第二章轨迹与方程

第二章轨迹与方程 2.1 曲线与曲面方程 2.2 柱面方程 2.3 空间曲线的参数方程

(x, y) F(x, y)=0 O 轨迹：某点在空间移动，他所通过的全部路径叫作这点的轨迹。或 Y = f(x)

§2.1 曲线与曲面的方程 一、曲线方程定义2.1.1 当平面上取定了标架后, 如果一个方程 F(x,y)=0 与一条曲线有着关系: (1) 满足方程的(x, y) 必是曲线上某一点的坐标; (2) 曲线上任何一点的坐标(x, y)满足这个方程. 那么这个方程就叫做这条曲线的方程, 而这条曲线叫做这个方程的图形.

M O 以下只考虑直角坐标系例1 求圆心在坐标原点,半径为R的圆的方程. 解: 设M(x,y)是圆上任意一点, 则特征条件为由得圆的方程: (检验略)

P O 也可以看作是由动径矢的终点P画出. 平面上取定一个标架(坐标系) 点P是平面上一个动点, 它与参数t有关. 于是,它的径矢也与参数t有关, 可以记为当t变化时, 动点P在平面上画出一条曲线, 显然, 这条曲线也就是说, 一个起点固定在坐标原点的矢量, 它若随着一个参数变化, 那么它的终点就描画出一条曲线.

将矢性函数用分量形式表示, 也就是说写成基矢量的线性组合. 我们称动径矢是变数t的矢性函数. 记为

定义2.1.2 当平面上取定了标架后, 如果矢性方程(1)与一条曲线有关系: (1) 对于每一个t值,矢性方程的径矢的终点必在曲线上; (2) 曲线上任何一点的径矢都可以由方程(1)中取某个t值后得到. 那么这个方程(1)就叫做这条曲线的矢量式参数方程, 其中t叫做参数.而这条曲线叫做这个矢性方程(1)的图形.

可见, 的坐标是 一条曲线的矢量式参数方程所以, 曲线的参数方程又可以表示为称为曲线的坐标式参数方程. 如果从(2)中消去参数t, 那么就得到曲线的普通方程 F(x, y)=0

矢量共线, M0 其径矢记为 O 例3 已知直线L通过定点 M0(x0, y0) , 并且它与非零求直线的方程. 解: 如图, 设M(x,y)是直线上任意一点, M 则特征条件为即有所以有矢量式参数方程.

将用坐标表示, 得坐标式参数方程: 消去参数t, 得或记得普通方程也叫做一般方程

y a C P a O A x 例4 一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上的一点P的轨迹.

思考： 方程在平面上表示什么曲线? 椭圆

二、曲面的方程 曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：

解根据题意有化简得所求方程

解根据题意有所求方程为

以下给出几例常见的曲面. 解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为

由得上、下半球面的方程分别是：由上述方程可得球面的一般式方程为： x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0（*）反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到： (x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4 当 A2+B2+C2-4D >0 时, 是球面方程.

例4方程 的图形是怎样的？解根据题意有图形上不封顶，下封底．以上方法称为截痕法.

以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．（讨论旋转曲面）（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论柱面、二次曲面）

曲面的参数方程

例7求以z 轴为对称轴，半径为R 的圆柱面的参数方程. 注意空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.

2.2 柱面方程 平面抛物柱面平面方程：抛物柱面方程：

（其他类推） 从柱面方程看柱面的特征：实例母线// 轴椭圆柱面，双曲柱面，母线// 轴抛物柱面，母线// 轴

椭圆柱面 z o y x b a

双曲柱面 z y = 0 x o y

抛物柱面 z y o x

2.3 空间曲线的方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 空间曲线的一般方程特点：曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.

例1方程组 表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.

表示怎样的曲线？ 例2方程组解上半球面, 圆柱面, 交线如图.

二、空间曲线的参数方程 空间曲线的参数方程

取时间t为参数， 动点从A点出发，经过t时间，运动到M点解螺旋线的参数方程

螺旋线的参数方程还可以写为 螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度螺距

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