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第七章 非线性系统的分析

第七章 非线性系统的分析. §7-1 非线性系统的基本概念 §7-2 二阶线性和非线性系统的相平面分析 §7-3 非线性系统的相平面分析 §7-4 非线性系统的一种线性近似表示 —— 描述函数 §7-5 典型非线性特性的描述函数 §7-6 分析非线性系统的谐波平衡法 §7-8 用对数幅相频率特性分析非线性系统. §7-1 非线性系统的基本概念. 非线性控制系统 ： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性和均匀性性质。 微分方程中各阶导数是非一次幂. 一、非线性系统的数学描述. 在描述系统性能的微分方程中，

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第七章 非线性系统的分析

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  1. 第七章 非线性系统的分析 • §7-1 非线性系统的基本概念 • §7-2 二阶线性和非线性系统的相平面分析 • §7-3 非线性系统的相平面分析 • §7-4 非线性系统的一种线性近似表示 • ——描述函数 • §7-5 典型非线性特性的描述函数 • §7-6 分析非线性系统的谐波平衡法 • §7-8 用对数幅相频率特性分析非线性系统

  2. §7-1 非线性系统的基本概念 非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性和均匀性性质。 微分方程中各阶导数是非一次幂 一、非线性系统的数学描述 在描述系统性能的微分方程中， 若包含的C（t）及其各阶导数不是一次幂的 二、非线性特性的分类

  3. 输出 输入 1。死区特性 （不灵敏区特性） 各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力；等等。 当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。 当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。 死区或不灵敏区 较大时 将使系统静态误差增加， 系统低速不平滑性 很小时 作为线性特性处理

  4. 输出 输入 2。饱和特性 放大器的饱和输出特性 磁饱和 元件的行程限制 功率限制 等等。 当输入信号超出其线性范围后， 输出信号不再随输入信号变化 而保持恒定。

  5. 输出 输出 输入 输出 输入 输入 输出 输入 3。继电器特性 具有饱和死区的单值继电器 理想继电器 具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特性 具有滞环的继电器

  6. 输出 输入 4。间隙特性 输入输出之间具有多值关系 齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙 间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。 无特别说明，间隙特性曲线的斜线的斜率为45度角

  7. 三、非线性的特点： 例：线性系统 非线性系统： 线性系统的解： 非线性的解： 稳定性： 与系统本身的结构、参数和初始状态有关。只有小范 围稳定的定义

  8. 当 时，非线性系统的响应与线性系统的响应一样，都是收敛的。当 时，线性系统的响应收敛，而非线性系统的响应发散。 1 0 说明：1。线性系统的平衡点只有一个，非线性可以有多个。 2。非线性系统的响应以初始状态的不同而有所不同

  9. 系统的自持震荡 频率响应畸变： 输入为正弦信号，输出含有高次谐波信号系统不发生共振不能用迭加原理 例：范的波尔方程 解：二阶线性系统方程是： 线性阻尼比 非线性阻尼比

  10. 该阻尼比是与响应有关的变量，当 时，等效阻尼比 ，则系统的响应是发散，当 等效阻尼比 ， 则系统的响应是收敛的 分析方法：非线性严重、输入信号作用范围大、用于非线性研究 非线性理论：描述函数法、相平面法，

  11. §7-2二阶线性和非线性系统的相平面分析 相平面法适用于一、二阶非线性系统的分析，方法的重点是将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。所得结果比较精确和全面。只适用于二阶系统。 一、相平面、相轨迹和平衡点 将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下： 相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 构成一个直角坐标 系，则该坐标平面成为相平面，系统某一时刻的状态可以用相平面上的一个点来描述。 相轨迹：相平面上的点随时间变化描绘出来的曲线称为相 轨迹。

