數學教師的專業成長：教學多元化

1. 數學教師的專業成長：教學多元化 報告人：吳建良 99年4月21日 講義資料：摘自李源順(1998)，校內數學教師專業發展的互動模式。師大學報：科學教育類，43(2)，1-23。

2. 摘要 • 本文探討兩位採用講述教學取向的資深數學教師，在三年內如何邁向教學多元化的改變歷程。 • 研究發現，同事互動引動師生互動以及教師自我反思。在三者的連動下，促使教師在教學策略上有了三階段的改變。 1.兩個月後觀察到參與教師嘗試多種教學策略。 2.經過半年至一年的試用，個別教師已經沉澱並穩定使用自己偏好的若干種教學策略。 3.到第三學年，觀察到教師對教學策略使用有折回現象，保守使用多種教學策略。

3. 從實作社群模式與活動理論的角度來詮釋本研究對學理的貢獻：從實作社群模式與活動理論的角度來詮釋本研究對學理的貢獻： • 1.研究發現促使參與教師教學相關知識/能力的成長，是由於在同事互動的過程中同事之間可以自由地提出自己對教學問題的意見或處理教學問題的經驗。 • 2.參與教師在自主自律的社會實作身份下，引發自動性的學習動機，進而帶動參與教師教學方式的改變。 • 3.隱約可看出數學教師的可能學習理論。

4. 緒言 • 數學教師的專業成長是一個緩慢的成長過程，它需要長時間的養成。 • 數學教師專業成長的內涵包括教師信念(價值)的改變、教學知識的成長(數學知識、對學生認知的認識、相關教學法知識) • 行政院教育改革審議委員會(1995)、Brown＆Borko(1992) 、Cooney＆Shealy(1994)等人認為教師的專業成長是一個緩慢的過程，甚至是一個終身發展的過程。（所以教師在職期間仍應不斷的學習成長）

5. 我們(李源順．林福來)承襲許多研究者的觀點，認為『學校和班級教室是教師學習的良好場所』我們(李源順．林福來)承襲許多研究者的觀點，認為『學校和班級教室是教師學習的良好場所』 • 我們利用學校作為數學教師成長的環境，把數學教師聚集起來，組成一個討論小組，利用課餘時間討論實務上的教學問題(學生學習問題)。 • 我們進一步分析，參與教師專業成長的動力是由於： 1.關心學生學習需求的同事引動教師在教室內和學生進行師生互動。 2.師生互動的經驗又為同事互動引入活水。(外部循環) • 內部循環：教師本身對教學問題的察覺、解決、反思(教師專業成長的內涵)。 • 內、外循環互相連動，稱之為『學生中心互動模式』。

6. 講述教學是中學數學教師的主要教學模式 • 現今中等學校教師的教學方式，仍偏向傳統以教師為中心的講述教學取向。 • 一位國中校長指出：…，大部分的教師沒有足夠能力和意願去運用多樣化、創新的教學法。 • 美國Waston(1995)利用兩年多時間觀察，發現中等學校的教學是以教師講述取向為大宗。 • 英國Jaworski(1994)也發現鍾等數學教學最為普遍的現象是以”黑板”和“講”為主的講述教學取向。 • 金鈐(1995)探討中學數學教師的信念以及班級教學，發現其中一位資深教師相信學生只要多做數學題目，一定可以把數學學好。這位教師之所以這樣認為，是因為受到他中學時期數學學習經驗的影響。

7. 美國Waston(1995)的研究發現，數學教師在教學時偏向使用講教學，是因為教師在學生時代的成功學習經驗，促使他們使用相同的方法教給學生，並期望有相同的結果。美國Waston(1995)的研究發現，數學教師在教學時偏向使用講教學，是因為教師在學生時代的成功學習經驗，促使他們使用相同的方法教給學生，並期望有相同的結果。 • 講述教學對基本計算技能的達成是最有效率的教學模式(Peterson，1988)。 • 大家普遍認為，講述教學策略能快速、清楚的把許多問題教給學生，是最為經濟有效的方法。 • 異於傳統講述教學方式的教學方法，如解題取向、溝通取向、小組合作學習、活動學習、診斷教學、電腦輔助教學等，它所需要的專業教學知識與能力比講述教學來得多。 • 張宏志、柳賢(1995)曾對6名數學實習教師的調查發現，實習教師在實習過程中，雖然嘗試實行某些教學理論，如分組教學，但常因專業訓練不足，而無法達到實質的效果，在運用多元教學策略受到挫折，又無法得到其它支援的情況下，只好折回熟悉的傳統講述教學取向。

