第二章平面汇交力系

第二章平面汇交力系 • 第二章平面汇交力系 • 第一节平面汇交力系的合成 • 一、力的合成 • 二、力在直角坐标轴上的投影 • 三、合力投影定理 • 四、平面汇交力系的解析法 • 第二节平面汇交力系平衡的解析法

第二章平面汇交力系 • 凡各力作用线均在同一平面内的力系，称为平面力系。 • 在平面力系中，若各力的作用线全部汇交于一点，则称为平面汇交力系。研究平面汇交力系，一方面可以解决一些简单的工程实际问题，另外也为研究更复杂的力系打下一定基础。 • 第一节平面汇交力系合成 • 一、力的合成 • ⒈　汇交二力合成的三角形法则 • 由平行四边形公理可知，作用在物体上同一点Ａ的两个力F1、F2可以合成，合力F也作用在该点，它的大小和方向是以此两力为邻边所作的平行四边形的对角线（图1-2-1a）表示，其矢量式为 • F＝F1＋F2

为简便计，作图时可直接将F2平移连在F1的末端，通过△ABD即可求得合力F如下图所示。此法称为求二汇交力合成的三角形法则。为简便计，作图时可直接将F2平移连在F1的末端，通过△ABD即可求得合力F如下图所示。此法称为求二汇交力合成的三角形法则。

⒉多个汇交力合成的力多边形法则： • 设在刚体平面上有一汇交力系F1、F2、F3、F4作用并汇交于Ｏ点（如下图），其合力F可以连续使用上述力三角形法则来求得，即先求F1与F2合力FR1、再将FR1与F3合成为FR2，最后求出FR2与F4的合力F。可用矢量表示为： • F=F1＋F2＋F3+F4

由上图可见，FR1、FR2亦可省略，故求合力F，只需将各力F1、F2、F3、F4首尾相接，形成一条折线，最后连其封闭边，从共同的始端Ｏ指向F4的末端所形成的矢量即为合力F。此法称为力的多边形法则。力多边形的封闭边即为力系的合力。由上图可见，FR1、FR2亦可省略，故求合力F，只需将各力F1、F2、F3、F4首尾相接，形成一条折线，最后连其封闭边，从共同的始端Ｏ指向F4的末端所形成的矢量即为合力F。此法称为力的多边形法则。力多边形的封闭边即为力系的合力。

由此得出如下结论：平面汇交力系的合力等于力系各力的矢量和，合力的作用线通过力系的汇交点。设平面汇交力系为F1、F2、…、Fn，以F代表它们的合力，则可用矢量式表示为由此得出如下结论：平面汇交力系的合力等于力系各力的矢量和，合力的作用线通过力系的汇交点。设平面汇交力系为F1、F2、…、Fn，以F代表它们的合力，则可用矢量式表示为 • F=F1+F2+…+Fn=∑Fi • 由力多边形法则求合力F时，只要将各分力首尾相接，连成折线，而起点到终点的连线，便是合力。合力大小和方向与各力相加次序无关。

二、力在直角坐标轴上的投影： • 力Ｆ在坐标轴上的投影定义为：过力Ｆ两端向坐标轴引垂线（如下图），得垂足a、b和a'、b'，线段ab和a'b'分别为力Ｆ在Ｘ轴和Ｙ轴上的投影的大小。

投影的正负号规定 • 从a到b(或a‘到b’)的指向与坐标轴的正向相同为正，相反为负。力Ｆ在x轴、y轴上投影分别记作Fx、Ｆy表示。设力Ｆ与x轴所夹锐角为α则由上图知：

如将力沿坐标轴方向分解，所得的分力Ｆx、Ｆy的值与力Ｆ在同轴的投影ＦＸ、ＦＹ大小的绝对值相等。如将力沿坐标轴方向分解，所得的分力Ｆx、Ｆy的值与力Ｆ在同轴的投影ＦＸ、ＦＹ大小的绝对值相等。 • 但应当注意：投影是代数量，它不存在惟一作用线的问题；分力是矢量，具有确定的大小、方向、作用点（线）。若已知Fx、Ｆy的值，可求出力Ｆ的大小及方向。

三、合力投影定理 • 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。

如图所示,平面汇交力系F1、F2、F3、F4组成的力多边形，F为合力。将各力投影到x轴上，由图可见如图所示,平面汇交力系F1、F2、F3、F4组成的力多边形，F为合力。将各力投影到x轴上，由图可见 • Od=Oa+ab-bc-cd • 显然上式左端Od为合力F的投影，右端为四个投影的代数和，令Fx和Fx1、Fx2、Fx3、Fx4分别表示合力及各分力在x轴上的投影，则： • Fx=Fx1+Fx2+Fx3+Fx4 • 上式可推广到任意多个力的情况，即： • Fx=Fx1+Fx2 +…+Fxn=ΣFxi

四、平面汇交力系的解析法 • 求平面汇交力系的合力的解析法，是用力在坐标轴上的投影，计算合力的大小，确定合力的方向。 • 设在刚体上的点Ｏ，作用了由n个力Ｆ１、Ｆ２、…、Ｆn组成的平面汇交力系，如下图所示，需求合力的大小与方向。

设Ｆx１和Ｆy１、Ｆx２和Ｆy２、…、Ｆxn和Ｆyn为Ｆ１、Ｆ２、…、Ｆn在正交轴Ｏx和Ｏy上的投影。根据合力投影定理，可求得合力F在这两轴上的投影（如上图）为：设Ｆx１和Ｆy１、Ｆx２和Ｆy２、…、Ｆxn和Ｆyn为Ｆ１、Ｆ２、…、Ｆn在正交轴Ｏx和Ｏy上的投影。根据合力投影定理，可求得合力F在这两轴上的投影（如上图）为： • Fx＝Ｆx１＋Ｆx２＋…＋Ｆxn=∑Fxi • Fy=Ｆy１+Ｆy２+…+Ｆyn=∑Fyi • 可求得合力的大小和方向为：

第二节平面汇交力系平衡的解析法 • 平面汇交力系的平衡的条件是力系的合力等于零。合力的大小为 • 只有当∑Fx和∑Fy都等于零时，合力F的大小才为零。 • 因此时平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在两个相互垂直的坐标轴上的投影的代数和都等于零，即　　 • 上式称为平面汇交力系的平衡方程。 • 平面汇交力系有两个独立平衡方程，因此只能解决未知量不超过两个的力系平衡问题。

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