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空间解析几何简介. 二元函数的概念. 多元复合函数与隐函数的微分法. 偏导数和全微分. 多元函数的极值. 二重积分. 第五章. 多 元 函 数 微 积 分. 空间解析几何简介. 二元函数的概念. y. P(x,y). y. x. x. 平面直角坐标系. 平面内任取一点 O—— 原点. Ⅰ. Ⅱ. 过 O 点做一直线 ——x 轴（横轴）. o. Ⅲ. Ⅳ. 过 O 点另作一垂线 ——y 轴（纵轴）. 两坐标轴分平面为 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ 、 Ⅳ 象限. 实数对（ x ， y ）对应平面内的点 P ，记作 P （ x ， y ），分别
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空间解析几何简介 二元函数的概念 多元复合函数与隐函数的微分法 偏导数和全微分 多元函数的极值 二重积分 第五章 多 元 函 数 微 积 分
空间解析几何简介 二元函数的概念
y P(x,y) y x x 平面直角坐标系 平面内任取一点O——原点 Ⅰ Ⅱ 过O点做一直线——x轴（横轴） o Ⅲ Ⅳ 过O点另作一垂线——y轴（纵轴） 两坐标轴分平面为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 象限 实数对（x，y）对应平面内的点P，记作P（x，y），分别 称数x为点P的横坐标，数y为点P的纵坐标。 平面内的点与实数对一一对应
空间直角坐标系 O （竖轴） O （纵轴） O （横轴） O • 空间解析几何简介 空间直角坐标系（三维直角坐标系） 右 手 原 则
平面 平面 平面 Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ O Ⅶ Ⅵ Ⅷ Ⅴ 三个坐标平面分空间为八个卦限 （演示） 八个卦限 三个坐标平面
∙ 点的坐标（演示） 点 M到原点的距离 两点间的距离
三元方程 S 空间曲面 如果曲面 S 上任意一点的坐标 都满足方程 F( x ,y ,z)=0，同时 不满足方程 F( x ,y ,z)=0的点都 不在曲面 S 上，则称三元方程 F (x ,y ,z)=0为曲面 S 的方程。
平面： 平面： 平面： O 平面——一种特殊曲面 （三元一次方程） 平面方程的一般形式： 几种特殊平面 过原点的平面： 平行于z 轴的平面： 过z 轴的平面： 平行于y 轴的平面： 过 y 轴的平面： 平行于x 轴的平面： 过x 轴的平面： 平面
如：平行于 Z 轴的直线沿着XOY平面内的椭圆 移动，而形成的曲面叫做椭圆柱面。 z o y x 柱面 平面内一直线L沿着一定曲线C移动而形成的曲面叫做柱面， 其中，直线L叫做母线，曲线C叫做准线。 其方程为 其它柱面（几何演示） 柱面方程的特点：如果方程中不含 变量 Z（ X 或 Y )，则母线平行于 Z ( X 或 Y )轴，柱面垂直于 XOY ( YOZ 或 XOZ )面 。
z o y 如 x 空间曲线的一般方程 两个曲面的交线即为曲线，故空间 曲线的一般方程为
二次曲面及截痕法 抛物面（几何演示） 椭球面（几何演示） 双曲面（几何演示）
例 求上半球面 与上半锥面 所围成的立体在 xoy 面内的投影区域。 解 两立体的交线为 即 曲面在坐标平面内的投影 交线在xoy面内的投影为 所以，所围成的立体在xoy面内的投影区域为
邻域：平面点集 称为点P0 (x0 , y0) 的δ邻域，记做 U(P0 ，δ)。 内点：设点P是平面点集E上的点，如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P) E,则称P为E的内点。 边界点 P0 边界 U(P0 ，δ) 内点 • 二元函数的概念 几个概念：邻域、内点、边界点、边界。 边界点：设有平面点集E，如果点P的任意邻域U(P)，都有属于 E中的点，也有不属于E的点，则称P为E的边界点。 边界：点集E的边界点构成的集合，称为点集E的边界。 E
例如：点集 即为一开集。 例如：点集 即为区域。 例如：点集 即为闭区域。 • 二元函数的概念 几个概念：开集、连通集、区域、闭区域。 开集：如果点集E中的点都是内点，则称点集E为开集。 连通 连通集：如果点集E中的任意两点， 都可以用完全属于E中的折 线段将它们连接起来，则 称E为连通集。 不连通 区域：连通的开集称为开区域，简称区域。 闭区域：区域连同它的边界，称为闭区域。
定义：设D是平面上的非空点集，如果存在一个对应法则 f，使 得对集合D中的每一个点(x , y)，按法则 f，都有唯一确定的实数 值 z 与之对应，则称此对应法则 f 为集合D上的二元函数，记为： f ：(x, y) z 或 z=f (x , y)，(x , y) D 称 x , y 为函数 f 的自变量，z 为函数 f 的因变量；集合D为函数 f 的定义域，记作 D ( f ) 或 Df。 Î 称实数集 为函数 f 的值域。 例如：函数 的定义域为 • 二元函数的概念 约定：函数 z=f (x , y) 的定义域约定为使得式子有意义的所有 的实数对（x , y）。 它表示如右图所示的无界区域。
空间点集 称为函数 的图像。 二元函数 一元函数 二元函数的图像 它表示空间曲面。 一元函数与二元函数的比较 定义域 数轴上的区间 平面中的区域 平面中的曲线 图像 空间中的曲面 单极限 二重极限 极限 微分学 导数与微分 偏导数与全微分 积分学 定积分 二重积分
∙ z 或 x y 二元函数的极限 ——二重极限 定义：设二元函数 z=f (x , y)在点 P0(x0 ,y0)的邻域内有定义 （点P0可以除外），如果当点 P (x , y)无论以何种方式趋向于点 P0(x0,y0)时，函数值 f (x , y)可以无限逼近常数A，则称A为函数 f (x ,y) 在P→P0时的极限，记作 或
等价无穷 小的替换 • 二元函数的极限计算——计算下列极限
换元时 与 不能相互制约 ∙ • 计算下列极限 因为二重极限值不受 动点趋向于定点的方式 的影响！
事实上，设 ∙ 换元时 与 不能相互制约 则 结果与 有关，故原极限不存在。 • 二元函数的极限计算 ×
若 在点 处连续。 则称函数 例如： 在 上连续。 • 二元函数的连续性 若函数在某区域上点点连续，则称函数在该区域上连续。 直观上来看，若函数在区域 D 上连续，则其对应的 空间曲面没有裂缝，没有洞，是一个连续曲面。 初等二元函数在其定义区域上都是连续的。
z o y x 闭区域上连续函数的性质 在闭区域D上连续的二元函数具有以下性质 （1）最值定理：有最大、最小值 （2）介值定理：能取得介于最大、最小值之间的任意值 （3）零点存在定理： 从几何意义理解
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