8. 解題取向教學 教師有能力設計合適的題目，在教學過程中有能力幫助學生型成問題，幫助學生應用各種解題策略進行解題，驗證並說明結果，再一般化結果。 • 溝通取向及小組合作學習的教學 教師要有能力掌握班級互動或小組學習氣氛，適時引導學生的討論。 • 活動學習的教學 教師要有能力設計和數學有關的有趣活動，有能力引導學生在活動的過程中學得數學知識。 • 診斷教學 教師要有能力暸解學生的迷思概念，製造學生認知衝突與進行認知調整。 • 電腦輔助教學 了解熟悉和數學相關的電腦軟體，或有能力設計合適的套件，了解如何結合數學內容，幫助學生學習。

9. 教學方式改變的研究 分析傳統講述教學方式改變的必要性 一、數學教師有必要改變傳統教學取向 • 從社會發展趨勢來看：符合民主化、自由化、國際化、資訊化、科技化、多元化及終身學習的教育。 • 從教育趨勢來看：培養學生適應社會發展趨勢，我國九年一貫教育的課程目標強調透過人與自己、人與社會環境、人與自然環境來學習。 • 美國國家數學教師協會(NCTM)、英國等也積極倡導各種教學方式，以取代講述教學取向。

10. 探討文獻中關於促進教師教學方式改變的相關研究探討文獻中關於促進教師教學方式改變的相關研究 二、促進教師成長的環境與策略 • 教師的成長環境可以區分：（Krainer，1999） 1.教師在自己教學班級學習的成長環境 2.教師在學校內和同事共同學習的成長環境 3.教師在校外教育機構學習的成長環境 • 研究者的實務經驗和文獻：教師通常經過若干年的教學以後，成長就會出現停滯現象。

11. 鍾靜（1999），林碧珍（2000）和研究者（李源順，林福來1998）等人的研究：教師在學校內和同事共同學習教學，能幫助教師改變他的教學方式。鍾靜（1999），林碧珍（2000）和研究者（李源順，林福來1998）等人的研究：教師在學校內和同事共同學習教學，能幫助教師改變他的教學方式。 1.這些研究中促進教師成長的策略，都是以校內 數學教師組成討論小組，進行教學討論會，以自己的實際教學事件作為討論的題材。 2.經過同事互動，讓教師察覺到教學問題，進一步反思並解決教學問題，因而帶動教師的成長。 • Becker＆Pence(1996)，Tirosh ＆Stavy(1999) ，Loborde(1999)等人的研究告訴我們，教師在校外教育機構的學習教學，能幫助改變他們的教學方式。

12. 三、教學方式改變歷程的研究 • 教師的專業成長是一個緩慢的過程(Brown＆Borko，1992；Cooney ＆Shealy，1994；Boufi，1994；Even，Tirosh ＆Markovits，1996；陳舜芬等人，1996)，教師教學方式的改變也需要長時間的孕育。 • 研究者分析教師的實作社群，發現教師除了在班級上和學生接觸最為頻繁之外，在來就是學校內同事，假如我們能把校內數學教師組織起來，有計畫的讓教師在實作社群內互動，研究者相信數學教師的教學方式會改變。

13. 我們所要探究的議題是在社會建構(Vygotsky，edited by Kozulin，1996)理念與社會活動理論(Dowling，1999)下進行。 • 研究者將校內同事組織起來，主要討論教師實務教學問題，希望同事間的社會互動過程中，察覺、反思自己的教學問題，進而引動教師解決教學問題的動機。

14. 研究綜述 一、目的 • 在學校的學習環境下，擬定校內同事互動方式，了解一向使用講述教學取向進行教學的資深教師，他們在三年的互動過程中教學方式的改變歷程 • 所謂校內同事互動方式是，參與教師利用課餘時間討論聚焦在關心學生學習的教學問題。 • 以營造數感教學及診斷教學為教學問題的中心。

