1 / 74

8. INTEGRASI NUMERIK

8. INTEGRASI NUMERIK. Integrasi numerik adalah proses mencari hampiran luas bidang yang dibatasi oleh f ( x ) dan sumbu x pada selang tertutup [a, b]. Jika f ( x ) dihampiri dengan polinomial p n ( x ), maka integrasi numerik ditulis dalam bentuk ,. (8.1).

Download Presentation

8. INTEGRASI NUMERIK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 8. INTEGRASI NUMERIK

  2. Integrasinumerikadalahprosesmencarihampiranluasbidang yang dibatasiolehf (x) dansumbuxpadaselangtertutup [a, b]. Jikaf (x) dihampiridenganpolinomialpn(x), makaintegrasinumerikditulisdalambentuk, (8.1) ProsespencariannilaihampiranIdilakukanjika: a. Fungsif (x), disebutintregran, mempunyaibentuk yang sulituntukdilakukanprosesintegrasi. b. Nilaixdanf (x) hanyadalambentuktabeldiskrit.

  3. f (x) f (x) x O a b Gambar 8.1 Luasbidang yang dibatasif(x)

  4. f (x) pn(x) f (x) pn(x) x O a b Gambar 8.1 Hampiranluasbidang yang dibatasipn(x)

  5. Prosesmenentukannilaihampiranintegrasinumerik dilakukandenganbeberapacaraataumetode, yaitumetode manual, pencocokanpolinomial, aturantrapesium, aturan titiktengah, aturan Simpson, integrasi Romberg, sertaKuadratur Gauss. 8.1 Metode Manual Prosesintegrasinumeriksecara manual adalah menentukanluasbidangdengancaramenggambar persegi-persegi yang beradadibawahgrafikf (x). Jumlahpersegi yang beradadibawahgrafikdikalikandenganluasmasing-masingpersegimerupakanluasbidang yang dibatasinya, seperti yang ditunjukkanpadaGambar 8.2.

  6. y x O a b Gambar 8.2 Hampiranluasbidangmetode manual

  7. 8.2 PolinomialPencocokanKurva Jikaterdapatsebuahfungsif (x) yang sulituntukdilakukanprosesintegrasi, seperti (8.2) atau data yang menyajikannilaif (x) untuknilaixtertentu, sepertitabelberikut, makaf(x) dapatdihampiridenganpn(x) sepertipersamaan (8.3) berikut, pn(x) = a0 + a1x + a1x2 + … (8.3)

  8. Contoh 8.1 Dari tabelberikut, evaluasi integral denganmenggunakanmetodepencocokankurva polinomialorde 3. Penyelesaian

  9. f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 a0 + a1 + a2 + a3 = 2,1722 a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 2,7638 a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 = 4,4899 a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 = 7,3912

  10. Didapat f (x) = 2,6744 – 1,0355x + 0,5266x2 + 0,0068x3 I = = 11.6769

  11. 8.3 AturanTrapesium Aturantrapesiumdidapatdengancaramencocokkanpolinomailordepertamapadaduabuahtitikdiskrit. y f (x) h x x1 x0 O Gambar 8.2 Luassatupiastrapesium

  12. (8.4) Parameter interpolasisdicaridenganpersamaan, s = (x – x0)/h ataux = x0 + sh(8.5) Sehingga, dx= h ds (8.6) Untukx = x0 s = 0 Untuk x = x1 s = 1 (8.7) (8.8)

  13. Substitusipersamaan (8.6) - (8.8) ke (8.4) didapat

  14. Jikaselangtertutup [a, b] dibagimenjadinbuahbidang, makaluashampiranf(x) ditunjukkanpadaberikut y … x O a=x0 x1 x2 xn–1 b=xn Gambar 8.3 Luasnbuahtrapesium n = (xn – x0)/h (8.9)

