Αρχιμήδη Ψαμμίτης

1. Αρχιμήδη Ψαμμίτης

2. Πότε γράφτηκε • Είναι αφιερωμένο στον Γέλωνα , τύραννο των Συρακουσών. Άρα πρέπει να γράφτηκε πριν το 216 π.Χ. που πέθανε ο Γέλωνας. • Αποτελεί αθάνατο μνημείο της αριθμητικής μεγαλοφυΐας του Αρχιμήδη

3. Απευθυνόμενος στον Γέλωνα… «Οἴονταί τινες, βασιλεῦς Γέλων, τοῦ ψάμμου τὸν ἀριθνὸν ἄπειρον εἶμεν τῷ πλήθει λέγω δὲ ού μόνον τοῦ περὶ Συρακούσας τε  καὶ τὰν ἄλλαν Σικελίαν ὑπάρχοντος, ἀλλὰ καὶ τοῦ κατὰ πᾶσαν χώραν τάν τε οἰκημέναν καὶ τὰν ἀοίκητον. Ἐντί τινες δέ, οἵ αὐτὸν ἄπειρον μὲν εἶμεν οὐχ ὑπολανβάνοντι, μηδένα μέντοι ταλικοῦτον κατωνομασμένον ὑπάρχειν αριθμόν, ὅστις ὑπερβὰλλει τὸ πλῆθος αὐτοῦ.» • Κάποιοι νομίζουν ότι ο αριθμός των κόκκων της άμμου που υπάρχει σε όλη την έκταση της γης είναι άπειρος • Κάποιοι δε νομίζουν ότι δεν είναι άπειρος αλλά δεν υπάρχει τόσο μεγάλος αριθμός που να ξέρουμε το όνομά του που να ξεπερνά τον αριθμό της.

4. και συνεχίζει… «Ἐγώ δὲ πειρασοῦμαὶ τοι δεικνύειν δι' ἀποδείξιων γεωμετρικᾶν, αἷς παρακολουθήσεις,  ὅτι τῶν ὑφ' ἁμῶν κατωνομασμένων ἀριθμῶν καὶ ἐκδεδομένων ἐν τοῖς ποτὶ Ζεύξιππον  γεγραμμένοις ὑπερβάλλοντί τινες οὐ μὸνον τὸν ἀριθμὸν τοῦ ψάμμου τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ γᾷ πεπληρωμένᾳ, καθάπερ εἴπαμες, ἀλλα καὶ τὸν τοῦ μέγεθος ἴσον ἔχοντος τῷ κόσμῳ.» Εγώ θα προσπαθήσω να σου αποδείξω με γεωμετρικό τρόπο ότι κάποιοι από τους αριθμούς που εμείς έχουμε κατονομάσει και δημοσιεύσει στο σύγγραμμά μας το αφιερωμένο στον Ζεύξιππο, υπερέχουν και από την άμμο που είπαμε πιο πάνω αλλά και τον αριθμό της άμμου που έχει μέγεθος ίσο με το μέγεθος του κόσμου.

5. Το αριθμητικό σύστημα των αρχαίων • Το αριθμητικό σύστημα των αρχαίων ήταν περιορισμένο και είχε σαν όριο την μυριάδα των μυριάδων δηλαδή 10.0002=100.000.000 • Ο Αρχιμήδης εισάγει σύστημα αριθμών πολύ ευρύτερο που μπορεί να εκφράσει αριθμό απείρως μεγαλύτερο. • Ξεκινά από την αντίληψη των αρχαίων ότι η περίμετρος της γης είναι 300.000 στάδια, ότι το μέγεθος άμμου όχι μεγαλύτερο από τον σπόρο μιας παραρούνας δεν έχει πάνω από 10.000 κόκους και ότι η διάμετρος του σπόρου δεν είναι λιγώτερο του 1/40 του δακτυλίου.

