保持 数学分析、实变函数论课程 内容的科学性与先进性

1. 保持数学分析、实变函数论课程内容的科学性与先进性保持数学分析、实变函数论课程内容的科学性与先进性 王昆扬 北京师范大学数学科学学院 (100875) 信箱: wangky@bnu.edu.cn 主页: http://math.bnu.edu.cn/~wangky

2. 问题的提出 • “数学分析”是大学数学系的一门重要的基础课，也是其他各系数学课的重要部分。此课程历史悠久。在教学改革中有一种观点认为这门课已相当成熟，不宜做大的改动。 其实，正因为这门课程老，其中陈旧的概念、落后的叙述还是很多的。科学不会过时，但落后的陈述必须改进。

3. 问题的提出 • “实变函数论”是另一门课。此课程长期处于“必选课”类。地位明显逊于“数学分析”。原设内容为Lebesgue积分论。 在现代数学中，必须用Lebesgue积分取代Riemann积分。 原实变函数论的基本内容应该纳入数学分析课中。 这是时代发展的必然。

4. 数学分析中几处落后的陈述 • 一 是“实数的表示”没讲好。在这一点上缺乏科学性。 Dedekind分割应该淘汰。 这里引《古今数学思想》中的几段话，供参考。

5. 《古今数学思想》对Dedekind分割的介绍 • Dedekind’s language in introducing irrational numbers leaves a little to be desired. He introduces the irrational α as corresponding to the cut and defined by the cut. But he is not too clear about where α comes from. He should say that the irrational number α is no more than the cut. In fact Heinrich Weber told Dedekind this, and in a letter of 1888 Dedekind replied that the irrational number α is not the cut itself but is something distinct, which corresponds to the cut and which brings about the cut. Likewise, while the rational numbers generate cuts, they are not the same as the cuts. He says we have the mental power to create such concepts. --From the page 986 of the book 《Mathematical Thought From Ancient to Modern Times》 by Morris Kline, Oxford University Press, 1972 )

6. 《古今数学思想》对Dedekind分割的介绍 • The irrational number, logically defined, is an intellectual monster （智慧的怪物）, and we can see why the Greeks and so many later generations of mathematicians found such numbers difficult to grasp. ——From the page 987 of the book 《Mathematical Thought From Ancient to Modern Times》 (by Morris Kline, Oxford University Press, 1972 )

7. Cantor认为分割在分析中出现并不自然 虽然Dedekind的无理数理论，经过上面指出的一些少量修改之后，是完全符合逻辑的，但Cantor认为分割在分析中出现并不自然而加以批评。 ——From 《Mathematical Thought From Ancient to Modern Times》 (by Morris Kline, Oxford University Press, 1972 )

8. Dedekind的理论太难 从戴德金1858年思考无理数，1872年发表理论，到1888年回信给Weber，对于他的理论的“不完善之处”用“我们有创造这种概念的脑力”这样的非数学语言来狡辩，共历时30年。 其间，从他发表理论到他为自己的理论的模糊之处进行无理的辩解，也有16年之久。足见他的理论，实在是太不容易了。

9. Dedekind分割依赖于数的大小 分割的思想不能推广到距离空间的完备化

10. Terence Tao 认为表示实数需要极限 But to get the reals from the rationals is to pass from a “discrete” system to a “continuous” one, and requires the introduction of a somewhat different notion ---that of a limit. ---from Terence Tao’s book 《Analysis I 》， Hindustan Book Agency (India), 2006 ，Page 108

11. 传统数学分析课本中几处落后的陈述 • 积分论长期滞留在Riemann积分的不完善的理论水平上 滞后于时代的进步，缺乏先进性。基于落后的积分论，把许多正常的积分，例如著名的Gamma函数等都叫做“反常积分”。

12. 法国著名数学教育家J.Dieudonné的观点见《现代分析基础》第一卷,159页(科学出版社,1982)法国著名数学教育家J.Dieudonné的观点见《现代分析基础》第一卷,159页(科学出版社,1982) “这里明显地没有微积分教程中一个古老的题目。即‘黎曼积分’。人们大概会感觉到:如果不是它的有权威的名字，它老早就该没落下去了，因为对于任何一位从事研究工作的数学家来说(带着对黎曼天才的应有尊敬)，十分清楚，现今这一“理论”的重要性在测度与积分的一般理论中，最多不过是一普通的有趣的练习(参看13.9问题7)。只有那种学究传统的顽固保守主义才会把它冻结成课程的正规部分，长时间以后必将失去它的历史重要性。”

13. 传统数学分析课本中几处落后的陈述 • 对于“导数”与“微分”概念的陈述 导数是本质的。对于“微分”概念应该说得直白些，准确些，避免空洞的形式化，去掉历史遗留的神秘色彩。 可惜事实远非如此，甚至还有把导数与微分混为一谈者。更有沉溺于对于“高阶微分”的形式叙述者。

14. C.B. Boyer 《微积分概念发展史》 谈微分 微分脱离了导数就根本没有逻辑重要性可言。柯西保留微分只是以之作为辅助概念，可以比导数提供更简易的运算。1934年到1936年，这一事实使得数学家阿达玛（Hadamard）在《数学学报》（Mathematical Gazette）有关问题的讨论中，认为说明微积分时，运用高阶微分毫无意义。 （唐生译，复旦大学出版社，2007，269页，4—8行） 注. 阿达玛(Hadamard):“教学中的微分表示法” （“La Notion de différentiel dans l’enseignement”）

15. Michael Spivak 谈微分记号 The notation df/dx, always a little too tempting, has inspired many (usually meaningless) definitions of dx and df separately, the sole purpose of which is to make the equation df=df/dx dx work out. ---- Calculus on Manifolds, Page 45

16. Terence Tao 谈微分符号 如果把f(x)写成y,把g(y)写成z,那么链法则可写成更具视觉吸引力的形状: dz/dx=dz/dy dy/dx. 但是这个记号可能使人误入歧途(例如把非独立变量与独立变量的区别搞模糊了,特别是对于y,并引导人们相信dz,dy,dx可以被象实数那样进行演算(事实上,我们根本不曾给它们指定任何含义),而且这样处理它们可能导致进一步的问题. ---- 陶哲轩实分析, 王昆扬译,人民邮电出版社, 2008，P.211, 注10.1.17