Analiza wariancji (ANOVA)

1. Analiza wariancji (ANOVA) Analiza wariancji służy do weryfikacji hipotezy o równości wartości średnich wielu prób, np. pochodzących z pomiarów wykonywanych w różnych laboratoriach. Klasyfikacja pojedyncza: poszczególne próby są charakteryzowane przez tylko jeden czynnik zewnętrzny, np. laboratorium w którym wykonywano pomiary. Klasyfikacja wielokrotna: poszczególne próby są charakteryzowane przez więcej niż jeden czynnik zewnętrzny, np. numer fabryczny przyrządu pomiarowego i obserwatora. ANOVA ma większe zastosowanie niż test Studenta, który można użyć tylko do porównywania wartości średnich dwóch prób.

2. Klasyfikacja pojedyncza Z populacji o liczności n pobieramy t podprób o licznościach n1, n2,…, nt. Przy wyborze kierujemy się określonym kryterium (np. numerem przyrządu pomiarowego, numerem obserwatora, itp.) Zakładamy jednakową wartość wariancji pojedynczego pomiaru, s2. Całkowitą wariancję z populacji (s) można rozłożyć na wkład pochodzący od różnicy pomiędzy wartościami średnimi średnimi podprób (sA) a wartością średnią z populacji oraz wariancji z podprób (sW). Wielkości te są niezależnymi zmiennymi losowymi.

3. Wariancja całkowita Wariancja międzygrupowa Wariancja wewątrzgrupowa

4. Tabela analizy wariancji dla klasyfikacji pojedynczej

5. Przykład analizy wariancji z klasyfikacją pojedynczą: ocena różnicy skuteczności trzech leków przeciwnowotworowych na podstawie pomiaru masy śledziony myszy. Leki podawano 3 grupom myszy. Zgodnie z wartoścą testu F nie można odrzucić hipotezy zerowej (o jednakowej skuteczności leków) nawet na poziomie istotności 50% (wartość krytyczna F0.5(2,24)=3.4).

6. Analiza wariancji w klasyfikacji podwójnej Czynnik B Czynnik A Klasyfikacja krzyżowa Klasyfikacja współzależna

7. Klasyfikacja podwójna krzyżowa W przypadku klasyfikacji pojedynczej hipotezę zerową można zapisać następującym wzorem:

8. W klasyfikacji podwójnej mamy dwa czynniki zewnętrzne a zatem różnice pomiędzy wartością średnią z podpróby a średnią z populacji mogą pochodzić od jednego z czynników a także od oby czynników naraz (oddziaływania)

9. W średnich xi.., x.j. oraz xij. wykropkowane są indeksy względem których sumujemy

11. Tabela analizy wariancji dla klasyfikacji krzyżowej podwójnej

12. Przykład analizy wariancji z klasyfikacją podwójną krzyżową: wchłanianie tymidyny w funkcji czasu (drugi czynnik) przez dwie grupy szczurów, z których jedna nie otrzymała a druga otrzymała dawkę substancji rakotwórczej (pierwszy czynnik).