6. Ο Αρχιμήδης ισχυρίζεται… • Αν γεμίσει όλη την σφαίρα της γης με άμμο μπορεί να βρει αριθμό μεγαλύτερο του πλήθους των κόκκων της άμμου που περιέχονται στην γήινη σφαίρα. • Και όχι μόνο αυτό. Αλλά αν πολλαπλασιάσει τον αριθμό που εκφράζει πόσα στάδια είναι η περίμετρος της γης επί 10 και θεωρήσουμε την σφαίρα γεμάτη από άμμο, και πάλι μπορεί να βρει μεγαλύτερο αριθμό.

7. Ο Αρχιμήδης ισχυρίζεται… • Αλλά ακόμα μεγαλύτερος αριθμός μπορεί να βρεθεί από τον αριθμό των κόκκων της άμμου που είναι γεμάτη η μεγίστη δυνατή σφαίρα των απλανών μπορεί να υπολογιστεί ότι έχει διάμετρο μεγαλύτερο του μυριαπλασίου της διαμέτρου της γης και όχι μικρότερο των 10.000.000.000 σταδίων • Ποιο είναι λοιπόν το αριθμητικό σύστημα που θα μας δώσει τέτοιους αριθμούς;

8. Συμβαίνει να έχουν παραδοθεί μέχρι εμάς, ονόματα αριθμών μέχρι το 10.000 και πάνω από αυτόν κατανοούμε τα ονόματα όταν μιλάμε για αριθμό μυριάδων ή μέχρι μύριες μυριάδες δηλαδή 100.000.000 «Συμβαίνει δὴ τὰ ὀνόματα τῶν ἀριθμῶν ἐς τὸ μὲν τῶν μυρίων ὑπάρχειν ἁμῖν παραδεδομένα, καὶ ὑπὲρ τὸ τῶν μυρίων [μὲν] ἀποχρόντως γιγνώσκομες μυριάδων ἀριθμὸν λέγοντες ἔστε ποτὶ τὰς μυρίας μυριάδας»

9. Το σύστημα αρίθμησης του Αρχιμήδη – Οι τάξεις… • Οι αριθμοί αυτοί λέγονται πρώτοι ή αριθμοί πρώτης τάξεως. Δηλαδή οι αριθμοί από 1 έως 100.000.000=10.0002. Από εδώ αρχίζουν οι αριθμοί δεύτερης τάξης που είναι από 10.0002 μέχρι 100.000.0002=10.0004. Για να σχηματίσει τους αριθμούς 10.0004ξεκινά από τον 10.0004 μέχρι τον 10.0008 κ.ο.κ και σχηματίζει αριθμούς ν+1 τάξης παίρνοντας σαν μονάδα την 2η δύναμη της μυριάδας • Ετσι προχωρεί μέχρι «μυριάκις μυριοστών αριθμών μυρίας μυριάδας» δηλαδή φθάνει στην 10 στην 8η δύναμη τάξη δηλαδή στον δικό μας

10. Το σύστημα αρίθμησης του Αρχιμήδη – Οι περίοδοι… • Όλοι οι αριθμοί των προηγούμενων τάξεων θεωρούνται ότι ανήκουν στην πρώτη περίοδο. • Στην συνέχεια παίρνει τον τελευταίο αριθμό της πρώτης περιόδου και σχηματίζει τάξεις αριθμών της δεύτερης περιόδου. Αν ο τελευταίος αριθμός της πρώτης περιόδου είναι Π η πρώτη σειρά θα περιλαμβάνει τους αριθμούς ΠΧ1 έως ΠΧ10 στην ογδόη. • Έτσι προχωρούμε μέχρι την 108 περίοδο, που ο τελευταίος της αριθμός θα είναι ο Π στην 108

11. Το σύστημα αρίθμησης του Αρχιμήδη – Οι περίοδοι… • Για να γραφτεί ο τελευταίος αριθμός της πρώτης περιόδου χρειάζεται η μονάδα ακολουθούμενη από 800.000.000 ψηφία • Και ο τελευταίος αριθμός της τελευταίας περιόδου χρειάζονται ογδόντα χιλιάδες εκατομμύρια, εκατομμυρίων ψηφία

