8.2 特殊的平行四边形 (3)

1. 8.2特殊的平行四边形(3)

2. 回顾思考 • 证明命题的一般步骤: • (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); • (2)根据题意,画出图形; • (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; • (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.); • (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; • (6)检查表达过程是否正确,完善.

3. M A A A D N D D O B B C C B C Q P 回顾思考 • 定理:平行四边形的对边相等. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,BC=DA. • 定理:平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. 定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴CO=AO,BO=DO. 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. ∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD.

4. A A D D O B B C C 回顾思考 • 定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. • 定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵AO=CO,BO=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. ∵∠A=∠C,∠B=∠D. ∴四边形ABCD是平行四边形.

5. 有一组 邻边相等 有一组 邻边相等 一组对边平行另一组对边不平行 有一个角 是直角 有一个角 是直角 腰与底垂直 两腰相等 两组对边分别平行 矩形 平行四边形 菱形 梯形 直角梯形 正方形 等腰梯形 四边形 回顾思考 • 四边形之间有何关系？ • 特殊的平行四边形之间呢？ • 还记得它们与平行四边形的关系吗? • 能用一张图来表示它们之间的关系吗?

6. A A A D D D B C B B C C 回顾思考 • 定理:矩形的四个角都是直角. • ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900. • 定理:矩形的两条对角线相等. • ∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. ∴AC=BD. 推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在△ABC中,∠ACB=900, ∵AD=BD,

7. A 在△ABC中, ∵AD=BD, A A D D D B C B B C C 回顾思考 • 定理:有三个角是直角的四边形是矩形. • ∵∠A=∠B=∠C=900, ∴四边形ABCD是矩形. • 定理:对角线相等的平行四边形是矩形. • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB. ∴四边形ABCD是矩形. • 定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. ∴ ∠ACB=900.

8. D D A C O A C B B 回顾思考 • 定理:菱形的四条边都相等. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD. • 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. ∴AC⊥BD

9. D D A C O A C B B 回顾思考 • 定理:四条边都相等的四边形是菱形. • 在四边形ABCD中, • ∵AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD是菱形. • 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形.

10. A A D D O B B C C 回顾思考 • 定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. • ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA. • 定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. • ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

11. A A D D O B B C C 回顾思考 • 定理:有一个角是直角的菱形是正方形. • ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴四边形ABCD是正方形. • 定理:对角线相等的菱形是正方形. • ∵四边形ABCD是菱形,AC=DB. ∴四边形ABCD是正方形. • 定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. • ∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形.

12. A D B C 正方形的性质 • 定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. • 已知:四边形ABCD是正方形. • 求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900. (2)AB=BC=CD=DA. • 分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证. • 证明: ∵四边形ABCD是正方形, ∴四边形ABCD是矩形,也是菱形. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900, AB=BC=CD=DA.

13. A D O B C 正方形的性质 • 定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. • 已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线. • 求证:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO; (2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC. • 分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证. • 证明: ∵四边形ABCD是正方形, ∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形. ∴AO=CO,BO=DO; AC⊥BD; AC=BD; AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

14. A D B C 正方形的判定 • 定理:有一个角是直角的菱形是正方形. • 已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. • 求证:四边形ABCD是正方形. • 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可. • 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900. ∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∴四边形ABCD是正方形. ∵AB=BC,

15. A D O B C 正方形的判定 • 定理:对角线相等的菱形是正方形. • 已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. • 求证:四边形ABCD是正方形. • 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可. • 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.

16. A D O B C 正方形的判定 • 定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. • 求证:四边形ABCD是正方形. • 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可. • 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形.

17. A A D D O B B C C 回顾思考 • 定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. • ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA. • 定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. • ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

18. A A D D O B B C C 回顾思考 • 定理:有一个角是直角的菱形是正方形. • ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴四边形ABCD是正方形. • 定理:对角线相等的菱形是正方形. • ∵四边形ABCD是菱形,AC=DB. ∴四边形ABCD是正方形. • 定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. • ∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形.

19. 课后作业 • P88 习题8.6 第1,2题