15. 二、研究場域和參與教師 • 研究場域：國立僑生大學先修班 • 參與教師： R：研究者。 T1：非師範院校畢業，沒有接受過任何師資訓 練，曾在專校教過7年，有15年教學經驗。 T2：師範院校畢業，曾於國中任教5年，有13年教 學經驗。

16. 三、研究方法及過程 • 本研究採“詮釋性研究法”。參與教師與研究者是同事關係，因此研究者可以在學校正常的教學情境中和參與教師共同討論教學問題，進行教學觀察與訪談，並且詮釋參與教師教學方法的改變歷程。 • 本研究也是一種行動研究，同事互動小組的目的不在理論的發展，只強調解決教學脈絡中的問題。 • 對於收集資料的分析採質的詮釋。 • 研究信度採三角校正法。 • 研究效度採生態效度。

17. 討論內容編碼： A.起：在一段完整的討論段落中，是由誰所引動。 B.誰：在討論過程中是誰在發言。 C.參與方式：參與討論的方式。 • 提問(問)：參與者提出問題。 • 觀點(見)：提出自己的觀點、經驗或做法。 • 贊同(同)：表示同意 • 反對(反)：表示不贊同 • 質疑(疑)：質疑他人的觀點或做法。

19. 對教師在班級上的教學行為加以量化，作為教師教學方式改變的證明。分為六類：對教師在班級上的教學行為加以量化，作為教師教學方式改變的證明。分為六類： a.聊天：教師和學生的閒聊或關懷。 b.唱獨角戲(R-M：Monologue-Radical)：老師獨自講述，或者雖然要求學生回答，但沒有任何學生回應。 c.簡單對話(S-D：Simple-Dialogue)：教師雖然要求學生回答或沒有要求學生回答而學生有反應，教師對此反應沒有或不須予以回應。 d.對話(D：Dialogue)：教師和學生間對同一話題往返的對話 教師發動(D-T： Dialogue-Teacher First) 學生發動(D-S： Dialogue-Student First) e.督導學生實作(S-P：Supervised-Practice)：教師要求學生上台實作問題，在書桌上實作問題，或出習題要求同學回家實作。 f.其它(O)：非上述分類之教學行為

20. 教學方式的多元化 一、互動後兩個月開始第一階段的”嘗試多種教學策略”。 二、第一年末，參與教師對嘗試的教學策略做些許的取捨，而 開啟第二階段的改變，”使用多種教學策略”。 三、參與教師對多種教學策略的精緻運用缺少信心，而導致第 三階段的改變’”保守使用多種教學策略”。 綜觀參與教師的教學方式，都尚未達到專家教師能在不同教學脈絡下，評估各種教學法對學生學習的優劣，而使用使當教學策略的”多元優選教學取向”。

21. 一、偏向單一教學取向-互動前 （一）從互動前的訪談，可以證實兩位參與教師的教學特徵是講述教學取向。 • T1回顧他在教學前會把「所有的東西都寫在一張紙上，包括題目、整個過程，我看了以後，把題目抄好、講，所以整個教的內容是一樣的」，然後上課時「一直講，都講不完」，也「從來沒有叫學生上台做練習。」當他發現「學生精神不好的時候」，他「就停下來聊聊天，講講笑話，氣氛帶好一點，然後就這樣繼續教下去。」他說：「教書幾十年，差不多都是這樣教法，沒有做不同的嘗試。」 「我把這份講義給你去教，和你把你的講義給我教，都差不多嘛，大家對教學的認知就是這樣子。我們就是這樣把這些東西灌輸給學生。」(84.9.11)

22. T2回顧 • 他說：「以前我拚命講，講得嘴巴酸，現在愈來愈少…。今年愈來愈明顯是這樣子教，尤其是夜間輔導課，就直接命令他等於什麼，不講原因。」 「老師(應該)自己想最好的辦法，…把該教的交代過去。」(84.6.13) 從84.5.13的教學發現，當學生詢問老師： 「算式(∫x2㏑x dx=x3/3㏑x- )中的 是怎麼算出來的？」T2沒有辦法分析學生的困難，馬上簡要回答…。當老師在教授下一題時，學生再度詢問「 怎麼來的？」 • T1雖然也已經察覺到學生的學習困難，但他無法分析原因，因此無法尋求如何解決學生的學習困難。

