数学课堂教学设计研究

1. 数学课堂教学设计研究 人民教育出版社中学数学室 章建跃 Zhangjy @ pep.com.cn

2. 数学课堂教学设计研究 一、教育观与教学设计 二、教学设计的内涵 三、关于教学目标的思考 四、教学设计的基本原则 五、课堂教学结构的选择 六、课堂教学设计的基本环节

3. 一、教育观与课堂教学设计 教育观：以学生为本 • 本质与核心：以学生的发展为本 • 促进学生身心的全面、和谐与可持续发展 • 注重个性差异，追求教学质量和课堂效益 “以学生为本”的教育观体现了社会发展的新要求，体现基础教育性质的变化，是教学设计的根本指导思想

4. 二、教学设计的内涵 教学设计是教师为达到教学目标而对课堂教学过程与行为所进行的系统规划。 主要解决“教什么”和“怎么教”两个问题 。

5. 教学需要设计的主要理由 • 由学校教育的性质决定的。 学生智力的发展依赖于科学的、规律性的知识和有目的、有计划、有指导的启发式教学。 教师在教学中的主导地位必须强调。 只讲教师是教学的组织者、引导者、合作者是不够的。

6. 实现教学过程科学化的需要。 目的：提高教学质量和效益——使学生以尽量少的时间、精力等的投入获得尽量多的收获。 教学过程科学化体现了对教师的专业化要求。

7. 三、关于教学目标的思考 • 教学目标是教学目的的系统化、具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。 • 教学目标的设计必须建立在对学生情况全面了解、对教学内容精确分析的基础上。 • 教学目标必须是可观察的。

8. 关于教学目标分类的思考——三层级模型 第一层级 主成分以记忆为主要标志,培养的是 以记忆为主的基本能力。测试看基 本事实、方法的记忆水平，标准是： 获得的知识量以及掌握的准确性。 第二层级 主成分以理解为主要标志，培养的是以理解 为主的基本能力，测试看能否顺利地解决常 规性、通用性问题，包括能否满意地解决综 合性问题。测试标准是：运用知识的水平， 如正确、敏捷、灵活、深刻等。

9. 第三层级 主成分以探究为主要标志，培养以评 判为主的基本能力，测试看能否对解 决问题的过程进行反思，即检验过程 的正确性、合理性及其优劣。标准是 思维的深刻性、批判性、全面性、独 创性等。

10. 陈述教学目标的要求 • 反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质。 • 可观测：清楚陈述学习后有什么变化。 例1 掌握一元二次方程根的判别式。 ——对“掌握”的内涵作具体界定。重要概念要考虑作适当分解： （1）在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，掌握判别式的结构和作用； （2）能用判别式判断一个一元二次方程是否有解； （3）能用判别式讨论一个含字母系数的一元二次方程的解； （4）能灵活应用判别式解决其他情境中的问题。

11. 例2 理解函数单调性概念。 这一陈述中，需要对“理解”的含义作具体界定，以使我们能准确把握学生是否已经达到“理解”。实际上，“理解”的基本含义是学生能用概念作出判断。因此可以改述为： 能给出增函数、减函数的具体例证和图象特征；能用函数单调性定义判断一个函数的单调性。

12. 要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚设。例如，一堂课的目标中含有：要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚设。例如，一堂课的目标中含有： • 培养学生的数学思维能力和科学的思维方式； • 培养学生勇于探索、创新的个性品质； • 体验数学的魅力，激发爱国主义热情； 等等。

13. 四、教学设计的基本原则 1.情意原则——激发学习动机，提高学习兴趣 （1）问题性； （2）思维最近发展区内的学习任务； （3）使用“反馈——调节”机制。

14. 例3 “诱导公式”教学中几种提问的比较。 • 你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？ • α+180°的终边、α的终边与单位圆的交点有什么关系？能由此得出sin(α+180°)与sinα之间的关系吗？ • 我们可以通过查表求锐角三角函数值，那么，如何求任意角的三角函数值呢？能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？

15. 问题情境： 三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系。圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径为对称轴的轴对称图形。你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论一下终边与角α的终边关于原点、x轴、y轴以及直线y = x对称的角与角α的关系以及它们的三角函数之间的关系？