  15. Luasseluruhbidanguntukjarakh yang sama (8.10)

  16. Luasseluruhbidanguntukjarakh yang tidaksama (8.11)

  17. Contoh 8.2 Dari tabelberikut, gunakanmetodetrapesiumuntukmengevaluasi integral dengann = 8 Penyelesaian

  18. n = 8 ; xn = x8 = 2,0 ; x0 = 0,4 Dari persamaan (8.5) didapat h = (xn – x0)/n = (2,0 – 0,4) / 8 = 0,2 Dari tabeldidapat: f (x0) = 5,1600 2 f (x1) = 2(3,6933) = 7,3866 ; 2 f (x2) = 2(3,1400) = 6,2800 2 f (x3) = 2(3,0000) = 6,0000 ; 2 f (x4) = 2(3,1067) = 6,2034 2 f (x5) = 2(3,3886) = 6,7772 ; 2 f (x6) = 2(3,8100) = 7,6200 2 f (x7) = 2(4,3511) = 8,7022 ; f (x8) = 5,0000

  19. 8.4 AturanTitik Tengah Gambarberikutadalahsebuahpersegipanjangdari x = x0sampaix = x1dantitiktengahx = x1/2 = x0 + h/2 y f (x) h x a=x0x1/2 b=x1 O Gambar 8.4 Aturantitiktengah

  20. y … Gambar 8.3 nbuahpersegipanjangdenganpanjangmasing-masingf (xn+h/2) x O a=x0x1x2 … xn-1 b=xn n = (xn – x0)/h (8.7)

  21. Luasn buahtrapesiumadalah (8.8) Persamaan (8.8) adalahhampiranintegrasif(x) denganmetodetitiktengah.

  22. Contoh 8.3 Dari tabelberikut, gunakanmetodetitiktengahdengann = 8 untukmengevaluasi integral

  23. Penyelesaian n = 8 ; xn = x8 = 2,0 ; x0 = 0,4 Dari persamaan (8.5) didapat h = (xn – x0)/n = (2,0 – 0,4) / 8 = 0,2

  24. Dari tabeldidapat: f (x0+h/2) = f (0,4+0,1) = f (0,5) = 4,4266 f (x1+h/2) = f (0,6+0,1) = f (0,7) = 3,4166 f (x2+h/2) = f (0,8+0,1) = f (0,9) = 3,0700 f (x3+h/2) = f (1,0+0,1) = f (1,1) = 3,0534 f (x4+h/2) = f (1,2+0,1) = f (1,3) = 3,2476 f (x5+h/2) = f (1,4+0,1) = f (1,5) = 3,5993 f (x6+h/2) = f (1,6+0,1) = f (1,7) = 4,0806 f (x7+h/2) = f (1,8+0,1) = f (1,9) = 4,6757

  25. 8.5 Aturan Simpson 1/3 Aturansimpson 1/3 adalahaturan yang mencocokkanpolinomialderajat 2 padatigatitik data diskrit yang mempunyaijarak yang sama. p2(x) y f (x) x x0 = 0 x1 = hx2 = 2h Gambar 8.4 Aturan Simpson 1/3

  26. Dari persamaan (8.5) s = (x – x0)/h ataux = x0 + sh Sehingga Untukx = x0, makas = 0 Untukx = x2, makas = 2

  27. ataudapatditulisdalambentuk (8.9)

  28. Contoh 8.4 Selesaikan denganmenggunakanmetode: Trapesium Titiktengah Simpson 1/3 Bandingkanhasilmasing-masingmetodedengansolusisejatinya. Penyelesaian h = 0,10

