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trigonometria Triangoli qualunque

trigonometria Triangoli qualunque. Un triangolo si considera risolto quando se ne conoscono i tre lati e i tre angoli. A. a. b. g. C. B. Una prima proprietà dei triangoli qualunque. L’area A di un triangolo è uguale a. A. a. b. c. g. b. C. B. a. H.

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Presentation Transcript

  1. trigonometria Triangoli qualunque

  2. Un triangolo si considera risolto quando se ne conoscono i tre lati e i tre angoli A a b g C B

  3. Una prima proprietà dei triangoli qualunque L’area A di un triangolo è uguale a A a b c g b C B a H

  4. Utilizzando le funzioni goniometriche L’area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso A a b c b g C B a H Vediamo perché

  5. L’altezza AH può essere considerata: • AH = ABsenb, oppure • AH = ACseng A a b c b g C B a H oppure Quindi: diventa

  6. Consideriamo il caso Allora A AH = ACsen(180 – g) = ACseng a c b g b 180 - g a H B C

  7. A a c b g b 180 - g a H B C Quindi: diventa L’area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso

  8. A a c b g b 180 - g a H B C L’area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso

  9. Area di un parallelogramma D a C b h b a H a A B quindi

  10. Teorema dei seni In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra un lato e l’angolo corrispondente a b c h b g a S = ½ ac senb

  11. Teorema dei seni In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra un lato e l’angolo corrispondente 90° S = ½ cbsen(180-a) h a S = ½ cbsena b c b g a S = ½ ac senb

  12. Teorema dei seni In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra un lato e l’angolo corrispondente S = ½ ab seng a b c h b g a S = ½ ac senb S = ½ cbsena

  13. Teorema dei seni In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra un lato e l’angolo corrispondente a b c b g a S = ½ ac senb S = ½ ab seng S = ½ cbsena

  14. Teorema dei seni In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra un lato e l’angolo corrispondente ½ ac senb = ½ cbsena = ½ ab seng a b c b g a ac senb = cbsena = ab seng

  15. Teorema dei seni In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra un lato e l’angolo corrispondente ac senb = ab seng = cbsena a b c b g a Se dividiamo per abc si ottiene

  16. Teorema dei seni In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra il seno di un angolo e il lato corrispondente ac senb = cbsena = ab seng a b c b g a

  17. Teorema delle proiezioni In un triangolo qualunque la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure degli altri due lati per il coseno dell’angolo che ciascuno di questi forma col primo a b c b g a

  18. Teorema delle proiezioni In un triangolo qualunque la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure degli altri due lati per il coseno dell’angolo che ciascuno di questi forma col primo A BC = ABcosb+ACcosg a b c b g C B a H BC = BH +HC BH = ABcosb HC = ACcosg quindi

  19. Teorema delle proiezioni In un triangolo qualunque la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure degli altri due lati per il coseno dell’angolo che ciascuno di questi forma col primo A BC = ABcosb +ACcosg a b c b g C B a H Questa proprietà è valida per qualunque lato

  20. Teorema delle proiezioni 180°-a H A 90° a b c a-90° b g C B a cos(180 – a) = - cos a AC = HC – HA = BCcosg – ABcos(180 – a) e poiché

  21. ombra Perché si chiama teorema delle proiezioni L = lunghezza del bastone La lunghezza dell’ombra si chiama proiezione Proiezione = lcos a l a

  22. Teorema del coseno ( o di Carnot) A a b c b g C B a Il quadrato costruito su uno dei due lati equivale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto di questi moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso

  23. A a b c b g C B a

  24. A a b c b g C B a

  25. A a b c b g C B a

  26. A a b c b g C B a

  27. A a b c b g C B a Sommando membro a membro e semplificando si ottiene

  28. A a b c b g C B a Si ottiene Che si può anche scrivere come

  29. A a b c b g C B a TEOREMA DI CARNOT Il quadrato costruito su uno dei due lati equivale alla somma dei quadrati degli altri due meno il doppio prodotto di questi moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso

  30. A a b c b g C B a Il TEOREMA DI CARNOT è una generalizzazione del teorema di Pitagora valida per tutti i triangoli e non solo per quelli rettangoli

  31. A a b c b g C B a infatti se a = 90°

  32. A 90° b c b g B C a

  33. A 90° b c b g B C a

  34. A 90° b c b g B C a

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