Pojęcie prawdopodobieństwa

Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem zdarzenia nazywamy proporcję przypadków, w których zaszło zdarzenie, w serii wielokrotnie powtarzanych eksperymentów.

Przykład: Codziennie podjeżdżam o tej samej porze do tego samego skrzyżowania ze światłami. Po roku stwierdzam, że czerwone światło wystąpiło w 62% przypadków. Na tej podstawie oceniam, że prawdopodobieństwo trafienia na światło czerwone (na tym skrzyżowaniu i o tej godzinie) wynosi 0.62.

Kilka podstawowych definicji pojęć: Próba: doświadczenie lub obserwacja Wynik: rezultat próby Zdarzenie: wynik lub zbiór wyników próby Prawdopodobieństwo: częstość zdarzenie w dużej liczbie prób Niezależność: próby nazywamy niezależnymi, jeżeliwynik jednej próby nie wpływa na wyniki innych prób.

Prawo Wielkich Liczb Przy dużej liczbie prób, częstość zdarzenia dąży do jego rzeczywistego prawdopodobieństwa. Inaczej, prawdopodobieństwo zdarzenia jest czymś dobrze określonym, nie zależy od wybranej próby dopóki jest ona wystarczająco duża.

Państwo X mają już pięć córek. Czy na skutek tego faktu zwiększa się prawdopodobieństwo, że szóstym dzieckiem państwa X będzie syn? Pan Y bierze ze sobą bombę do samolotu, licząc na to, że prawdopodobieństwo dwóch bomb w jednym samolocie jest niezwykle małe. Co o tym sądzisz?

Jutro może padać deszcz. • Jest prawdopodobne, że jutro będzie padać. • Istnieje szansa, że jutro spadnie deszcz. Te zdania wyrażają naszą opinię o tym, jakie jest prawdopodobieństwo, że jutro spadnie deszcz. Chcielibyśmy jednak móc określić to prawdopodobieństwo liczbowo. Stwierdzenie: „Istnieje 50% szans, że jutro będzie padać” oznacza, że prawdopodobieństwo wystąpienia opadu jest dokładnie równe prawdopodobieństwu, że padać nie będzie. Natomiast: „Istnieje 80% szans, że jutro będzie padać” oznacza, że prawdopodobieństwo wystąpienia opadu jest cztery razy większe od prawdopodobieństwa, że padać nie będzie”

Zdarzenie: jest zbiorem możliwych wyników jakiegoś doświadczenia. • Zdarzenie złożone: można je podzielić na dwa lub więcej zdarzeń • Zdarzenie elementarne: nie da się go już podzielić. Przykład: Rzut sześcienną kostką. Zdarzenie: wypadła „szóstka” jest zdarzeniem elementarnym Zdarzenie: wypadła parzysta liczba oczek jest zdarzeniem złożonym, składa się z trzech zdarzeń elementarnych: wypadła dwójka, wypadła czwórka, wypadła szóstka. Zagadnienie wyróżniania zdarzeń elementarnych i złożonych nie zawsze jest tak trywialne. Np. zdarzenie „wystąpił opad” może być traktowane jako zdarzenie elementarne przeciwne zdarzeniu „opad nie wystąpił”, ale czasem interesuje nas nie tylko czy wystąpił opad, ale też jaka była jego postać i wtedy zdarzenie „wystąpił opad” jest zdarzeniem złożonym, w którym możemy wyróżnić trzy elementarne zdarzenia: „opad stały”, „opad ciekły”, „opad stały i ciekły”

Przestrzenią zdarzeń nazywamy zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia. Jest to jednocześnie największe możliwe zdarzenie złożone. Dwie wersje diagramu przedstawiającego zbiór zdarzeń elementarnych dla rzutu kostką Wypadła dwójka Wypadła jedynka Wypadła dwójka Wypadła jedynka Wypadła czwórka Wypadła trójka Wypadła czwórka Wypadła trójka Wypadła szóstka Wypadła piątka Wypadła piątka Wypadła szóstka W tej wersji diagramu wyraźnie widać, że sześć zdarzeń elementarnych wyczerpuje wszystkie możliwości.

