Mérés és adatgyűjtés - Lev

1. Mérés és adatgyűjtés - Lev A mérési eredmény megadása Mingesz Róbert 2013. március 8.

2. Tartalom • A statisztika alapjai • A mérési eredmény megadása • Hibaterjedés • A mérési adatok feldolgozása • Hipotézisvizsgálat • Bayes-módszer

3. A statisztika alapjai

4. Fogalmak • Tömegjelenség: azonos körülmények között akárhányszor lejátszódhat • Véletlen jelenség: a kimenetelét a figyelembe vehető tényezők összessége nem határozza meg egyértelműen • Véletlen kísérlet: egy véletlen tömegjelenséget mesterségesen előidézünk

5. Fogalmak • Elemi esemény: egy kísérlet egy lehetséges kimenetele • Eseménytér: az összes lehetséges elemi eseményből álló halmaz • Esemény: a kísérlet során vagy bekövetkezik, vagy nem. Az eseménytér részhalmaza

6. Valószínűség • Egy A esemény valószínűsége (P(A)): a kísérletet (végtelen) sokszor elvégezve, az esetek hány százalékában következik be az A esemény.

7. Példa • Kockadobás eredménye: ’5’:Kiszámolás: kombinatorika • Kockadobás eredménye: ’5’ vagy ’6’:

8. Események uniója és metszete • Unió: legalább az egyik esemény bekövetkezik • Metszet: mindkét esemény bekövetkezik • Mindig igaz: • Egymást kizáró események esetén:

9. Események függetlensége • Az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezési valószínűségét. Ekkor: • Pl. 1. dobókocka ’5’, másik dobókocka ’6’

10. Feltételes valószínűség • Feltéve, hogy B bekövetkezik, mi a valószínűsége, hogy A is bekövetkezik • Kapcsolódik: Bayes Formula

11. Valószínűségi változó • Olyan mennyiség, amelynek számértéke valamilyen véletlen esemény kimenetelétől függ. • Pl: • Kockadobás eredménye: • Ember → magassága

12. Valószínűségi változók típusa • Diszkrét: Megszámlálhatóan sok lehetséges érték,minden egyes értékhez egy valószínűséget lehet hozzárendelni. • pl. pénzfeldobás eredménye • Folytonos: Értékei folytonosan kitöltenek egy intervallumot. • pl. tojás tömege

13. Relatív gyakoriság • Diszkrét valószínűségi változó jellemzése:az egyes értékekhez hozzárendelt valószínűség • Ábrázolás: hisztogramon

14. Sűrűségfüggvény • Folytonos valószínűségi változó jellemzése pl.:

15. Valószínűségi változók jellemzői

16. Várható érték • A valódi értékkel azonosítjuk. • Diszkrét eset: • Folytonos eset:

17. Példa • Dobókocka várható értéke:

18. A várható érték tulajdonságai • Konstanssal való szorzás: • Valószínűségi változók összege:

19. Szórás • Mennyire térnek el az egyes eredmények az átlagtól. • Diszkrét eset: • Folytonos eset:

20. Példa • Dobókocka eredményének szórása:

21. Szórás tulajdonsága • Konstanssal való szorzás: • Valószínűségi változók összegecsak, ha az egyes értékek függetlenek egymástól:

22. Sokaság és minta • Statisztikai sokaság: objektumok összessége, mindegyik objektumhoz tartozik egy numerikus jellemző (valószínűségi változó) • Pl.: emberek magassága • Megfigyelés (mérés): a sokaságból kiválasztunk egy halmaztmintavételezés→minta • Pl. egy osztályban lévő emberek

23. Becslés • A sokaság tulajdonságaira (paramétereire) következtetünk a minta adatai (jellemzői) alapján • Becslés: • Torzítatlan becslés: • Konzisztens becslés: • Becslési módszerek • Legkisebb négyzetek módszere • Maximum-likelihood- (legnagyobb valószínűség) módszer

24. Gauss-eloszlás

25. Gauss-eloszlás (Normális eloszlás)

26. Normalizált Gauss-eloszlás

27. Centrális határeloszlás-tétel • Sok, független valószínűségi változó összegének eloszlása közelít a Gauss-eloszláshoz • Következmény: a természetben előforduló jelenségek nagy része Gauss-eloszlást követ

28. Demó

29. Mérési eredmény megadása

30. Valószínűségi változók a mérésekben • Maga a mért mennyiség véletlenszerű • pl. emberek magassága • A mért mennyiséghez egy véletlenszerű zaj adódik hozzá • pl. csillag mért intenzitása

31. Mérési hibák következménye • A mérés során kapott értékek eltérnek a fizikai mennyiség valódi értékétől • Determinisztikus hiba: • korrigálható • korrigálni kell! • Statisztikus hiba • nem kiszámítható • nem korrigálható • kezelés: statisztikai módszerrel

32. A mérési eredmény megadása • Megadunk egy intervallumot: • : valódi érték (várható érték) • : mért adat • : a hiba nagyságát jelző konfidencia-intervallumA valódi érték a megadott intervallumon belül van valamekkora p valószínűséggel. • Szignifikanciaszint: annak az esélye, hogy tévedünk (a valódi érték az intervallumon kívül van)

33. Ismert szórás esetén • λ meghatározása: • Csebisev-egyenlőtlenség • Általában feltételezzük, hogy a mérési hiba normál eloszlású

34. Normál eloszlású hiba • ahol: F a normális eloszlás eloszlásfüggvénye: • λ értéke: • pl:

35. N mérési adat, σ ismert • Valódi érték becslése: átlag (középérték)Jobb becslés mint egyetlen kiválasztott adat • Az átlag konzisztens és torzítatlan becslés • A mérési adatok alapján számolt középérték is ingadozik

36. Az átlag szórása • Ha a mérési hibák egymástól függetlenek:

37. N mérési adat, σ ismert • A mérési eredmény megadása: • Fontos feltétel: az egymás utáni mérések hibái egymástól függetlenek

38. Korrigált empirikus szórás • Nem ismerjük: valódi érték, szórás • Szórás becslése a mérési adatok alapján: Korrigált empirikus szórás • konzisztens, torzítatlan becslés

39. N mérési adat, σismeretlen • Korrigált empirikus szórás használata • Gauss-eloszlás helyett t-eloszlás

40. λ, tN-1 meghatározása • Statisztikai programcsomagok: beépített függvény • Táblázat

41. Szignifikanciaszint megválasztása • Szempontok:előírások, szokások, tévedés költsége

42. Összefoglaló táblázat • 1 mérés, σ ismert • N mérés, σ ismert • N mérés, σismeretlen

43. Demó

44. Példák

45. 1. példa: 1 adat, σ ismert • Tömegmérés mérési adata: • A szórás ismert, értéke: • Adjuk meg az szignifikanciaszinthez tartozó eredményt!

46. Megoldás • A mérés eredménye • Számjegyek száma: • konfidenciaintervallum:2-3 értékes jegy, felfelé kerekít • mérés eredménye:annyi tizedesjegy, ahány a konfidenciaintervallumban van

47. 2. példa: N adat, σismert • Az előző feladatban megadott feltételek mellett hány mérési adatot kell gyűjtenünk ahhoz, hogy a mérés hibája 0,01 kg alá csökkenjen?

48. Megoldás • Tehát legalább 20 mérést kell végezni

49. 3. feladat: N adat, σismeretlen • Egy mérést elvégezve a táblázatban megadott értékeket kapjuk. • Adjuk meg az szignifikanciaszinthez tartozó eredményt!

50. Megoldás • A mérési eredmény megadása: