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数学文化之运筹学

数学文化之运筹学. 刘丙强 山东大学数学学院 知新楼 B835; 883 63455 bingqiangsdu@gmail.com 2013-11-13 (2). 运筹学理论内容：. 数 学 规 划. 线性规划. 整数规划. 非线性规划. 内 容. 组 合 优 化. 图与网络. 网络优化. 算法分析. 算法复杂性. 近似算法. 组合优化综述. 组合最优化：解决离散结构上的优化问题； 主要包括： 组合数学； 数学规划（线性规划）； 算法理论与方法； 图论中的优化问题； 本节内容：

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数学文化之运筹学

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  1. 数学文化之运筹学 刘丙强 山东大学数学学院 知新楼B835; 88363455 bingqiangsdu@gmail.com 2013-11-13 (2)

  2. 运筹学理论内容： 数 学 规 划 线性规划 整数规划 非线性规划 内 容 组 合 优 化 图与网络 网络优化 算法分析 算法复杂性 近似算法

  3. 组合优化综述 • 组合最优化：解决离散结构上的优化问题； • 主要包括： • 组合数学； • 数学规划（线性规划）； • 算法理论与方法； • 图论中的优化问题； • 本节内容： • 组合优化化问题与算法； • 算法复杂性； • 近似算法

  4. 算法理论 • 算法：解决问题的步骤； • 输入与输出； • 流程与语言； • 复杂性：时间、空间复杂性； • 准确性的衡量； • 计算机与算法； • 算法思想： • 精确算法； • 贪婪算法； • 启发式算法； • 近似算法； • 确定性算法、非确定性算法；

  5. 算法理论：复杂性 • 时间复杂性（算法可行性与扩展性）： • 算法运行时间的快慢； • 与输入数据规模有关； • 上界：函数 f(n) 和 g(n) 都是整数到正实数的函数，如果存在正整数 n0 和正常数 c，使得对所有 n ≥ n0 ，都有 f(n) ≤ cg(n)，就称 f(n) 的阶至多是 O(g(n))。 • 下界：函数 f(n) 和 g(n) 都是整数到正实数的函数，如果存在正整数 n0 和正常数 c，使得对所有 n ≥ n0 ，都有 f(n) > cg(n)，就称 f(n) 的阶至少是 Ω(g(n))。 • 准确界：函数 f(n) 和 g(n) 都是整数到正实数的函数，如果存在正整数 n0 和正常数 c1 和 c2( c1 ≤c2 )，使得对所有 n ≥ n0 ，都有 c1g(n) ≤ f(n) ≤ c2 g(n)，就称 f(n) 的阶至多是 Θ(g(n))。 • 1 ≺ loglogn ≺ logn ≺ n1/2 ≺ n3/4 ≺n ≺ nlogn ≺ n2≺ 2n ≺ n!≺ 2n^2 • 多项式与非多项式；

  6. 算法理论：复杂性 • 例：排序问题： • 遍历排序：O(n2)； • 分组排序：O(nlogn)； • 多项式时间与指数时间：

  7. 算法理论 • 图灵（Alan Mathison Turing，1912-1954） • 数学家、逻辑学家、密码学家，被称为计算机科学之父、人工智能之父； • 师从数学家哈代； • 二战中有巨大贡献； • 图灵机； • 图灵奖：姚期智（2000） It isn‘t true, but God, we wish it was！

  8. 有限状态控制器 1 1 …… 1 0 B 1 0 0 0 B 0 1 1 0 0 1 B …… 算法理论：复杂性 • 图灵机与判定性问题： • 判定性问题：用“是”和“否”回答的问题。 • 确定性图灵机； • 非确定性图灵机；（带神谕的图灵机）

  9. 算法理论：复杂性 • P 与 NP 问题： • P：所有可以用确定性图灵机在多项式时间内求解的判定问题。 • NP：所有可以用非确定性图灵机在多项式时间内求解的判定问题。 • 通俗定义： • P：存在多项式时间算法的判定问题。 • NP：多项式时间内可以验证的判定问题。 • P 属于 NP； • P =？NP • 2000年巴黎法兰西学院宣布：对七个“千僖年数学难题”每一个悬赏一百万美元。P =？NP为第一个难题。

  10. 算法理论：复杂性 • 如何比较难易？ • Karp归约（1972）：问题 A多项式时间内转化为问题 B的特殊情况，则称 A可多项式归约于 B，记为 • 转化时间为多项式； • 对于 A的输入 I的回答与其对应的 B的输入 f(I) 一致； • 例：TSP 归约为整数规划

  11. 算法理论：复杂性 • NPC（NP完全）问题：NP 中最难的问题； • ； • 可满足问题 (Satisfiability Problem,SAT)； • Cook（1971）证明了SAT问题为 NPC 问题。 • SAT： • 布尔变量集合： • 布尔式： ，形如 • 问是否存在 的赋值使得 f = 1； • 计算复杂度：O(2n)； • NP-hard 问题：与NPC一样难或者更难的问题；

  12. 算法理论：复杂性 • 第一个NP完全问题（Cook定理 1971） • 可满足问题 （SAT）是NP完全问题 • 六个NP完全问题（Karp 1972) • 3可满足问题：3SAT； • 图的点覆盖问题：VC； • 图的 k点团存在性问题：Clique； • 图的哈密尔顿圈问题：HC；TSP简化版； • 正整数集合的划分问题；背包问题简化版； • 三维匹配问题： 3DM； • 更多的NP完全问题 • 1979年：300多个； • 1998年：2000多个；

  13. 算法理论：复杂性 • P=?NP （P-NP问题）； • 如果 ，则指数灾难无法避免； • P 与 NPC 之外的 NP 问题，曾经的希望： • 线性规划问题；图的同构问题；素数判定问题； NP P=NP NP NPC P

  14. 算法理论：复杂性 • 如何处理 NP 难问题？ • 并行计算：以硬件设备换取时间 • 存在着很多种并行计算模型 • 理想模型 PRAM 可多项式时间解NP完全问题 • 实际中效果不好：处理器数目是受限的，现实的代价：通讯，同步，等； • 随机算法： • 判定问题： • 以较大概率得到正确输出； • 输出正确，但计算时间不定； • 优化问题：输出解的性能不稳定； • 以较大概率得到性能好的解；

  15. 算法理论：复杂性 • 近似算法： • 不要最优，只求较优； • 时间复杂度较低； • 结果符合某种保证； • 启发式算法： • 基于直观或经验构造的算法，在可接受的代价下给出待解决问题每一个实例的一个可行解，该可行解与最优解的偏离程度不一定事先可以预计 ； • 通常利用邻域进行局部优化：邻域搜索； • 贪婪策略通常也属于启发式算法； • 模拟退火、遗传算法、人工神经网络、蚁群算法等；

  16. 组合最优化问题：集合覆盖问题 • 例：有 n个菌株 V = {v1, v2, …, vn }，m种药物每种可以抑制菌株集合为 S1, S2, …, Sm，成本分别为 w1, w2, …, wm， 求可以抑制所有菌株的成本最小的药物组合。 • 集合覆盖（Set Cover）： • 输入： • 集合 V = {v1, v2, …, vn }; • 子集 S1, S2, …, Sm 属于 V； • 权重 w1, w2, …, wm 、或无权； • 目标： • 选出 {1, 2, …, m}的子集 I， 需要满足 ；同时 最小化 或 |I|； V = {v1, v2, …, vn }; Sj

  17. 组合最优化问题：集合覆盖问题 • 无权集合覆盖的贪婪算法 1： • 1. 取 I为空集； • 2. 当 V非空的时候，任选 vi，将所有包含 vi 的集合 Sj的序号并入 I；然后将所有涉及到的 vi 从 V中删除； • 3. 如果 V为空集，则停止，输出 I。 • 算法 1为 f 近似算法（f为 vi 所属子集的个数的最大值）； • f较小时效果尚可：每个菌株被少数药物抑制； • 无权集合覆盖的贪婪算法 2： • 1. 取 I为空集； • 2. 当 V非空的时候，将包含未覆盖的 vi 最多的集合 Sj的序号并入 I；然后将新覆盖到的 vi 从 V中删除； • 3. 如果 V为空集，则停止，输出 I。

  18. 组合最优化问题：集合覆盖问题 • 利用线性规划的凑整算法（Rounding） • xj = 0, 1 代表是否选取 Sj； • xj 松弛问题的解 ； • 对 j =1, …, m执行： • 输出 • 凑整算法为 f近似算法：

  19. 组合最优化问题：集合覆盖问题 • 贪婪算法； • 线性规划取整算法； • 对偶规划算法； • 原对偶规划算法； • 加权集合覆盖的贪婪算法； • 问题推广： • 抑制关系的强弱（元素与集合从属关系加权）； • 药物拮抗性（集合选择时考虑互斥）； • 放松要求（尽可能多的抑制细菌，不要求全部）；

  20. 组合最优化问题：背包问题 • 背包问题（Knapsake）： • 物体集合 U={u1, u2, …, un}, 其体积分别为整数s1, s2, …, sn, 价值分别为整数 v1, v2, …, vn, 背包容量为整数 C，求U的一个子集 S（装背包的方案）使得： • 同为 NP-hard问题； • 考虑近似算法等； • 松弛为 LP 分数形式；

  21. 组合最优化问题：背包问题 • 背包问题的贪婪算法1： • 首先将物品按单位价值 (vi /si) 降序排列，然后按这个顺序将物品装包，直到包满或所有物品已经装完。 • 这个算法不能得到有界近似比： • 贪婪算法2： 1/2近似算法

  22. 组合最优化问题：背包问题 • 贪婪算法 + 局部优化： • 首先将物品按单位价值 (vi /si) 降序排列，然后按这个顺序将物品装包，直到包满或所有物品已经装完。 • 在上述结果基础上进行邻域优化？

  23. 组合最优化问题：装箱问题 • 装箱问题（Bin-packing）： • 有 n 个大小分别为 s1, s2, …, sn 的物体 ui （其中每个 sj 都在 0 和 1 之间）, 要求将它们装入到最少数目的单位容积的箱子中（不考虑物体形状）。 • 划分问题 （Partition）： • 一组正整数 (s1, s2, …, sn )，是否可以将其划分为两个集合，使得两个集合里面的数的和相等； • NPC 问题； • 不存在近似度 < 3/2 的近似算法； • 可以直接归结为装箱问题； • 装箱问题不存在近似度 < 3/2 的近似算法

  24. THE END！

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