数学史概论

1. 数学史概论 十七世纪 数论 05数教31号 蔡子辉

2. 数论的发展简况   • 数论是一门古老学科，创始却在十七世纪，数论做为数学最基础的学科 ，但它的基础不够完善，数论是一门研究整数性质的学科 。 • 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注 。 •  十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了 。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，使数论成为独立的一门学科，高斯还把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。 • 二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”， • 数论还研究不定方程的求解问题。不定方程的研究虽有久远的历史，但完满解决的问题并不多。 从数论发展的历史可以看出，不同的研究方法得出不同的的结果。

3. 抽象的数论 高斯曾把数论描绘成“一座仓库，贮藏着取之不尽的，能引起人们兴趣的真理”。 • 数论是一门高度抽象的数学学科，它的发展处于纯理论的研究状态，大多数人并不清楚它的实际意义。数论最初是从研究整数开始的，叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了 。 • 1896年鲍尔所说：“这门学科本身是一个特别引人、特别雅致的学科，但它的结论没什么实际意义。”确实，如果按通常分法把数学分为“纯粹”数学与“应用”数学的话，数论或许是数学中所能达到的最纯粹的了。费马、欧拉、拉格朗日、勒让达、高斯等都是出自数论内在的趣味及其特有的美而研究的。 •     由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。 高斯 阿贝尔

4. 最早的数论研究 • 丢番图的墓志铭：请你告诉我，丢番图寿数几何？ • 他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年．再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭．五年之后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲一半的年龄．晚年丧子老人真可怜，悲痛之中渡过风烛残年．丢番图寿数几何？ • 《孙子公元前 1100 年商高曾给出不定方程。X的二次方与Y的二次方的和是Z的二次方的一组解x=3，y=4，z=5 。特殊类型的整数，是数论最早研究的对象之一  ， • 《孙子算经》与“物不知数” • 《张邱建算经》与“百鸡问题” • 《缉古算经》与三次方程 • 《中国剩余定理》 • 近代数论从费马开始 • 十八世纪是费马思想的天下，新领域是代数数论 • 十九世纪主要是解析和代数数论

5. 数论分类 • 1、初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。 • 2、解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。 • 3、代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。 • 4、几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。 • 5、堆叠数论数论研究将整数表为某种整数之和的问题 ，哥德巴赫猜想 • 用算术推导方法来论证的数论命题的分支称为初等数论，而解析数论则是把算术问题化为分析问题，然后用分析的成果与方法来处理，从而导出算术的结果。

6. 一些研究数论的数学家 • 古希腊，毕达哥拉斯，欧几里得，丢番图 • 十七世纪：费马 • 十八世纪：欧拉，拉格朗日 • 十九世纪代数数论：高斯，库默尔 解析数论：黎曼，阿达玛，瓦莱-普桑 ，塞尔伯格 ，爱尔特希 • 二十世纪：素数判定，哥德巴赫猜想，费马大定理，黎曼假设 • 二十世纪三十年代 ：华罗庚、闵嗣鹤、柯召 费马 欧拉 华罗庚 黎曼

7. 数论的应用 • 费马大定理已被解决，经过许多数学家的努力，包括欧拉、勒让德、费雷、维尔斯等 • 哥德巴赫猜想还没解决，尽管陈景润已证明了1+1=2。 • 数论仍在不断的发展中，数论是既简单的，又复杂的，他的魅力就在不断的探索中展示出来。 • 大素数分解问题已与密码破译紧密联系在一起了。 • 现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。