16. 2．结构化原则——教学内容结构化，保持思想方法的前后一致性2．结构化原则——教学内容结构化，保持思想方法的前后一致性 结构化教学内容的特点 • 核心知识（基本概念及由内容所反映的数学思想方法）为联结点，精中求简，易学、好懂、能懂、会用，能切实减轻学生负担； • 形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检索； • 具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法。

17. “结构化”的几个具体要求 （1）教学目标明确，削支强干，重点突出，集中精力于核心内容。 （2）教学内容安排注重层次结构，张弛有序，循序渐进。由浅入深，由易到难，先简后繁，先单一后综合。 （3）每堂课都围绕一个中心论题展开和深化，精心组织相关的数学成分，使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体，相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开；课与课之间建立精当的序列关系，保持知识的连贯性，思想方法的一致性。易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正，使知识得到螺旋式的巩固和提高。

18. 例4 平面向量的结构化教学设计 • 代数角度 位置——位移向量——向量的加法——向量的减法和数乘运算——运算律 • 几何角度 • 一个点A、一个方向e可以定性刻画一条直线；引进向量数乘运算ke，那么直线上每一个点X就可以定量表示为k1e；

19. 一个点A、两个不平行的方向e1，e2在“原则”上确定了平面（定性刻画）；引入向量的加法运算e1+e2，那么平面上每一个点X就可以定量表示为k1e1+k2e2。一个点A、两个不平行的方向e1，e2在“原则”上确定了平面（定性刻画）；引入向量的加法运算e1+e2，那么平面上每一个点X就可以定量表示为k1e1+k2e2。 • 向量的数量积 a·b=|a|·|b|·cosα， 使几何中讨论的长度、角度、面积等转化为对向量的表达和运算。 空间的基本性质和几何的基本定理都能有系统地转换成向量代数中的运算律。

20. 平面向量教学的结构系列 （1）借助位移、有向线段引入向量概念； （2）借助位移合成定义向量加法运算；类比数的减法、乘法运算引进向量的减法运算和数乘运算； （3）向量运算的几何意义，运算律及其几何含义； （4）从度量长度、角度等的需要出发，引入向量的数量积概念，考察其几何意义，运算律； （5）与解析法建立联系，考察向量的分解（平面向量基本定理）及坐标表示，并考察在坐标表示下的一些基本问题（向量运算的坐标表示，向量度量关系的坐标表示，等等）。

21. 关于概念教学的一些要求 （1）采取“归纳式”进行概念教学，让学生经历概念的概括过程； （2）正确、充分地提供概念的变式； （3）适当应用反例； （4）在概念的系统中学习概念，建立概念的“多元联系表示”； （5）精心设计练习。

22. 3．过程性原则——按照知识的发生发展过程和学生的认知过程，精心设计概括活动3．过程性原则——按照知识的发生发展过程和学生的认知过程，精心设计概括活动 过程——处理好抽象与具体的关系 • 抽象是数学的一个公认的、最显著的特点 • 数学的抽象是从具体中得来的，具体中蕴含了本质 • 从具体中可以进行多次抽象 • 可以从不同的角度进行抽象

23. 贯彻过程性原则的具体要求 （1）通过分析“两个过程”，明确概括过程的主导思路，围绕这条思路确定猜想和发现的方案； （2）在把概括的结论具体化的过程中，推动对概念细节的认识； （3）通过变式、反思、系统化，建立概念的联系，形成概念体系； （4）强调类比、特殊化、推广等具有普适性的逻辑思考方法的应用。

24. 以科学认识的形成与发展途径为参照设计概括过程以科学认识的形成与发展途径为参照设计概括过程 （1）创设问题情境，引起学生对新知识的注意与思考； （2）开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等活动，形成假设； （3）利用已有知识进行推理论证活动，检验假设，获得新知识，并纳入到已有认知结构中； （4）新知识的应用，加深理解（理在用中方知妙），建立相关知识的联系，巩固新知识。

25. 例5 不等式基本性质的猜想证明应用 （1）引导学生回忆规定实数大小方法（顺序公理，数形结合）； （2）引导学生认识实数大小的基本事实的本质和作用（实数大小比较归结为统一的与0的大小比较或判断差的符号问题）； （3）等式有“等式两边同加（减）一个数，等式仍然成立”“等式两边同乘（除）一个数，等式仍然成立”等基本性质。可以看到，等式的基本性质就是“运算中的不变性”。类似的，不等式有哪些基本性质呢？

