2 ． 1.2 演绎推理

1. 2．1.2　演绎推理

2. 【课标要求】 • 1．理解演绎推理的意义． • 2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． • 3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系． • 【核心扫描】 • 1．了解演绎推理的含义并能利用“三段论”进行简单的推 • 理．(重点) • 2．对演绎推理的考查．(重点)

3. 自学导引 • 1．演绎推理 • (1)定义：从，推出某个特殊情况下的结论．我们把这种推理称为演绎推理． • (2)特点：演绎推理是从的推理． • (3)模式：三段论． 一般性的原理出发 一般到特殊

4. 想一想：演绎推理的结论一定正确吗？ • 提示　演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．

5. 一般原理 特殊情况 • 2．三段论：“三段论”是演绎推理的一般模式 • (1)三段论的结构：①大前提——已知的；②小前提——所研究的；③结论——根据一般原理，对做出的判断． • (2)“三段论”的表示：①大前提——；②小前提——；③结论——. • (3)三段论的依据：用集合观点来看就是：①若集合M的所有元素都具有性质P，②S是M的一个子集，③那么S中所有元素也都具有性质P. 特殊情况 M是P S是M S是P

6. 想一想：如何分清大前提、小前提和结论？ • 提示　在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．

7. 名师点睛 • 1．关于演绎推理的理解 • (1)①演绎的前提是一般性的原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中； • ②演绎推理是一种收敛性的思考方法，少创造性，但具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．

8. (2)对于“三段论”应注意两点： • ①“三段论”的模式包括三个判断：第一个判断是大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个判断叫做小前提，它指出了一种特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断——结论． • ②应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．

9. 2．合情推理与演绎推理的关系

10. 题型一　用三段论的形式表示演绎推理 • 【例1】把下列演绎推理写成三段论的形式． • (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾； • (2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除； • (3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．

11. [思路探索]解答本题的关键在于分清大、小前提和结论，还要准确利用三段论的形式．[思路探索]解答本题的关键在于分清大、小前提和结论，还要准确利用三段论的形式． • 解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃， 大前提 • 在一个标准大气压下把水加热到100 ℃， 小前提 • 水会沸腾． 结论 • (2)一切奇数都不能被2整除， 大前提 • 2100＋1是奇数， 小前提 • 2100＋1不能被2整除． 结论 • (3)三角函数都是周期函数， 大前提 • y＝tan α是三角函数， 小前提 • y＝tan α是周期函数． 结论

12. 规律方法　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．规律方法　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

13. 【变式1】试将下列演绎推理写成三段论的形式：【变式1】试将下列演绎推理写成三段论的形式： • (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 ，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行； • (2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热； • (3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数； • (4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．

14. 解　(1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行解　(1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 • 小前提：海王星是太阳系里的大行星； • 结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行． • (2)大前提：所有导体通电时发热； • 小前提：铁是导体； • 结论：铁通电时发热． • (3)大前提：一次函数都是单调函数； • 小前提：函数y＝2x－1是一次函数； • 结论：y＝2x－1是单调函数．

15. (4)大前提：等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q；(4)大前提：等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q； • 小前提：数列1,2,3，…，n是等差数列； • 结论：数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．

16. 题型二　演绎推理的应用 • 【例2】正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G. • (1)求证：A1B⊥AD； • (2)求证：CE∥平面AB1D. • [思路探索] (1)证明A1B⊥AB1，A1B⊥GD即可； • (2)证明四边形CEGD为平行四边形即可．

17. 证明　(1)连接BD. • ∵三棱柱ABCA1B1C1是棱长均为a的正三棱柱， • ∴A1ABB1为正方形， • ∴A1B⊥AB1. • ∵D是C1C的中点， • ∴△A1C1D≌△BCD， • ∴A1D＝BD， • ∵G为A1B中点，∴A1B⊥DG， • 又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D. • 又∵AD⊂平面AB1D，∴A1B⊥AD.

19. 规律方法　(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．规律方法　(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略． • (2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．

22. 题型三　合情推理、演绎推理的综合应用 • 【例3】如图所示，三棱锥A­BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影． • (1)求证：O为△BCD的垂心； • (2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三 • 棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明． • 审题指导(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的垂心． • (2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明．

25. 【题后反思】 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．

28. 方法技巧　数形结合思想在演绎推理中的应用 • 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．

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