110 likes | 228 Views
Méthodes de prévision (STT-3220). Section 6 Autocorrélations partielles Version: 16 décembre 2008. Identification des ordres dans les modèles ARMA( p,q ). Lors de la modélisation des séries chronologiques avec des données réelles, une question d’importance est le choix des ordres p et q .
E N D
Méthodes de prévision (STT-3220) Section 6 Autocorrélations partielles Version: 16 décembre 2008
Identification des ordres dans les modèles ARMA(p,q) • Lors de la modélisation des séries chronologiques avec des données réelles, une question d’importance est le choix des ordres p et q. • Ceci correspond à l’étape d’identification d’un modèle, dans la procédure de Box et Jenkins. • Deux outils sont fondamentaux à cette fin: les autocorrélations (ACF) et les autocorrélations partielles (PACF). STT-3220; Méthodes de prévision
Définition intuitive des autocorrélations partielles • Supposons que l’on dispose de trois variables aléatoires, X, Y et Z. • Souvent, la corrélation entre X et Y pourrait être attribuable au fait que: • X et Z sont corrélées; • Y et Z sont corrélées. • L’autocorrélation partielle cherche à quantifier la dépendance entre X et Y en retirant la dépendance avec Z. STT-3220; Méthodes de prévision
Corrélations partielles dans un contexte de séries chronologiques • Considérons un processus stochastique que l’on présume SSL et tel que . • Comme dans le transparent précédent, la dépendance entre Zt et Zt+k pourrait être grandement attribuable à la dépendance de ces variables aléatoires avec Zt+1, Zt+2,…Zt+k-1. • On voudrait calculer la corrélation conditionnelle: STT-3220; Méthodes de prévision
Définition formelle de la corrélation partielle • Soient Zt et Zt+k. On note et les meilleures prévisions linéaires de Zt et Zt+k, respectivement, au sens de l’erreur quadratique moyenne, fonctions linéaires de Zt+1,Zt+2,…Zt+k-1. • On définit autocorrélation partielle: STT-3220; Méthodes de prévision
Calcul des autocorrélations partielles • Soit le processus SSL tel que . • 1. On formule le modèle de régression: • 2. On multiplie par Zt+k-j, j positif: • On prend l’espérance: STT-3220; Méthodes de prévision
On forme le système d’équations suivant pour j = 1,2,…,k: • Le système devient: • Il suffit de résoudre ce système avec la règle de Cramer; l’autocorrélation partielle de délai k est fkk. STT-3220; Méthodes de prévision
Règle de Cramer pour le calcul des fkk • Par la règle de Cramer: STT-3220; Méthodes de prévision
Propriétés générales des fkk • 1. C’est par définition une corrélation, donc on a que • 2. Puisqu’il n’y a pas de variables intermédiaires entre Zt et Zt+1: f11 = r(1). • 3. On trouve que: STT-3220; Méthodes de prévision
Estimation des fkk • L’estimateur de fkk, que l’on pourrait noter , est obtenu en remplaçant dans l’acétate 8 les r(k) inconnues par les r(k). • Les estimateurs ainsi obtenus sont convergents en probabilité sous des conditions générales pour fkk. La raison essentielle de ce résultat est que r(k) est convergent pour r(k). • Si est un bruit blanc: STT-3220; Méthodes de prévision
Identification d’un ARMA(p,q) avec l’ACF et la PACF • Si processus est AR(p): • Nombre infini d’autocorrélations. • Nombre fini d’autocorrélations partielles. En fait pour un AR(p): fkk = 0, si k > p. • Si processus est MA(q): • Nombre fini d’autocorrélations. En fait, pour un MA(q), on a que r(k) = 0, si k > q. • Nombre infini d’autocorrélations partielles. STT-3220; Méthodes de prévision