Mécanique des Structures

Introduction • 2. Concepts utilisés en mécanique • 3. Objectifs des calculs • 4. Les outils pour le calcul • 5. Définitions utiles • 6. Conclusion Mécanique des Structures René Motro

Sommaire 1. Introduction 1.1 Mécanique et construction 1.2 Constructions planes chargées dans leur plan 1.3 Poutres, poteaux, murs 2. Concepts utilisés en mécanique2.1 Forces2.2Moment d’une force par rapport à un point2.3 Déformation d’une fibre matérielle2.4 Contraintes 2.5 Loi de comportement d’un matériaupour une sollicitation donnée 2.6 Déformée3. Objectifs des calculs 3.1 Equilibre de solides 3.2 Résistance des matériaux 3.3 Rigidité, stabilité de forme 4. Les outils pour le calcul 4.1 Les vecteurs 4.2 Intégrales définies et indéfinies 4.3 Représentations des droites 4.4 Distance d’un point à une droite 4.5 Unités 5. Définitions utiles 5.1 Densité et masse volumique 5.2 Pression au sein d’un liquide 6. Conclusion

1.1 Mécanique et construction • « Forme » (géométrie) : • des composants • de l’ensemble • « Forces » • action de la pesanteur • pression à différents niveaux Les paramètres de la construction : • « Matériau » • caractéristiques (loi de comportement) 1. Introduction • « Assemblage » (structure) • mode de liaison des composants (empilement dans le cas de la colonne) • « Technologie » • mode de mise en oeuvre • résolution des difficultés opératoires Figure 1 Colonne de Diane (Grèce)

1.2 Constructions planes chargées dans leur plan Actions Appuis de la ferme Plan de référence pour les actions et la construction (ici plan vertical). Figure 2 Décomposition par plans de la construction 1. Introduction

1.2 Constructions planes chargées dans leur plan Figure 3Composition structurale d’un édifice gothique 1. Introduction

1.3 Poutres, poteaux, murs Mur Linteau Raidisseurs Poutre Poteaux Longrine Fondation 1. Introduction Figure 4Exemple de façade.

2.1 Les « principes » de Newton. 2.11 Isaac Newton Figure 5La “pomme” 2. Concepts utilisés en mécanique

2.1 Les « principes » de Newton. 2.11 Isaac Newton Figure 6Les écrits d’Isaac Newton. 2. Concepts utilisés en mécanique 1642 - 1727

2.1 Les « principes » de Newton. 2.12 Notion de point matériel Figure 7Simplification, modélisation Point matériel : sa masse « m » est supposée concentrée au centre d’une sphère de rayon quasi nul qui se réduit à un point (problème d’échelle) 2. Concepts utilisés en mécanique

2.1 Les « principes » de Newton. 2.13 Premier principe Figure 8Illustration du principe d’inertie 1 Principe d’Inertie 2. Concepts utilisés en mécanique Tout corps persévère dans l'état de repos, ou de mouvement uniforme en ligne droite, dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état.

2.1 Les « principes » de Newton. 2.13 Principe d’inertie Figure 9Cas d’un solide au repos • En A le point matériel est au repos. Il subit une action qui le met en mouvement. • Le mouvement est rectiligne uniforme : • La trajectoire est une droite (AB) • La vitesse est constante • Le sens de déplacement dépend de celui de l’action initiale 2. Concepts utilisés en mécanique B A

2.1 Les « principes » de Newton. 2.13 Principe d’Inertie m B F Figure 10Cas d’un solide en mouvement m D En présence d’autres corps (point B), le mouvement du point est perturbé. Il s’exerce des forces sur le point matériel, ces forces modifient le mouvement du point. B 2. Concepts utilisés en mécanique

2.1 Les « principes » de Newton. 2.14 Principe fondamental de la dynamique 2 Principe fondamental de la dynamique L’accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m. 2. Concepts utilisés en mécanique

2.1 Les « principes » de Newton. 2.14 Principe fondamental de la dynamique « m » est la masse du corps en kg, est l’accélération en m/s2 L’unité de force est le Newton N 2. Concepts utilisés en mécanique Le poids est la force qui correspond à une accélération égale à l’accélération de la pesanteur soit (2) g=9,81 m/s2. (3) P = 9,81 N pour une masse de 1 kg soit : pour une masse de 1 kg

2.1 Les « principes » de Newton. 2.15 Principe des actions réciproques • Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, de même direction mais de sens opposé, exercée par le corps B. 3 Principe des actions réciproques 2. Concepts utilisés en mécanique

2.1 Les « principes » de Newton. 2.15 Principe des actions réciproques 3 Principe des actions réciproques 2. Concepts utilisés en mécanique

2.1 Les « principes » de Newton. 2.15 Principe des actions réciproques 3 Principe des actions réciproques 2. Concepts utilisés en mécanique Figure 11Actions mutuelles de deux solides

2.2 Modélisation des forces : vecteurs « glissants » Intensité (module) Sens Support: droite définie par deux points, ou un point et une direction. (Ou une grandeur de type moment par rapport à un point ; voir ci après) Figure 12Eléments de définition d’un glisseur Les forces sont représentées par des « glisseurs » (vecteurs glissants) • Mouvement rectiligne uniforme • de translation: • Trajectoire (droite = support) D • Sens (sens d’action) S • Intensité (F = ma) 2. Concepts utilisés en mécanique

2.3 Moment d’une force par rapport à un point P 2.3.1 Illustrations physiques Axe de rotation perpendiculaire au plan de la roue Force F Mise en mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe, sous l’effet d’une force. 2. Concepts utilisés en mécanique Figure 13Mise en mouvement de rotation

