數學史融入數學教學之策略概述 ( 一 )

1. 數學史融入數學教學之策略概述(一) 報告人：陳冠良

2. 前言 • 強調數學如果脫離豐沃文化的基礎，就可能會被簡化為一系列的技巧，因此其形象將被扭曲，這種情形於學生接受教育時，就不斷地發生。 • 使學習者瞭解數學是深深地鑲嵌於人類文化發展之中。 • 數學史宛如一座巨大的冰山，本講座僅能做概略的描述，無法一窺全貌。 • 以教學為主軸，嘗試藉由數學史的融入，為數學教學注入新的元素。

3. 為什麼要研究數學史 • 『再也沒有什麼故事比科學思想發展的故事更有魅力了』。 W.C.Dampier • 『學習數學史不一定產生更出色的數學家，但它產生更溫雅的數學家，學習數學史能更豐富他們的思想；撫慰他們的心靈，並培植他們的高雅氣質。』 George Sarton,1884-1955

4. 數學史於數學課堂中所扮演的角色 • 媒介的角色 • 額外的習題 • 刺激另類思考 • 人文啟發的角色 • 跨學科整合 • 減緩學習壓力 • 激勵個別策略 • 人格薰陶 • （多元）文化的關懷

5. 媒介的角色 • 數學史以數學概念、數學方法和數學思想之起源與發展，及社會、政治、經濟和一般文化的關連為主要研究的範疇。 • 以數學史為橋樑，能將學生的心靈與數學概念及思維作有機的連通。

6. 額外的習題 • 透過適當的安排，使學生接觸文本，進一步瞭解數學在人類文明的歷程所扮演的角色。 • 使學生瞭解數學是實際滲透於人類的生活之中。 • 以《海島算經》為例： • 今有望海島，立兩表，齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表三相直。從前表却行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末三合。從後表却行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末三合。問：島高及去表各幾何？

7. 額外的習題 有一個海島，不知道它的高度和離岸距離，討論如何量度海島的高度和離岸距離 （選自沈康身，中國古代测量技術的成就） 摘錄自http://kss.hkcampus.net/~kss-wsf/theory.htm#difference

8. 刺激另類思考 • 學習由不同的角度解決問題(一）。 • 群羊逐草選自《算法統宗》 • 甲趕群羊逐草茂，乙攜肥羊一只隨其後。試問甲及一百否？甲云所得無差謬。若得這般一群湊，再添半群小半群，得你一只來方湊，玄機奧妙誰參透？答曰：甲羊三十六只

9. 刺激另類思考 • 學習由不同的角度解決問題(二）。 • 隔牆分銀選自《算法統宗》 • 隔牆聽得客分銀，不知人數不知銀; 七兩分之多四兩，九兩分之少半斤。 答曰：六人，銀四十六兩

10. 人文啟發的角色 • 歷史性的啟發。 • 數學發展的歷史，是文明史，亦是文化發展的歷史。 • 「函數」的七次擴張，伴隨著科學的發展和社會的進步。 • 哲學性的啟發。 • 不可公度比的發現、芝諾悖論(二分說、阿奇里斯追龜、飛箭靜止) • 審美性的啟發。 • 9*9+7=88 • 98*9+6=888 • 987*9+5=8888 • 9876*9+4=88888 • 98765*9+3=888888 • 987654*9+2=8888888 • 9876543*9+1=88888888 • 98765432*9+0=888888888

11. 跨學科整合 • 科學、藝術、歷史、音樂、建築等皆與數學息息相關。 • 數字與詩： A. 一去二三里，煙村四五家。 樓台六七座，八九十枝花。 B. 一花一柳一點磯，一抹斜陽一鳥飛 一山一水一中寺，一林黃葉一僧歸。…清。何佩玉 • 黃金分割： • 埃及金字塔、希臘雅典帕特農神廟、維納斯女神像、芭蕾舞演員墊起腳尖、窗戶大小規格等。 • 人體的四個黃金分割點：肚臍、咽喉、膝蓋、肘關節。 • 肚臍以上與肚臍以下 • 咽喉至頭頂與咽喉至肚臍 • 膝蓋至腳後跟與膝蓋至肚臍 • 肘關節至肩關節與肘關節至中指尖