  12. 如果把系统在各种初始条件下的相轨迹都画出来，则可在相平面上的到一个相轨迹曲线簇，（描述系统各种可能的运动）。如果把系统在各种初始条件下的相轨迹都画出来，则可在相平面上的到一个相轨迹曲线簇，（描述系统各种可能的运动）。 相平面图：相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图。清楚的表示系统在各种初始条件下的运动过程。 相平面法：用相平面图表示非线性二阶系统过程的方法称相平面 法，可分析系统的动态过程。 3、平衡点：将微分方程式写成下面的一个形式： 则平衡点为：对所有的 ，当下式成立，状态 称为 二阶系统在 时刻的一个平衡点。 特性：在平衡点处的相轨迹满足 平衡点可称为奇点

  13. 相轨迹的特点： （1）不同的初始状态有不同的相轨迹 （2）相轨迹上任意点的斜率唯一（相轨迹不能相交，除平衡点） （3）相轨迹是顺时针方向 二、二阶线性系统的的特征： 令： 则： 从二阶线性系统的特征方程中解出

  14. 平衡点的类型即：奇点的类型 稳定焦点、不稳定焦点、稳定节点、 不稳定节点、中心点和鞍点 （1）当 时 方程为： 表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆 当不同的 ，我们得到不同的相轨迹如下图：

  15. 三、二阶非线性系统的特征 将上式在平衡点（0，0）处泰勒级数展开：

  16. 例：范德波尔方程 从（2）式看出：线性化以后的系统其特性与线性系统的特性一样，可是（1）式表示的非线性系统的特性为： 当参量 ， 时，等效阻尼系数： 则系统的响应是发散的， 当 ，但 时，则等效阻尼系数： 系统的响应为收敛的。 将上式写成二个一阶方程组： （1） 平衡点为： 线性化方程为： （2）

  17. 从图中看出，所有从初始状态 出发的相轨迹最终趋向平衡点（0，0），而从初始状态 出发的相轨迹最终要离开平衡点向外发散。这样在相平面上行成了一个封闭的环——极限环，表示非线性系统响应存在自持震荡，这样的特性只在非线性系统中存在，线性系统无这种特性，但是，不是所有的非线性系统都会存在极限环。 说明：极限环的类型 稳定极限环：极限环的内外区的相轨迹都 趋向于极限环 不稳定极限环：极限环的内外区的相轨迹都离开极限环 半稳定极限环：极限环的内区或外区的相轨迹一个趋向极限环、一个离开极限环

  18. 半稳定极限环 稳定极限环 环内为不稳定区域； 环卫为稳定区域。 不稳定极限环 环内为稳定区域； 环卫为不稳定区域。 半稳定极限环 19

  19. §7-3 非线性系统的相平面分析 一、绘制相轨迹的方法； 将系统的二阶微分方程变换为一阶微分方程组： （1） 解析法： 例7-3-1：含有理想继电特性的非线性系统

  20. 线性部分的微分方程： 非线性部分的输入输出关系： 令： 则非线性系统的微分方程组： 用解析法： 相平面的绘制：I区为 II区为： 二个区域的相轨迹形成一个封闭曲线，则系统的响应为周期运动， 奇点是（r,0），类型为中心点，

  21. 等倾线法： 将系统一阶微分方程组写成下式： 相轨迹斜率 例7-3-2 含有死区继电器特性的非线性系统 线性部分 非线性部分

  22. 解：令： 选择相变量 则 I区 等倾线方程 II区 等倾线方程 III区 等倾线方程

  23. 三、用相轨迹分析非线性系统 例7-3-5 含有继电器特性的非线性系统，a=0.2,m=0.5,M=0.2K=5 画出相轨迹 解：线性部分为 r-c=e 令：

  24. 1。减小线性部分增益K，当K=2时 在I区内： 在II区内： 在III区内： 减小线性部分的增益K可消除系统的自持震荡

  25. 2。减小继电器特性输出幅值M 3。增大继电器特性的死区宽度参数a 4。增大继电器特性回环宽度参数 可消除系统的自持震荡 减小a，当a=0时 这时死区和回环均不存在，成为理想的继电特性了。非线性系统的相轨迹将经过无限多次周期衰减振荡，最后收敛到相平面的原点。

