プログラム理論特論第６回

プログラム理論特論第６回 亀山幸義 kam@is.tsukuba.ac.jp http://logic.is.tsukuba.ac.jp/~kam/progtheory

前回 • 型付きラムダ計算に対する型推論アルゴリズムの構成 • 型の拡張；型変数の導入 • 型に対する代入 • 型の単一化、最も一般的な単一化（mgu） • 型の単一化アルゴリズム • 型推論アルゴリズム • 型推論の過程を「下から上へ」構成する

資料の訂正 • 型の代入に対する「より一般的」という関係の定義（資料通り） • 資料の定義は正しかったが例１，２が誤り • この例で、　　　　　は誤り。 • 定義通り計算すると、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とおいても、　　　　　　　とはならない。

資料の訂正 • 正しい例 • 他の誤植 • ３ページ下から８行目と３行目 • 　　　　　　　でなく　 • 　　　　　　　でなく　

単一化の具体例

型推論の具体例

拡張 • これまでの型付きラムダ計算の体系 • 単純型付きラムダ計算 (simply typed lambda calculus) • これから考えること • 単純型付きラムダ計算をどのように拡張すれば、現実のプログラム言語を表現することができるか？ • C言語:直積型、リスト型、配列型 etc. • ML:多相型 • Java:レコード型、Subtyping • そのような拡張をしたとき、単純型付きラムダ計算の持っていた良い性質は保たれるのか、失われるのか？ • そもそも、何が「良い性質」だったのか？

「良い」性質 • 型システムの健全性 • 型付けできるプログラムを計算して得られたものは、型付け可能であり、もとのプログラムと同じ型をもつ • 型付けできるプログラムで、「値」になっていないものはまだ計算できる（計算の途中で、止まってしまわない）

「良い」性質 • 停止性（正規化可能性） • 型付けできるプログラムの計算は、有限時間で必ず停止する。 • 証明はかなり難しい(項の構成に関する帰納法ではうまくいかない）

「良い」性質の応用 • 型システムの健全性 • プログラムの実行前に型付けしておくと（型検査または型推論）、プログラムが実行中に悪い振舞いをしないことが保証できる • プログラムの悪い振舞いの例 • 実行時に型エラーを起こす • char型の変数(１バイト）に、int型の値（４バイト以上）を代入しようとする。 char x = 12345; • ポインタ型でない変数をポインタと思って参照する。 int x = -135; ...(*x) + 1; 型システムをさらに強力にすることにより、以下の性質も保証できる配列のサイズを超えた添え字でアクセスをしないこと int data[100]; ...data[110]*2+1 ...; ある種のSecurity(秘密度の高いデータが漏洩しないこと） • 静的解析(static analysis)によるSafety Propertyの保証の一種 • Safety（安全性） ... ずっと○○をしない　(○○は悪い振舞い） • Liveness（活性）... いつか必ず△△をする　(△△は良い振舞い） • 静的解析...プログラムを実行する前に(実行せずに）プログラムの性質を解析する

「良い」性質の応用 • 停止性 • Liveness　の一種 • （どんなに下手なプログラムでも）プログラムの実行は必ず有限時間で停止する。 • ただし、普通のプログラム言語は、whileループや再帰呼出しを含むので、停止性は成立しない • 一般的なプログラムではなく、（並行）プロトコルの検証などで有用

型システムの拡張１－直積 • 直積型　etc. の導入 • 集合の直積 (cartesian product, product) • bool×nat= {(true,0),(true,1),(true,2),...,(false,0),(false,1),...} • 「対（pair)」の集合 • 型Ａと型Ｂの直積 A×B • (true,3) : bool×int • λxint. (x,x) : int→(int×int) • left (false, 30) ⇒ false • right (false,30) ⇒ 30 • 直積型に対する型推論規則はどうなるか？

型システムの拡張１－直積 • 直積型に対する規則

型システムの拡張１－直積 • 直積型の項の例

問題 • 直積型を加えたことにより、以下の２つのアルゴリズムはどう変更する必要があるか？ • 単一化アルゴリズム • 型推論アルゴリズム

型システムの拡張１ーリスト

問題 • リスト型を加えたことにより、以下の２つのアルゴリズムはどう変更する必要があるか？ • 単一化アルゴリズム • 型推論アルゴリズム • 他の型構成子についても同様に型推論規則を示し、単一化と型推論アルゴリズムを考えよ。 • 配列型 • 組（tuple, ｎ個の型の直積） • Ｃ言語の struct型　（レコード型、名前のある組）

型システムの拡張２－多相型 • １つのプログラムがいろいろな型を持ち得る • λx.x　は　int→int　でも bool→bool　でもよい • λf.λx. fx は　　(int→int)→(int→int)　でも、（bool→int)→(bool→int)でもよい • 型推論アルゴリズムでは、これらの型を１つの表現であらわすため型変数を導入した • λx.x : α→α • λf.λx. fx: （α→β）→（α→β） • λf.λx. f(fx): （α→α）→（α→α） • しかし、ここまでの話では、１つのプログラムを同時に異なる型に適用することはできなかった

型システムの拡張２－多相型 • １つのプログラムが多数の型に対して適用できる現象を（型推論だけでなく）プログラムの中で使えないか？ • 多相型（polymorphic type, polymorphism) • λx.x 「すべてのαに対して、α→αという型をもつ」 • λf.λx.f(x) 「すべてのα、βに対して、（α→β）→（α→β）という型をもつ」 • 型　A,B ::= ... | ∀α.A

型システムの拡張２－多相型 • 話はそう簡単ではない！ • ∀という型を許すと型検査ですら決定不能 (undecidable)である • 型検査、型推論ができなければ、プログラム言語の型システムとしては使えない　（論理としては使える） • ＭＬ言語の多相型 • ∀の記号は、型の一番外側だけに許す • ∀のない型　A,B ::= α | K | A→B • ∀を含むかもしれない一般の型 T ::= A | ∀α. T • 例：　∀α.∀β.(α→β→α） • １つのプログラムを複数の型で使うときは let　構文を使う。

型システムの拡張２－多相型 • ＭＬ言語はCurry流（型をプログラムは書く必要がない）

型システムの拡張２－多相型 • 実は、ＭＬ言語の多相型を導入しても、型推論アルゴリズム（単一化アルゴリズムも）は変更の必要がない。 • 型変数を導入したときに、すでに多相型の考え方がはいっていた • 型推論アルゴリズムで、Γ|-Ｍ：Ａであると推論できれば、ＭＬでは、M:∀α∀β。。。Ａ　ができたことになる。　（ここでα、βはＡに含まれる型変数）

問題 • 次のプログラムの型付けを考えよ。

次週 • Ｊａｖａ　の型システムを考えます。

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