵求解。由于已假定最优解不包含（1，4），因此在　　中将（1，4）改为，所得矩阵记为　　，它的第一行的最小元素为6，从而使累计下界变成37，大于　　的下界，故暂停搜索，转而处理　　。如最优解不包含（1，4）时，由　　得到的权下界是31，比　　所得下界32要小，自然选择具有最小累计下界的矩阵求解。由于已假定最优解不包含（1，4），因此在　　中将（1，4）改为，所得矩阵记为　　，它的第一行的最小元素为6，从而使累计下界变成37，大于　　的下界，故暂停搜索，转而处理　　。 计算机学院

27. 在 中（2，3）是０。假定最优解包含（2，3），划掉 行和 列，同时将（３，２）改为，所得矩阵记为 ，它对应的权下界仍为32，是当前最小下界，因此，继续沿这一方向搜索。 计算机学院

28. 在 中（3，1）是0。假定最优解包含（3，1），划掉 行和 列后，只剩下（4，2），且元素（4，2）为0，累计权下界仍为32，是最小的下界；同时，我们已获得一条 哈密尔顿圈，其权为32。 即 8+3+18+3=32 计算机学院

29. 习题十三 • 9、10、12、14、16、17 计算机学院