12. 減緩學習壓力 • 瞭解數學發展是歷經千百年的累積，藉以減輕在授課時數侷限下，學生學習數學所產生的挫折與壓力。 • HPM通訊第二卷第一期 • 諭王道化：朕自起身以來，每日同阿哥等察【阿而熱巴拉新法】，最難明白，他說比舊法易，看來比舊法愈難，錯處易甚多，騖突處也不少 ...... 還有言者：甲乘甲、乙乘乙，總無數目，即乘出來亦不知多少，看起來想是此人算法平平耳。（參考【掌故叢編】二輯【清聖組諭旨二】）

13. 激勵個別策略 • 學生的思維與數學發展歷程的比較，可使學生意識到數學的『溫度』。 • 又有九十一分之四十九。問約之得幾何？答曰：十三分之七。 • 約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。 • 「可半者半之」:分子和分母可以用2除之者，先同除以2 • 「副置分母子之數」:(91,49) • 「以少減多」：(91-49,49)=(42,49)=(42,49-42)=(42,7) • 「更相減損，求其等也」： (91-49,49)=(42,49)= (42,49-42)=(42,7)=…=(7,7)，7就是「等數」。 • 「以等數約之」：分子與分母同除以7 • 以上方式與輾轉相除法有異曲同工之妙，可於介紹輾轉相除法前做鋪陳或兩法之比較。

14. 人格薰陶 • 由數學家契而不捨的精神激發學生求真、求善、求美的情懷。 • 引導學生善用理性思考解決問題。 • 分析、歸納、演繹、類比

15. （多元）文化的關懷 • 不同文化與地區對數學的認知與發展歷程，同中有異，異中存同。 • 認識不同文明的發展，進而尊重與關懷各種不同文化。

16. 如何在數學教學中融入數學史：know-how • 基本教學策略： • 說故事： • 提供銘言佳句：有畫龍點睛之效 • 引入另類解法 • 貼近文本 • 與生活脈絡連結

17. 如何在數學教學中融入數學史：know-how • 進階教學策略（一） • 歷史「花絮」（snippets） • 數學史的原始文獻（primary sources） • 練習題（worksheets) • 提供2-3堂課使用的「歷史套裝」（historical packages） • 恰當地使用歷史上出現的謬誤（errors）、另類概念（alternative conceptions）、觀點的改變（change of perspective）、隱含假設的修訂（revision of implicit assumptions）以及直觀論證（intuitive arguments）等等

18. 如何在數學教學中融入數學史：know-how • 進階教學策略（二） • 歷史上的問題 • 回到過去的數學實驗活動 • 數學話劇 • 多媒體工具 • 戶外數學古蹟的教學活動 • 利用網路搜尋資料 • 建立讀書會

19. 基本教學策略--說故事 • 數學故事的八種類型 • 「數學是什麼？」的故事： • 「為什麼要學數學？」的故事： • 「數學的人文啟發」的故事： • 「數學應用於日常生活」的故事： • 「數學益智」的故事： • 「數學文本」的故事： • 「數學發現」的故事： • 「數學家」的故事：

20. 「數學是什麼？」的故事 • 數學歷史解釋的幾大方向： • 按時代區分 • 按數學對象、方法等本身的變化過程。 • 按數學發展的社會背景。

21. 「數學的人文啟發」的故事 • 數學的歷史大部分隱藏在我們所見的文化中，也牽涉到人類生活的每一層面。舉凡交易、農作、宗教、打仗等都與數學發生交互的影響。

22. 「數學應用於日常生活」的故事 • 數學思考與所有人類活動息息相關。如：地圖繪製、航海、透視藝術、無線電、電視、電話、電腦等。 • 生物世界的數學本質，可從費波那契數列中略窺一二，尤其是在植物世界，例如；葉子沿著莖的排列，花瓣的數目，百合花有三個花瓣，毛良有五個花瓣，飛燕草有八瓣，金盞花有十三瓣，在向日葵中也發現費氏數列。

