常微分方程

1. 常微分方程 北京邮电大学理学院 郭玉翠

2. 数学家庞加莱语录 “科学家研究自然是因为他喜欢它，他喜欢它是因为它美，如果自然不美，它就不值得被人知道，而如果自然不值得知道，人也就不值得活下去，当然，我这里说的并不是那种激动感官的美——那种品质上和外观上的美；并不是我低估那种美，远远不是如此，但那种美和数学不相干；我说的是各部分之间和谐有序的更深刻的美，是一个纯洁的心灵所能掌握的美。”

3. 常微分方程的定义与应用 常微分方程是指包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的微分的等式。常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。

4. 常微分方程发展简史 微分方程差不多是和微积分同时产生的，它的形成和发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。 常微分方程的发展历史大体可分为四个阶段：18世纪及其以前；19世纪初期和中期；19世纪末期及20世纪初期；20世纪中期以后。

5. 常微分方程发展的第一阶段 18世纪及其以前是常微分方程产生和发展的第一个阶段。伽利略在研究自由落体运动时，发现物体的加速度是常数，作为微分方程 的解而得到物体的运动规律 ，这是常微分方程的第一个例子，同时也是开创微积分学的先驱性工作。质点运动学是这个阶段研究的问题的主要来源之一。例如牛顿建立了太阳系行星运动方程。

6. 常微分方程发展的第一阶段 这一阶段的主要特征是寻求常微分方程的通解，主要成果有：莱布尼茨（1693）给出齐次方程和线性方程的通解；伯努利兄弟和莱布尼茨用同样方法（利用变换u＝y1-n化为线性方程）解出了雅各布·伯努利所提出来的微分方程 应当指出，是莱布尼茨在1676年给牛顿的信中，第一次使用了“微分方程”这一名词，1684年以后开始在杂志上使用。

7. 常微分方程发展的第一阶段 对某些方程，约翰·伯努利还使用了积分因子方法，特别在1700年，他指出用形如x-p的因子可以逐次降低线性方程 的阶数。1740年，欧拉用代换x＝et求得这个方程的通解，后来这个方程被称为欧拉方程。 在1743年的论文中，欧拉还给出了任何阶常系数线性齐次方程的古典解法，他在这篇文章中，最早引入“通解”和“特解”的名词。

8. 常微分方程发展的第一阶段 1774－1775年，拉格朗日发展了参数变异法，解决了一般n阶变系数常微分方程的求解问题，后来他又将参数变异法应用于解高阶常微分方程组。这些工作都标志着常微分方程求解技巧的进步。 但是，求常微分方程显式通解的可能性十分有限，上述努力经过一段时间后便停滞下来。当时的许多实际问题只能用数值方法求近似解，欧拉折线法便是这方面工作的开端。

9. 常微分方程发展的第二阶段 19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转折时期，分析基础的重建、复变函数、群论和非欧几何的创立都在这一时期。这些新概念和新方法极大地影响了常微分方程的发展。在这种形势下，常微分方程的发展进入了第二个阶段。 在这一阶段，柯西首先指出，必须改变先求通解后求特解的次序。

10. 常微分方程发展的第二阶段 在1820－1830年的讲义中，欧拉给出了一阶常微分方程y’=f(x, y)在初始条件x＝x0，y＝y0以及在f(x, y)连续的区域内解的存在性与唯一性的证明。由此引起了著名的“柯西问题，’（又称初值问题）的研究。柯西还创造性地把常微分方程的研究由实数域扩展到复数域。

11. 常微分方程发展的第二阶段 1841年，法国数学家刘维尔证明了形式上很简单的里卡蒂方程 =P(x)y2+q(x)y+r(x) 一般不能通过初等积分法来求解，这一事实迫使数学家们放弃将主要注意力放在寻求各种微分方程通解的想法。虽然在这个时期又补充了一些可用初等积分法解出的方程类型，但微分方程研究的主要目标和主要方法从此开始转移。