23. 唱獨角戲 簡單對話 教師發動對話 學生發動對話 督導學生實作

24. （二）教學缺乏數學感的營造 • 缺乏數學感教學的教師，在教學時偏向技術性的教學，並要求學生記憶公式。教師不去強調數學的直觀，不強調合理判斷數學問題可能結果或者結果是否合理，也不對數學概念進行必要的連結。 • T1偏向技術向教學，「會幫學生整理公式」，然後要求學生「把它記起來」。（84.9.23） • T2強調老師只能介紹符號是什麼意思，強調學生記憶公式。「背起來」， 「我只能介紹符號，…我一看就知道了，沒什麼好教的」， 「就規定是對的。」（84.5.13）

25. 參與教師之所以缺乏營造數學感教學，主要是參與教師害怕數學間的連結，會讓學生更加迷糊，或者參與教師認為學數學需要天份。參與教師之所以缺乏營造數學感教學，主要是參與教師害怕數學間的連結，會讓學生更加迷糊，或者參與教師認為學數學需要天份。 • T1認為相關概念間的連結「是一種理想，也有可能他連了以後有問題，會愈滾愈大阿！」 • T2：「以我的經驗，這個(x>1，則x>0)觀念，我一看就知道了，沒什麼好教的。…我看每一個老師都要講得清楚，只是他(學生)笨」（84.9.23） 「學數學需要天份」(84.10.24)

26. (三)缺乏診斷性的教學 參與教師沒有診斷學生錯誤的意圖，面對學生的學習困難，採用直接糾正或者直接教學的方式處理。 T1在解答集合 C＝{x|x＝2n+1，n N}的表列式為何時，有學生回答元素3不在C的集合內時，T1馬上回答：「3為什麼不對？好像可以吧？」(84.9.30) T2在講授∫tan-1x dx=xtan-1x－∫的部份積分時，對先前已經教過的部份積分式子∫ ，直接說出它的結果等於 。此時學生問老師為什麼？T2說：「以前的東西都還我啦」，然後重新再教一遍。(84.5.13) T2在教授另一積分問題，學生問：「令u=x2可以做嗎？」T2直接糾正學生困難，「 u=x2怎麼做？會愈做愈複雜」

27. 二、多元教學取向-互動過程中 嘗試多種教學策略 使用多種教學策略 保守使用多種教學策略 (ㄧ)嘗試多種教學策略 • 參與教師開始嘗試多種診斷學生迷思概念的策略 • 要求學生舉手表達自己的意見。 • 要求學生上台做練習題 • 出練習題回家讓學生做 • T2察覺有些學生對不是標準寫法的集合沒有感覺，甚至不知道集合內有哪些元素，因此他在解答 A={(a+b,a-b)|2a+b=0}與B{(2x+y,x-2y)|x+y=5} 交集的問題之前，嘗試要學生先找集合A中的元素，使學生對此集合多一點感覺。

28. 84.11.21教學(T1)： • 學生有 =±2的迷思(察覺) • 要求學生確認 到底是「±2，還是+2 」，以舉手方式診斷有多少學生有此一迷思，僅三人能真正確定真正答案。 • (製造認知衝突)：假如 = ±2 ，就是+2或-2，那麼另一個和 不相等的數- ，經過運算之後還是等於±2。可是學生一定不相信=- …。 • （認知調整）x2=4 →求出來的東西就是它的平方根。 or ± 。即等於2 or -2 • 診斷教學策略一般可以分成三個步驟(林福來，1999) • 診斷學生迷思 • 製造認知衝突 • 認知調整，重新結構，達到新的平衡。

29. （二）使用多種教學策略 • 經過半年到一年的嘗試多種教學策略，因對教學進度的壓力或對教學策略運用的觀點，做出常使用或者不常使用的取捨。 • T2的反思 • 讓學生上台練習的方式對程度好的學生沒有特別的意義；但他又想在教學過程中診斷學生的學習困難。 • 選擇時常出練習題讓學生在書桌上練習。 • 老師在班級中巡堂，診斷迷思、解決學生問題。 • T1的反思 • 學生喜歡上台演習；教師亦可藉此診斷學生的錯誤。 • 覺得學生上台練習會花掉太多時間；有進度壓力。 • 出練習題讓學生回家練習，上課再檢討。

