第一章 多项式

1. 第一章 多项式 1.4 最大公因式

2. 一、公因式 最大公因式 1．公因式:如果多项式 既是 的因式，又是 的因式，那么 就称为 若 满足: 且 等价定义： 则称 　 为 　　　　 的一个公因式． 若 ii) 的公因式全是 的因式 则称 为 的最大公因式． 为 的公因式． 的一个公因式． 2．最大公因式: 满足： i)

3. (2) 与 中有一个为0 ，如 与零多项式的一个最大公因式 考虑一般的情形： 若 与 都不为0 与 的最大公因式是否一定存在？ 看特殊的情形： (1)两个零多项式的最大公因式 0 思考 ： 如果最大公因式存在，那么如何求出呢？

4. 二、最大公因式的存在性与求法 引理：若等式 （1） 成立，则 与 有相同的公因式. 证明：如果 那么由（1）， 这就是说， 的公因式全是 的公因式 反过来，如果 那么 一定整除 他们的组合 这就是说， 是 的公因式.

5. 求 的最大公因式的问题可以转化为 与 有相同的最大公因式 求 的最大公因式的问题. 能否把求 的最大公因式的问题转化为 求两个次数较低的多项式的最大公因式的问题呢？ 由引理， 与 有相同的最大公因式 若 ，用 去除 得到 由此可见： (1) (2) 思考： 猜想：能不能反复地利用带余除法及引理不断地降低多项式的次数来求最大公因式呢？

6. 定理2对 ，在 中存在 一个最大公因式 ，且 可表成 的一个组合，即 ，使 ．

7. 若 有一为0，如 ，则 考虑一般情形： 用 除 得： 其中 或 . 若 ，用 除 ，得： 证： 就是一个最大公因式．且

8. 若 ，用 除 ，得 即 其中　 或 ． 如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 因此，有限次后，必然有余式为0．设 于是我们有一串等式

10. 再并项就得到 从而得到 的一个最大公因式 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去

11. 思考：两个不全为零的多项式的最大公因式是否唯一？思考：两个不全为零的多项式的最大公因式是否唯一？ 我们知道，两个不全为零的多项式的最大公因式是非零的. 设 为 的两个最大公因式，那么一定有 也就是 且 结论：两个不全为零的多项式的最大公因式不唯一，而且 两个最大公因式之间只相差一个非零的常数倍. 我们约定 表示首项系数是1的那个最大公因式

12. (2) 定理２中最大公因式 中的 是否唯一呢？ 说明: (1) 定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为 辗转相除法．

13. 例如: ，则　 找出 ，使等式成立 取　 ，有 1) 2) 取　 ，也有 3) 取　 ,也有 事实上,若 则对，　 成立．

14. 例如：取 (3) 对于 的任一 最大公因式 ，都 使 反之是否也成立？ 则有 但 显然不是 的最大公因式 与

15. (4)若 ，且 ∴ 为 的最大公因式． 则 为 的一个最大公因式． 设 为 的任一公因式，则 从而 即 证：

16. 求 ，并求 使 例1

17. 解: 且由 得

18. 与 与 所有的最大公因式呢？ 所有的最大公因式可表示为 • 思考：如何求出 由于两个最大公因式之间 只相差一个非零的常数倍，所以

19. 若仅求 ，为了避免辗转相除时出现 例2.设 就可以)，这是因为 和 具有完全相同的 求 ，并求 使 为非零常数． 注: 分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始 因式，即

20. 若 则称 为互素的(或互质的)． 互素 除去零次多项式外无 三、互素 1．定义: 说明: 由定义， 其它公因式．

21. ，使 显然． 设　　为　　　　 的任一公因式，则 从而 又 故 2．互素的判定与性质 互素 定理3 证：

22. 定理4　若 ，且 ， 则 又 证： 使 于是有

23. 由定理4有 推论 若 ，且 而 ，则 于是 ，使　 从而 ，使 又 证:

24. i) ii) 若 则 若 满足: 则称 为 的最大公因式． 四、多个多项式的最大公因式 定义

25. 　　　　　　　　　 的最大公因式一定存在． 表示首1最大公因式． ③ ② 　　　　　　　　，使 ④　　　　　　互素　　　　　　　　　　 使 注：