  26. 当给定的初始值较小时， 相轨迹向外发散，最终发散到极限环。若初始状态 x(t)比较大，则相轨迹向内收敛，最终收敛到极限环。 当继电特性没有死区，只有回环时，无论怎样减小K、M或增大a值均不能消除自持震荡。

  27. §7-4 非线性系统的一种线性近似表示 ——描述函数 • 描述函数的概念 典型的非线性特性的描述函数 • 非线性系统的稳定性 非线性自持振荡的稳定 典型非线性系统的稳定性

  28. 系统开环部分可分离为： 非线性环节N(x) 、线性部分G(s) 假定： 非线性环节特性是斜对称的； 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 正弦信号输入时， 输出不含直流分量。 描述函数法的定义是： 输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量的复数比。 描述函数=非线性环节输出的一次谐波分量/输入的正弦函数 非线性系统的频率特性法 ！类似传递函数 ！谐波线性化方法

  29. 斜对称 输出的一次谐波分量

  30. §7-5 典型非线性特性的描述函数 理想继电特性 傅氏展开 斜对称、奇函数A0=An=0 (偶次对称性)

  31. 死区特性： 奇函数的A1=0

  32. 死区特性的描述函数为： 死区特性的负倒幅相特性 Im -1/N0（x/a）平面 x/a （-1，j0） Re

  33. x/a x/a -1800 死区特性的负倒对数幅相特性

  34. 一、饱和特性 K放到线性部分 二、死区特性 死区饱和特性

  35. 三、间隙特性

  36. 四、继电特性 理想继电器特性 死区继电器特性 Kn=M/a 回环继电器特性

  37. 非线性增益I 非线性增益II

  38. 各非线性特性的负倒对数幅相特性曲线 饱和特性 X/a X/a （-1，jo) -1800 死区特性 X/a X/a (-1,jo) -1800

  39. 间隙特性 (-1,j0) -900 -1800 理想继电特性 ∞ x/a -1800

  40. §7-6 分析非线性系统的谐波平衡法 线性系统 负倒描述函数（描述函数负倒特性) (-1,j0) ? (尼奎斯特判据)若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j)轨迹不包围G平面的(-1,j0)。 ．

  41. 一、非线性系统稳定性的判定方法 设：系统开环的线性部分G(j)稳定 ① G(j)不包围负倒描述函数 闭环系统稳定 ② G(j)包围负倒描述函数 闭环系统不稳定 振幅由-1/N（x/a）与Gjω）交点的X决定 频率由交点处的G(jω）决定 ③ G(j)与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡(极限环振荡) ？稳定 ？不稳定 ?!振幅（A） ?! 频率()

  42. 二、非线性系统稳定自持振荡的分析方法 当微小扰动使振幅A增大到c点时， c点“(-1,j0)”被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A继续增大； 不返回到a。 当微小扰动使振幅A减小到d点， d点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅A继续减小； 不返回到a。 a点为不稳定自振交点。 ！ 微小扰动

  43. 当微小扰动使振幅A增大到e点时， e点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。 当微小扰动使振幅A减小到f点， f点“(-1,j0)”被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A增大； 返回到b。 b点为稳定自振交点。

  44. a点:不稳定自振交点 b点:稳定自振交点 c点:不稳定自振交点

  45. 典型非线性系统的稳定性 • 具有饱和特性的非线性系统 • 具有死区特性的非线性系统 • 具有间隙特性的非线性系统 • 具有理想继电器特性的非线性系统 • 具有回环继电器特性的非线性系统

  46. 具有饱和特性的非线性系统 A＝a时 负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k, -∞)。 A ∞ 时 G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡 G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:稳定自振交点 b Ab

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