12. 常微分方程发展的第二阶段 围绕着“柯西问题”出现了许多工作。德国数学家李普希茨改进了柯西的存在性与唯一性定理的证明，提出了更广泛适用的“李普希茨条件”。意大利数学家皮亚诺、法国数学家皮卡等也对这个问题进行了研究。 1874年，挪威数学家S．李将群的概念应用于常微分方程，引入了将常微分方程的解变为解的连续变换群的概念。当连续变换群已知时，常微分方程的积分因子即可显式地写出，从而解决了解的可积性问题。

13. 常微分方程发展的第三阶段 19世纪末和20世纪初是常微分方程发展的第三个阶段，主要在以下三个方面有重大发展：首先是关于常微分方程的解析理论的研究；其次是常微分方程实域定性理论的创立；第三是常微分方程摄动理论即小参数理论的建立。

14. 常微分方程发展的第四阶段 从20世纪中期起，常微分方程的发展既深又广，进入了一个新的阶段，有以下几方面的工作。 由于工程技术的需要而产生了新型问题和新的分支。例如工程控制论中火箭发动机的燃烧过程由于时滞现象而产生的带有时滞的常微分方程（或称微分差分方程），以及更广义的泛函微分方程。又如由于空气中的湍流对飞机运动的影响，使微分方程中带有随机摄动项，这类问题产生了随机微分方程。

15. 常微分方程发展的第四阶段 由于应用问题的需要而产生了一些近似的解析形式的解的求法。 电子计算机的出现与发展推动了常微分方程的研究，并取得一系列成果。起初，常微分方程由于解析解难求而转向定性研究，当定性研究也困难时，又转而用计算机“强攻”，得出一定的数值模拟结果后，反过来为定性研究提供了感性的新信息。这方面的研究正在兴起。

16. 第1章 微分方程概论 1.1 基本概念 1.2 几何解释 1.3 微分方程论简介 1.4 微分方程发展简史和著名数学家简介 第2章 微分方程模型 2.1 简单模型 2.2 人口问题模型 2.3 传染病动力学模型

17. 第3章 初等积分法 3.1 分离变量法 3.2 一阶线性微分方程 3.3 全微分方程 积分因子法 3.4 一阶隐式方程与解的积分表示 3.5 高阶微分方程的几种可积类型 第四章 一阶微分方程解的存在定理 4.1 引言 4.2 解的存在、唯一性定理 4.3 解的延拓

18. 4.4 解对初值的连续性和可微性定理 第5章 线性微分方程（组）的理论和解法 5.1 化任意正规型微分方程和方程组为一阶正规型微分方程组 5.2 解的存在唯一性定理 5.3 线性微分方程组 5.4 常系数线性微分方程组的解法 5.5 高阶线性微分方程 5.6 常系数高阶线性微分方程

19. 第6章 定性理论与稳定性基础 6.1 动力系统 相空间 6.2 稳定性基础

20. 第7章 首次积分与一阶偏微分方程 7.1 一阶常微分方程组的首次积分 7.2 一阶偏微分方程 7.3 一阶偏微分方程的几何解释

21. “历史教导我们，一个科目的发展是由汇集不同方面的成果点滴积累而成的。我们也知道，常常需要几十年，甚至几百年的努力才能迈出有意义的几步。不但这些科目并未锤炼成无缝的天衣，就是那已经取得的成就，也常常只是一个开始，许多缺陷有待填补，或者真正重要的扩展还有待创造。”“历史教导我们，一个科目的发展是由汇集不同方面的成果点滴积累而成的。我们也知道，常常需要几十年，甚至几百年的努力才能迈出有意义的几步。不但这些科目并未锤炼成无缝的天衣，就是那已经取得的成就，也常常只是一个开始，许多缺陷有待填补，或者真正重要的扩展还有待创造。” -------Morris Kline（《古今数学思想》）