23. 「數學益智」的故事 • 埃拉托斯特尼(Eratosthenes,276B.C.~195B.C.)測量地球圓周長：幾何 • 韓信點兵：同餘 • 丟番圖的墓誌銘：代數 • 尤拉七橋問題：一筆畫 • 莫比烏斯帶：單側區面

24. 「數學益智」的故事 • 【同餘小傳】： • 一、金庸武俠小說射雕英雄傳中有一段故事： • 有一位住在黑沼，中自稱神算子的瑛姑，武功高強，數學卻不甚高明，經常苦思數月，解一些算術或代數中的問題。郭靖與黃蓉因逃避裘千仞的追蹤，誤入瑛姑住的污泥湖沼，離開前，黃蓉用竹杖在地下細沙上寫了三道算題。其中一道為『鬼谷算題』：今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？黃蓉對郭靖說：這三道題目，半年之內她必算不出來，叫她的頭髮全都白了。 • 此一問題，便是後來被西方數學家稱為中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）之一特例。最早出現在孫子算經中（因此在中國亦稱為孫子定理），後來流傳於民間以不同的故事出現，如韓信點兵，後來又有一些詩或口訣，給出此題之解，如：三人同行七十稀，五樹梅花二十一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知。 • 二、同餘的概念是高斯（Gauss，1777-1855）在他於西元1801年出版 的算學研究（Disquisitiones Arithmetica）一書中最先引進。

25. 「數學文本」的故事 • 普林頓322的泥版上（如右圖），據依格包爾（otto neuguebauer）的考證，巴比倫人還列舉出畢達格拉斯數組，近幾十年來依格包爾（otto neuguebauer）詮釋了許多楔形文字泥版，對巴比倫的數學給出比過去更高的評價。

26. 「數學發現」的故事 • 教授畢氏定理時，可以談談畢達哥拉斯（Pythagoras，580~500B.C.）的生平，及其所成立的畢達哥拉斯學派，其宗旨是『萬物皆數』，在幾何、數論、天文、音樂等，都有很卓越的研究成果。此學派教規甚嚴，不可洩漏教派之機密。但該學派卻發現邊長為1的正方形之對角線長度既非整數，也不是整數比所能表示，嚴重觸犯了畢氏學派的教條，相傳希伯索斯洩漏此一情形，而被其他信徒丟入海中處死，亦有數學史家認為畢是學派是研究其精神徽章五星圖時，發現與其教義矛盾的現象。 • 畢氏定理又有百牛定理之稱，相傳畢達哥拉斯發現了直角三角形基本定律，後曾舉辦一次盛大的牛祭。從此以後，每當新的定理被發現所有的牛都怕的瑟瑟發抖。

27. 「數學發現」的故事 • 勾股定理及其歷史：勾股定理被發現至今大約有三千多年的歷史，巴比倫、埃及都先後應用過它，在中國方面【周髀算經】（約公元前一百多年）記載，商高（約公元前1120年）答周公曰：「勾廣三，股修四，徑隅五」這裡勾指直角三角形的兩直角邊中較短者，股是指另一直角邊，徑則為斜邊。另一位陳子（公元前七—六世紀）與榮方討論測量問題時的對話：「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並以開方除之，得邪至日。」

28. 「數學發現」的故事 • 圓面積之證明：好的證明是既發現又證明

29. 「數學發現」的故事

30. 「數學發現」的故事 • 割之彌細，所失彌少；割之又割，以至於不可割，則與圓周，體而無所失矣。…劉徽

31. 「數學家」的故事

32. 「數學家」的故事 • 在課堂上可多提供一些資訊給學生，讓他們感染大師的風範，大師之所以成為大師，包含了天賦、人文素養、毅力等等，說不定透過這種連結，在日後能激發更多的阿基米得、愛因斯坦、劉徽。再者，一些趣聞可減少學生對數學一些硬梆梆的成見。

33. 休息一下！ To be countinue….