Pronósticos, Series de Tiempo y Regresión

1. Pronósticos, Series de Tiempo y Regresión Capítulo 9: Modelos Box-Jenkins No Estacionales y Su Identificación Tentativa Capítulo 10: Estimación, Diagnósticos y Pronósticos para Modelos Box-Jenkins No Estacionales

2. Temas • Introducción al tema • Proceso Box-Jenkins • Estacionalidad • Identificación tentativa del modelo • Diagnósticos • Pronósticos

3. Proceso: metodología Box-Jenkins 1. Identificación tentativa del modelo 2. Estimación de los parámetros del modelo • Evaluación de diagnósticos para comprobar si el modelo es adecuado; • mejorar el modelo si es necesario. 4. Generación de Pronósticos

4. Proceso en general ¿Estacionario? No Sí Transformar los datos (primera diferencia) Determinar qué tipo de modelo es el adecuado Sí ¿Estacionario? No Transformar los datos (segunda diferencia) Estimar los parámetros del modelo Sí No transforma- ciones más complejas ¿Estacionario? Diagnósticos Pronósticos

5. Series temporales estacionarias • Una serie es estacionaria si: • la media y la varianza son constantes a través del tiempo • la SACse corta • Si no es estacionaria, hay que transformarla hasta adquirir una serie transformada estacionaria. • Primera diferencia: zt = yt – yt-1 • Segunda diferencia: zt = (yt – yt-1)- (yt-1 – yt-2)

6. SAC y SPAC • La autocorrelación de la muestra con rezago k (SAC, rk) mide la tendencia de observaciones separadas por un período de k, a moverse juntos. • -1 < rk < 1 • Si rk > 2srk, decimos que hay una espiga en el rezago k. • Cuando ya no hay espigas a partir de un rezago j, decimos que la SAC se corta en j.

7. SAC y SPAC • Cuando ya no hay espigas a partir de un rezago j, decimos que la SACse corta en k. • Si la SAC se corta o se extingue rápidamente, concluimos que la serie es estacionaria. • Si la SAC se extingue lentamente, concluimos que la serie es no estacionaria, y hay que transformarla antes de identificar el modelo adecuado.

8. SAC y SPAC • La SPAC mide una relación menos intuitiva. • Las definiciones son las mismas para una espiga y cuando se corta.

9. SAC y SPAC • Se utilizan la SAC y la SPAC para identificar el modelo adecuado: • SAC se corta y SPAC se extingue: MA • SAC se extingue y SPAC se corta: AR • ambos se extinguen: modelo mixto • ambos se cortan: determinar cuál se corta más rápidamente para elegir MA o AR.

10. Proceso: Identificación del modelo estacionario SAC se corta SPAC se extingue SAC se extiingue SPAC se corta modelo de medias móviles (MA) modelo auto- regresivo (AR) SPAC se extingue SAC se extingue ¿Dónde se corta la SAC? ¿Dónde se corta la SPAC? Número de rezagos (períodos) a incluir Número de rezagos (períodos) a incluir modelo mixto

11. Estimación del modelo • En Stata, se utiliza el comando arima. Por ejemplo, para estimar un modelo autorregresivo con dos rezagos: • arima y, ar(1/2) • de medias móviles en una primera diferencia, con tres rezagos: • arima D.y, ma(1/3) • mixto, con una segunda diferencia y un rezago tanto para las medias móviles como para lo auto-regresivo: • arima D2.y, ma(1) ar(1)

12. Estimación del modelo • Se debe eliminar una variable del modelo si no cumple con cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: • Así se puede lograr que el modelo sea parsimonioso.

13. Diagnósticos del modelo • Análisis de residuos • La mejor estadística para determinar si el modelo es adecuado, es la estadística Ljung-Box. Si el valor-p de la estadística Ljung-Box es menor que .01, es evidencia muy fuerte de que el modelo no es adecuado. • Análisis de autocorrelación de residuos para identificar espigas: • RSAC • RSPAC

14. Diagnósticos del modelo • En Stata, se utiliza el comando armadiag después de haber corrido el modelo arima. Genera cuatro gráficas: • residuos • valores-p de la estadística Q* • RSAC • RSPAC

15. Pronósticos • para un modelo auto-regresivo sin tendencia: • si podemos calcular yt-1, • si no podemos calcular yt-1.

16. Pronósticos • para un modelo de medias móviles con tendencia: • El pronóstico puntual de todas las fechas futuras es la misma, pero el rango del intervalo de confianza se va ampliando conforme nos alejamos.

17. Series estacionales • Se sigue el mismo procedimiento que para no estacionales, pero incluyendo rezagos del número de períodos en el año. • Por ejemplo: • arima y, ma(1 12) • arimaD.y, ar(1 2 4) • arimaD.z, ar(1 3 5) ma(12) • donde z = y-L12.y

18. Comandos en Stata • arima y, ma(1 2) ar(1 2) corre el modelo mixto en los datos originales, con dos rezagos y dos choques. • arima D.y, ma(1) corre un modelo de medias móviles en los datos transformados con una primera diferencia, con un período de rezago. • ac y grafica la SAC de los datos originales • pac D2.y grafica la SPAC de los datos transformados con una segunda diferencia. • STATA utiliza el método de maximum likelihood (a diferencia de SAS y MINITAB, que utilizan OLS). Box, Jenkins y Reinsel (1994) prefieren maximum likelihood. • noconstant opción elimina el constante del modelo • armadiag para las herramientas de diagnóstico (hay que instalarlo.)