30. 多種教學策略 1.講述和溝通並重 • 溝通取向的特徵是在教學的過程中，教師能讓學生經由討論、寫作、演示和描繪來展現他們對數學觀念的了解，教師能讓學生利用數學語言和數學結構去表徵數學觀念、描述數學關係和數學情境(NCTM，1989) 。

31. 唱獨角戲 簡單對話 教師發動對話 學生發動對話 督導學生實作

32. 2.使用診斷教學策略 • 針對學生迷思概念製造認知衝突之後，所進行的認知調整，必須點出學生所犯的迷思概念的關係處，以及正確解答問題的關鍵處，才是一個好的認知調整策略。

33. 3.營造數學感教學 • 強調在教學過程中，讓學生對所學的數學有具體、直觀的感覺，以及能消彌一些學生常犯的錯誤。 • 培養學生能做合理判斷 • 將所學的概念與數學內、外概念連結。 • 培養學生具有數學感的要項，例如： • 要求學生能給出正例或反例。 • 能用模型、圖形和符號表達概念。 • 能對同一概念的不同表徵形成連結。 • 能整合各種概念間的關係。 • 能檢驗結果的合理性與正確性。 • ……

34. 參與教師開始注意到培養學生的數學感 例子(T2) • T2在一次師生互動中，學生問到「第一階導數大於0的話，函數也會大於0，( f'(x)>0，則f(x)>0 )」。 • T2要求學生回去尋找f(x)>0 ，而且f'(x)<0的例子。 • 在下一次教學過程中，T2一一檢視學生所找的例子，並給予適當的解答。 • T2察覺讓學生尋找特例或典範例，可以讓學生進一步思考問題，具體了解概念的內涵。 互動過程中，參與教師時常利用圖形來表徵概念，讓學生產生直觀、具體的感覺，以營造有數學感的教學。

35. (三)保守使用多種教學策略 • 假如教師沒有深入批判、反思各種教學策略的優劣，教師便無法精緻的運用教學策略。他們無法在教學過程中適時依據教學脈絡而調整運用不同的教學策略。即使他們有運用不同策略的想法，但他們在對不同教學策略的運用沒有信心的情況下，只好捨去既有的想法，保守地運用他們所熟悉的教學策略，對於這種現象，我們稱參與教師處於保守使用多種教學策略的階段。

36. 唱獨角戲 簡單對話 教師發動對話 學生發動對話 督導學生實作

37. 例如，對於利用兩個函數圖形的對比，來啟蒙學生的極限概念的教學策略。例如，對於利用兩個函數圖形的對比，來啟蒙學生的極限概念的教學策略。 • T1說：「我本來想叫學生把f(x)=x+1 和f(x)= 畫出來」，他認為這樣有助於學生對 和 兩個極限問題有更深一層的了解，更又助於學生及現概念的感覺。但T1說：「(我的)印象中，從來沒有人叫我畫這個圖形，也從來沒有畫過」，因此，這個教學動機一下子不見了。他說：「算了，離題太遠，要是到時候繞不回來，會亂掉。」(87.2.24) • T1在對此一教學策略的精緻運用沒有信心的情況下，選擇了原先所用的方法。

38. T2說：「有時候(老師主動)問學生(問題)，他又不回答。後來乾脆寫一題給他們做(練習)，自己下去看比較快(了解他們到底哪裡不懂)」。(87.8.7 訪談) • 參與教師沒有信心能精緻地引動師生熱烈討論，只好選擇自己所熟戀的教學策略。 • T2沒有信心的說：「這種方式(學生做練習題，老師個別指導的方式)對他們來講是不是比較好」(87.8.7 訪談) • 參與教師表現出不知道哪一種教學策略比較好的不安現象。

39. 探討參與教師保守使用多種教學策略的內在原因探討參與教師保守使用多種教學策略的內在原因 • 參與教師還沒建立教師本身也是一個研究者的理念。 • 不能以研究者的角度實驗自己所沒用過的教學策略，然後批判其優劣性。 • 面臨無法熟練運用的教學策略時，不能以研究者的角度，反思如何能更有效、更熟練的運用教學策略的方法，然後進行實驗。 • 因此，參與教師對教學策略的使用仍缺少信心。