26. （4）尝试用实数大小的基本事实证明性质； （5）辨析不等式的基本性质（与等式问题比较，考察异同；不同语言表述性质；等等）； （6）尝试从基本性质出发，得出一些新的结论（如a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d）； （7）概括思想方法（与实数性质、等式性质的联系性；在数与运算的系统中考察关于实数大小的基本定理；等等）。

27. 4．有效调控原则——使用“反馈调节”机制， 有效监控教学 目的：将教学活动围绕在学生思维“最近发展区”内。 需要学生自我监控的参与。 反馈要注重差异，调节要采取分化性措施： （1）给不同的学生提供不同类别的专门帮助； （2）布置可选择的作业集合，以满足不同学生的不同需求； （3）认真考虑学生的个人爱好，机智地将其纳入课堂教学。

28. 五、课堂教学结构的选择 1.课堂教学结构应当与教育对象、教学内容相适应； 2.课堂教学结构应当以学生思维规律为依据； 3.课堂教学结构设计以对知识、学习概念的正确认识为基础。

29. 五环节课堂教学结构 （1）创设问题情境，明确学习目标； （2）指导学生开展尝试活动； （3）组织变式训练； （4）认知结构的组织和再组织； （5）根据教学目标，及时反馈调节。

30. 六、课堂教学设计的基本环节 1．背景分析。 （1）学习任务分析。重点：本堂课的核心概念、数学思想方法；前后相关的知识； （2）学生情况分析。重点：学生已有认知结构与新内容之间的潜在距离。 2．教学目标的设计。重点：通过学习，学生能做哪些过去不能做的事。

31. 3．课堂结构的设计。重点：数学知识的逻辑顺序、教学活动顺序。3．课堂结构的设计。重点：数学知识的逻辑顺序、教学活动顺序。 4．教学媒体的设计。重点：适应学习需要，有利于揭示数学本质。 5．教学过程的设计。重点：引导学生概括活动的“问题串”；变式训练；反思活动；过程性评价。

32. 例6 等差数列求和公式教学设计 • 高斯是如何想到求1+2+…+100的简便方法的？ • 一个猜测： 第一，他知道常数数列求和最简单； 第二，他观察到和式的特点，懂得用“平均数”思想将不同数的求和化归为常数数列求和。 • 上述猜测是从一个具体问题中归纳的，但反映了等差数列求和的最核心思想。

33. 问题引导下的教学过程 • 你知道小高斯是如何求1+2+…+100的吗？ • 这一方法的思想实质是什么（为什么要“首尾相加”）？ • 类似的，你能求1+2+…+n吗？ • 对于公差为d的等差数列{an}，如何利用 上述思想方法求Sn=a1+a2+…+an？ • 还有其他方法吗？

34. 七、直线的参数方程的教学设计 教学任务分析 适当选择原点和单位长度，使直线l成为数轴，则直线l上任一点就可由它在数轴上的坐标t惟一确定。因此可以选择坐标t为直线参数方程中的参数。从而，建立直线的参数方程就转化为建立（一维）坐标t与（二维）坐标x，y之间关系的问题。 本节课的教学任务是联系数轴、向量等知识，求出直线的参数方程，并进行简单应用，让学生体会直线参数方程在解决问题中的作用。

35. 教学情景设计（问题系列） （1）数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ （2）如果把平面直角坐标系中的一条直线作为数轴，那么直线上任意一点就有两种坐标。怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的联系？ （3）当点M在直线l上运动时，点M满足怎样的几何条件？

36. （4）如何确定直线的方向向量e？ （5）怎样直线上任意一点的坐标x，y用参数t和已知条件表示出来？ （6）例题：已知直线l与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长和点到A、B两点的距离之积。 • 在学习直线参数方程前你会怎样求解？利用直线参数方程求解有什么好处？ （7）反思：与直线的参数方程有联系的知识有哪些？在求直线的参数方程过程中，你认为有哪些重要的思想方法？

37. 欢迎批评指正 谢 谢！