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§2 矩阵分解法

§2 矩阵分解法. 2.1 矩阵的三角分解与矩阵分解法 定义 2.1 给定 n 阶矩阵 A ，如果存在一个 下三角矩阵 L 与 上三角形矩阵 U 使得 A=LU ，就说 A 有 三角分解 。 假如 n 阶非奇异矩阵 A 有三角分解： A=LU ，并且已经求出 L 与 U , 那么可以用所谓 矩阵分解法 来求解 n 元方程组（ 1.4 ） . 其具体方法是分别求解下列两个方程组： Ly=b 与 Ux=y (2.1). 考虑如下例子 . 例 2.2 假设三阶矩阵 A 有如下的三角分解 A=LU :.

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§2 矩阵分解法

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  1. §2 矩阵分解法 • 2.1矩阵的三角分解与矩阵分解法 • 定义 2.1给定n阶矩阵A，如果存在一个下三角矩阵L与上三角形矩阵U使得A=LU，就说A有三角分解。 • 假如n阶非奇异矩阵A有三角分解：A=LU，并且已经求出L与U,那么可以用所谓矩阵分解法来求解n元方程组（1.4）.其具体方法是分别求解下列两个方程组： • Ly=b与 Ux=y (2.1)

  2. 考虑如下例子. • 例 2.2 假设三阶矩阵A有如下的三角分解A=LU:

  3. 通常，我们将L是单位下三角形矩阵的三角分解LU称为矩阵的Doolittle分解。由前面讨论指导，对于方程组Ax=b来说，如果可以用高斯消去法求解，那么，系数矩阵A便有Doolittle分解。这个结论的逆命题也成立，因为我们有如下结论通常，我们将L是单位下三角形矩阵的三角分解LU称为矩阵的Doolittle分解。由前面讨论指导，对于方程组Ax=b来说，如果可以用高斯消去法求解，那么，系数矩阵A便有Doolittle分解。这个结论的逆命题也成立，因为我们有如下结论

  4. 2.2 矩阵三角分解的紧凑格式 • 在电子计算机诞生之前，人们为了避免记录中间结果的麻烦，已经找出不经过这些中间结果而直接计算L与U元素的公式，这就是本小节中要介绍的紧凑格式。 • 考虑n阶非奇异矩阵A，设它有Doolittle分解LU，且可写成如下形式：

  5. 下面介绍矩阵三角分解的Doolittle分解方法,设 则得 对k=2,3,…,n,计算 akj=lk1u1j+lk2u2j+…+lkk-1uk-1j+ukj aik=li1u1k+li2u2k+…+likukk

  6. 对k=2,3,…,n,计算

  7. 由矩阵分解法（2.1）来求（1.4）.解Ly=b与Ux=y，即由矩阵分解法（2.1）来求（1.4）.解Ly=b与Ux=y，即 可得 （2.11） （2.12） 这就是求解方程组Ax=b的Doolittle三角分解法。

  8. 例2.5 利用三角分解方法解线性方程组 解 因为 所以

  9. 先解 ,得 再解 ,得 解线性方程组Ax=b的Doolittle三角分解法的计算量约为n3/3,与Gauss消去法基本相同.其优点在于求一系列同系数的线性方程组Ax=bk ,(k=1,2,…,m)时,可大大节省运算量.

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