12. Και αφού ανέπτυξε το αριθμητικό σύστημα… • Υπολόγισε ότι σφαίρα διαμέτρου ενός ποδός θα περιλαμβάνει 64000 σπόρους παπαρούνας • Σφαίρα διαμέτρου ενός σταδίου θα περιέχει λιγότερο από 100.000 μονάδες τρίτης τάξεως δηλαδή 105. • Στην συνέχεια υπολογίζει τον αριθμό που εκφράζει το πλήθος των κόκκων της άμμου που χρειάζεται για να γεμίσει την σφαίρα των απλανών της οποίας την διάμετρο πήρε να έχει μήκος εκατοντάκις μυριάκις μυριάδας σταδίων. • Βρίσκει ότι οι αριθμοί της όγδοης τάξης της πρώτης περιόδου αρκούν για να δηλώσουν αυτόν τον αριθμό.

13. Απέδειξε… • Έχει αποδειχθεί ότι το πλήθος της άμμου που έχει μέγεθος ίσο με το μέγεθος του κόσμου, από τους περισσότερους αστρονόμους είναι μικρότερο από χίλιες μονάδες της έβδομης τάξης των αριθμών • …. Δηλαδή του αριθμού 1051 «Ὅτι μὲν οὖν τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν πλεὶστων ἀστρολόγων καλουμένῳ κόσμῳ ἔλασσόν ἐστιν ἤ α μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν δέδικται.»

14. Ή απέδειξε… • Αν ληφθεί υπόψη η τιμή που δίνει στην διάμετρο του σύμπαντος, ο Αρίσταρχος ο Σάμιος, ο υποστηρικτής του ηλιοκεντρικού συστήματος, τότε αποδεικνύει ο Αρχιμήδης ότι ο αριθμός θα ανέβει στις 10.000.000 μονάδες ογδόης τάξεως. • …δηλαδή 1063 κόκκοι άμμου!

15. Και το σύγγραμμα τελειώνει… «Ταῦτα δέ, βασιλεῦ Γέλων, τοῖς μὲν πολλοῖς καὶ μὴ κεκοινωνηκότεσσι τῶν μαθημάτων ούκ εὔπιστα φανήσειν ὑπολαμβάνω, τοῖς δὲ μεταλελαβηκότεσσιν καὶ περὶ τῶν ἀποστημάτων ναὶ τῶν μεγεθέων τᾶς τε γᾶς καὶ τοῦ ἁλιου καὶ τᾶς σελήνας καὶ τοῦ ὅλου κόσμου πεφροντικότεσσιν πιστὰ διὰ τὰν ἀπόδειξιν ἐσσεῖσθαι διόπερ ᾠήθην καὶ τὶν οὐκ ἀνάρμοστον εἶμεν [ἔτι] ἐπιθεωρῆσαι ταῦτα». Αυτά βασιλιά Γέλωνα πιστεύω ότι στους μεν πολλούς και μη έχοντες γνώσεις μαθηματικών δεν θα φανούν πιστευτά. Σε εκείνους όμως που έχουν γνώση για τις αποστάσεις και τα μεγέθη του ήλιου, της σελήνης, και της γης και έχουν ενδιαφερθεί για όλο τον κόσμο θα γίνουν πιστευτά, λόγω των αποδείξεων που παρέχονται. Γι αυτό σκέφτηκα ότι δεν είναι ανάρμοστο κι εσύ να ασχοληθείς με την σκέψη σου με αυτά.

16. Ακόμη… • Στον Ψαμμίτη ακόμη ασχολείται με θέματα αστρονομίας και είναι μια από τις ελάχιστες πηγές που δίνει πληροφορίες για το ηλιοκεντρικό σύστημα του Αρίσταρχου του Σάμιου. • Ακόμη στο σύγγραμμα αυτό δηλώνει ότι είναι γιός του Φειδία, ένα από τα ελάχιστα που γνωρίζουμε για την οικογενειακή του κατάσταση. Φειδία δὲ τοῦ ἁμοῦ πατρὸς