  29. a. MetodeTrapesium n = (xn – x0)/h = (1 – 0) / 0,1 = 10

  30. I  0,05(0,5000 + 1,0476 + 1,0909 + 1,1304 + 1,1666 + 1,2000 + 1,2308 + 1,2592 + 1,2856 + 1,3104+0,6666  0,59438

  31. b. Metodetitiktengah: f (x0+h/2) = f (0,0+0,05) = f (0,05) = 0,5122 f (x1+h/2) = f (0,1+0,05) = f (0,15) = 0,5348 f (x2+h/2) = f (0,2+0,05) = f (0,25) = 0,5556 f (x3+h/2) = f (0,3+0,05) = f (0,35) = 0,5744 f (x4+h/2) = f (0,4+0,05) = f (0,45) = 0,5918 f (x5+h/2) = f (0,5+0,05) = f (0,55) = 0,6078 f (x6+h/2) = f (0,6+0,05) = f (0,65) = 0,6226 f (x7+h/2) = f (0,7+0,05) = f (0,75) = 0,6364 f (x8+h/2) = f (0,8+0,05) = f (0,85) = 0,6491 f (x9+h/2) = f (0,9+0,05) = f (0,95) = 0,6610

  32. c. Metode Simpson 1/3 n = (xn – x0)/h = (1 – 0) / 0,1 = 10

  33. Solusisejati

  34. 8.6 Aturan Simpson 3/8 Aturansimpson 3/8 adalahaturan yang mencocokkanpolinomialderajat 3 padaempattitik data diskrit yang mempunyaijarak yang sama. y f (x) pn(x) x1 = h x2 = 2h x3 =3h x0 = 0 x Gambar 8.5 Aturan Simpson 3/8

  35. Dari persamaan (8.5) s = (x – x0)/h ataux = x0 + sh Sehingga Untukx = x0, makas = 0 Untukx = x2, makas = 2

  36. ataudapatditulisdalambentuk Selesaikandenganmetode Simpson 3/8 Contoh 8.5 (8.9) dengann = 9. Bandingkanhasilnyadenganmetodetrapesium, titiktengah, Simpson 1/3 dandengansolusisejati. Penyelesaian

  37. Untukn = 9  h = ( 1 – 0)/9 = 1/9

  38. Itotal 3h/8{ f0 + 3( f1 + f2 + f4 + f5 + f7 + f8 )+ 2(f3 + f6 ) + f6 }  (3/8)(1/9){ 1,16666 + 10,70931+ 2,39286}  0,59453

  39. 8.7 Aturanintegrasinumerikuntukh yang berbeda • Suatu data seringmempunyaijarak yang berbedapadasebagiantitik, sedangkansebagiantitiklainnyasama. Sebetulnyakitadapatmenggunakanaturantrapesium, khususnyapersamaan (8.11). Akantetapijikakitainginmeningkatkantingkatketelitian, makakombinasipenggunaanmetodetrapesium, Simpson 1/3, dan Simpson 3/8 menjadipilihan yang lebihbaikdaripadamenggunakanmetodetrapesiumsecarakeseluruhan. • Aturankombinasinyaadalahsebagaiberikut: • Untukselangberurutanmempunyaijarak yang sama • danberjumlahgenap, gunakanaturan Simpson. • Untukselangberurutanmempunyaijaraksamadan • berjumlahkelipatantiga, gunakanaturan Simpson 3/8

  40. f (x) y h2 h2 h3 h2 h3 h1 h1 h1 h1 x8 x0 x1 x2 x3 x4 x9 x5 x6 x7 Simpson 1/3 Simpson 3/8 x Trapesium Trapesium Gambar 8.6 AturanGabungan

  41. 8.8 Metode Newton-Cotes Bentukumumdarimetode Newton-Cotes ditunjukkanpadapersamaanberikut. (8.9) n = jumlahpias (strip) h = lebarpias = (b – a)/n fi = f (xi) xi= a + ih α = koefisien β = koefisien E = Galat

  42. Tabel 8.1 Rumus Newton-Cotes

  43. Tabel 8.1 Rumus Newton-Cotes (lanjutan) Tabel 8.1 adalahtujuhdari 10 rumus Newton-Cotes. Rumus 1 sampai 4 masing-masingdidapatdenganaturantrapesium, Simpson 1/3, Simpson 3/8, dan Boole. Rumus 5 danseterusnyadidapatdenganmenggunakanpolinominterpolasiselisihmajuderajat 4, 5, danseterusnya.

More Related