brak opadu opad ciekły brak opadu opad stały opad tylko ciekły opad tylko stały opad ciekły i stały

Trzy aksjomaty prawdopodobieństwa • Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia jest nieujemne • Prawdopodobieństwo zdarzenia złożonego ze wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi 1 • Prawdopodobieństwo zdarzenia złożonego z dwóch wzajemnie wykluczających się zdarzeń elementarnych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń

WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA Z pierwszego i drugiego aksjomatu wynika, że prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest liczbą z przedziału domkniętego od 0 do 1. Zdarzenie na pewno nie wystąpi Zdarzenie na pewno wystąpi

Jeżeli zdarzenie {E2} zachodzi zawsze, gdy zaszło zdarzenie {E1}, to mówimy, że {E2} jest podzbiorem {E1}. Z aksjomatu III wynika, że: E1 E2 Przykład: Jeżeli zaszło zdarzenie „pada śnieg”, to na pewno wystąpiło zdarzenie „wystąpił opad”. Zdarzenie „pada śnieg” jest podzbiorem zdarzenia „wystąpił opad”

Zdarzenie przeciwne do zdarzenia {E} Zdarzeniem przeciwnym do danego zdarzenia {E} jest, zdarzenie polegające na tym, że {E} nie wystąpiło. Oznaczamy je symbolem {-E}. Zdarzenia {E} oraz {-E} wzajemnie się wykluczają i jednocześnie wyczerpują całą przestrzeń zdarzeń. Oznacza to, że musi zajść dokładnie jedno ze zdarzeń {E} i {-E}. E -E

Suma zdarzeń Sumą zdarzeń {E1} i {E2} nazywamy zdarzenie polegające na tym, że zaszło zdarzenie {E1} lub zdarzenie {E2} lub oba jednocześnie. E1 E2

Przykład: Zdarzenie {E1} – „pada deszcz” Zdarzenie {E2} – „pada śnieg” Zdarzenie {E1E2} – „pada deszcz lub śnieg” Zdarzenie {E1E2} – „pada deszcz ze śniegiem” Prawdopodobieństwo zdarzenia „pada deszcz lub śnieg” jest sumą prawdopodobieństw zdarzeń „pada deszcz” i „pada śnieg” zmniejszoną o prawdopodobieństwo zdarzenia „pada deszcz ze śniegiem” pada deszcz i śnieg pada

Prawdopodobieństwo warunkowe Pr{E1/ E2} = Pr{E1 jeżeli wiadomo, że zaszło zdarzenie E2} S S’=E2 E1 E1E2 E2 E1/ E2

Niezależność zdarzeń S S’=E2 E1 E1E2 E2 E1/ E2 Jeżeli zdarzenia E1 i E2 są niezależne, to

Korzystając z zamieszczonej Tabeli (następny slajd) policz prawdopodobieństwa: • wystąpienia opadu • deszczu • śniegu • śniegu z deszczem • śniegu pod warunkiem, że wystąpił opad • deszczu pod warunkiem, że wystąpił opad • śniegu po warunkiem, że padał deszcz • deszczu pod warunkiem, że padał śnieg • Czy wystąpienie śniegu i deszczu są zdarzeniami niezależnymi?

Korzystając z zamieszczonej Tabeli (następny slajd) policz prawdopodobieństwa: • wystąpienia zachmurzenia • wystąpienia chmur konwekcyjnych • wystąpienia chmur warstwowych • wystąpienia chmur konwekcyjnych i warstwowych • wystąpienia chmur konwekcyjnych pod warunkiem, że występowały chmury • wystąpienia chmur warstwowych pod warunkiem, że występowały chmury • wystąpienia chmur konwekcyjnych pod warunkiem, że występowały chmury warstwowe • wystąpienia chmur warstwowych pod warunkiem, że występowały chmury konwekcyjne • Czy wystąpienie chmur konwekcyjnych i warstwowych są zdarzeniami niezależnymi?

Pojęcie prawdopodobieństwa