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第十四章习题课

第十四章习题课. 幂级数. 1 、. (1) 定义. (2) 收敛性. 推论. 定义 : 正数 R 称为幂级数的 收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的 收敛区间. (3) 幂级数的运算. a. 代数运算性质 :. 加减法. (其中. 乘法. (其中. 除法. b. 和函数的分析运算性质 :. 2 、幂级数展开式. (1) 定义. (2) 充要条件. (3) 唯一性. (3) 展开方法. a. 直接法 ( 泰勒级数法 ). 步骤 :. b. 间接法.

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Presentation Transcript

  1. 第十四章习题课

  2. 幂级数 1、 (1) 定义

  3. (2) 收敛性

  4. 推论

  5. 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.

  6. (3)幂级数的运算 a.代数运算性质: 加减法 (其中

  7. 乘法 (其中 除法

  8. b.和函数的分析运算性质:

  9. 2、幂级数展开式 (1) 定义

  10. (2) 充要条件 (3) 唯一性

  11. (3) 展开方法 a.直接法(泰勒级数法) 步骤: b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.

  12. (4) 常见函数展开式

  13. (5) 应用 a.近似计算 b.欧拉公式

  14. 例1（1） 例1.求下列各幂级数的收敛域 解 ∴收敛半径为 所以原级数在（-2，2）收敛 发散 收敛 故：原级数的收敛域为 [-2，2）。

  15. 例1（2）— 1 解 ∴收敛半径为

  16. 例1（2）— 2 ∴收敛半径为

  17. 例1（2）— 3

  18. 例1（3） 解 用比值法： 则 原级数收敛； 原级数发散； 发散； 故：原级数的收敛域为

  19. 例1（4） 解 用比值法： 则 原级数收敛； 原级数发散； 原级数绝对收敛； 故：原级数的收敛域为

  20. 例2（1）—1 例2 (1) 解 两边逐项积分

  21. 例2（1）—2

  22. 例2（2）—1 解 两边逐项求导

  23. 例2（2）—2 两边同时积分，

  24. 例2（3）—1 解 （*） 由上题结论，有

  25. 例3 解

  26. 例4 解

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