40. 探討參與教師保守使用多種教學策略的外在原因探討參與教師保守使用多種教學策略的外在原因 • 本研究的同事互動方式尚未引動小組成員成為共同學習者的機制，以便積極從彼此身上學習自己所沒有的經驗，共同分享教學成果，一起批判、學習所用的教學策略。 例如： T2和研究者在獲知T1雖然認同利用f(x)=1和f(x)= 的圖形來詮釋極限的觀念，但他並沒有這樣教的同時，大家沒有進一步積極地去討論、批判兩種教學策略的差異、適用性，進而鼓勵大家各自去嘗試參與教師的想法，使大家有機會學習到新的教學策略。

41. 三、多元優選取向-努力的目標 • 一位教師假如能針對不同教學脈絡，適時運用不同教學策略，來有效幫助學生學習數學，我們稱這位教師具有多元優選教學取向。 • 多元優選取向是專家教師所具備的教學特徵。 • 教學策略或活動沒有所謂的好壞，最重要的是教學脈絡決定它是否有效 (cooney，1999)。 • 專家教師在教學中能反思，並適時的利用不同策略幫助學生了解所學的概念(Tobin&Fraser，1988；Penick，Yager&Bonnstetter，1986；Mitchell&Williams，1993；Livingston&Borko，1990) • 專家教師在面臨學生的問題和迷思概念時，能在教學行動中反思，並連結以前的經驗，利用適當的教學策略、例子引導學生的學習(Livingston&Borko，1990)

42. 結論 • 校內同事互動方式已帶動教師教學方式的改變。 • 自發性的學習動機有助於教師的成長。 • 自主自律的社會實作身份促使教師教學方式的改變。 • 數學教師的學習理論。 Lerman(2000)認為數學教師學習理論的建構，要從教師的教學脈絡出發，讓教師在符合社會建構理念與社會活動理論下的實作社群、社會和文化中學習。

43. 邁向多元優選取向的策略 • (一)數學教師專業成長的場域 • Krainer(1999)研究中的個案教師，他之所以能夠成長是 因為在個人學習環境、學校學習環境、以及教育體制三種環境的相關人士，全體相互作用的結果。 • 把教師成長的場域保留在學校內，但在更周詳的計畫下，營造參與教師共同學習、思考、批判、反思各種教學的適用性。

44. 邁向多元優選取向的策略 • (二)數學教師專業成長的資源 • 荷蘭Freudenthal研究中心(SLO/NVORWO，1994)將反思(reflection)、敘事(narration)、建議(construction)同列為培育數學師資的三大支柱。荷蘭的MILE(Goffree & Oonk，1999)已成功將小學教學實務的敘事錄影帶數位化。 • 美國數學教師協會(NCTM)所制定的數學教學專標準(NCTM，1990)以及數學課程和評量標準(NCTM，1989) • 期望我國成立類似的數學教師協會，制定足以影響整個數學教學的準則，或書籍、期刊等。

45. 全面性改變數學教師教學取向的建議 • 從研究結果來看，校內同事互動隨時可以再 製，然而研究者在同事互動過程中具有關鍵性的角色，所以這個角色在校內同事互動下需要有人執行才可以。 • 研究者認為這個角色可以遴選一些種子教師來帶動。 • 利用數學教師在職進修的機會，以培養種子教師為目標，帶動校內同事互動、參與研究、專業成長。

46. 報告完畢

47. 校內同事互動模式

48. 學生中心互動模式

49. a.聊天 • T1：這個(柚子)我昨天，我真的忘記了。我昨天到我爸爸那邊，出來就忘掉了。出來，我剛好看到路邊有人在賣，我不知道好不好吃，因為我不是很會買。有些人一看就知道好不好吃。我不是，我是吃了才知道好不好吃。等一下下課，我們來殺，殺柚子。

50. b.唱獨角戲(R-M) • T1：好，我們這幾個符號，再把它重複一下。N 代表 natural number，自然數，對不對？自然數。 1,2,3,4,5 這些東西，點點點。 • T1：Z for integer 整數，除了 1,2,3,4,5 自然數之外呢，還有 0，-1,-2，這些達達達。 • T1：還有 Q rational number 有理數，有理數呢，它的定義呢，不方便用這樣子的寫法。我上次用這樣寫，那是暫時的，還是要寫成這樣。x 把它寫成 q/p，p,q 都是整數，然後分母不可以等於 0，不可以等於 0。