2.3 Moment d’une force par rapport à un point P 2.3.1 Illustrations physiques « Donnez-moi un point d'appui, je soulèverai le monde » (Archimède) Le levier 2. Concepts utilisés en mécanique P Figure 13Le principe du levier

2.3 Moment d’une force par rapport à un point P 2.3.2 Vecteur moment par rapport à un point P y x O Figure 14Vecteur moment par rapport à un point M(F)/P P 2. Concepts utilisés en mécanique H Support droite perpendiculaire en P au plan Oxy Intensité Avec d = PH (distance de P au support de F) Signe dépend de la convention choisie (ici positif avec la convention trigonométrique)

2.3 Moment d’une force par rapport à un point P 2.3.2 Vecteur moment par rapport à un point P • Remarques : • on peut aussi calculer la valeur algébrique en utilisant la notion de produit vectoriel (voir compléments sur les vecteurs) • dans le cas des systèmes plans chargés dans leur plan, on représente le vecteur moment avec une flèche circulaire tracée autour du point P, intersection de l’axe de rotation avec le plan du système Figure 15Représentation plane du vecteur moment par rapport à un point 2. Concepts utilisés en mécanique

2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.1 Fibre matérielle Fibres matérielles et modélisation des solides Fibre matérielle : cylindre de très grande longueur par rapport à son diamètre 2. Concepts utilisés en mécanique Poutre modélisée selon une agglomération de fibres matérielles. En raison des symétries une vue en élévation suffit. Figure 15Fibre matérielle

2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.2 Fibre moyenne d’un poteau ou d’une poutre Figure 16Fibre moyenne d’une poutre ou d’un poteau La fibre moyenne est celle qui passe par le centre de gravité des sections droites 2. Concepts utilisés en mécanique Cas d’une poutre droite à section droite rectangulaire de dimensions constantes b x h

2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.2 Fibre moyenne dans le cas général 2. Concepts utilisés en mécanique Figure 17Fibre moyenne d’une poutre non rectiligne

2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.3 Traction, compression Allongement par traction 2. Concepts utilisés en mécanique Raccourcissement par compression Figure 18Déformation d’une fibre matérielle

2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.4 Déformation absolue, déformation relative Cas d’un essai de traction (allongement): déplacement déformation absolue Dl déformation relative e= Dl/lo (Sans unité) (lo distance initiale entre A et B) 2. Concepts utilisés en mécanique Figure 19Déformations absolue et relative d’une fibre matérielle

2.5 Notion de contrainte 2.5.1 Contrainte normale A aire de la section droite, n fibre matérielles d’aire a (n.a = A). Si F est l’effort total, chaque fibre supporte un effort f =F/n, pour une aire a = A/n. Quand n tend vers l’infini, f et a tendent vers zéro 2. Concepts utilisés en mécanique F f A a Figure 20Notion de “contrainte” F f

2.5 Notion de contrainte 2.5.2 Deux remarques • Notation Lorsque des quantités deviennent petites (infiniment petites), on parle d’éléments différentiels et on fait précéder la notation de la grandeur par la lettre « d ». Ici on notera df la force infiniment petite, et da l’aire de la section droite de la fibre matérielle. • Contraintes normale et tangente Dans le cas général les efforts df ne sont pas forcément alignés sur la fibre matérielle. On distingue la composante horizontale et la composante verticale; à la première correspond la contrainte tangente (notée « t » ou « t »), à la seconde la contrainte normale (notée « n » ou « s ») 2. Concepts utilisés en mécanique Figure 21Contraintes normale et tangente

2.6 Loi de comportement d’un matériau pour une sollicitation donnée. On effectue des essais sur les matériaux en laboratoire. Pour un type d’action donnée (sollicitation en traction, compression…), on relève les déformations associées aux valeurs des efforts. La loi de comportement expérimentale associe les contraintes aux déformations relatives pour la sollicitation considérée. 2. Concepts utilisés en mécanique Figure 22Essais de flexion et de compression sur le béton

2.6 Loi de comportement d’un matériau pour une sollicitation donnée. Figure 23Machine d’essai de traction 2. Concepts utilisés en mécanique Figure 24Essai sur sol (triaxial)

Exemple de loi de comportement en traction simple d’une tige d’acier. 2.6 Loi de comportement d’un matériau pour une sollicitation donnée. s e Figure 25Loi de comportement Contrainte de traction 2. Concepts utilisés en mécanique Déformation relative

2.7 Déformées La déformée d’une poutre est définie par la géométrie de sa fibre moyenne après application des actions. Figure 26Déformée d’une poutre sous deux charges concentrées 2. Concepts utilisés en mécanique

3.1 Equilibre des solides Figure 27Pertes d’équilibre 3. Les objectifs du calcul

3.1 Equilibre des solides EnA l’équilibre est instable A 3. Les objectifs du calcul B EnB l’équilibre est stable Figure 28Equilibres stable et instable

3.2 Résistance des matériaux constitutifs 3. Les objectifs du calcul Figure 29Rupture par épuisement de la résistance d’un ou plusieurs matériaux

Instabilités de forme 3.3 Rigidité Figure 30 Déformées et instabilités de forme • Déformée 3. Les objectifs du calcul

4. Les outils pour le calcul

4.1 Vecteurs 4.1.1 Les différents vecteurs • Vecteur libre • Direction • Sens • Intensité • Vecteur glissant • Support rectiligne connu • Sens • Intensité • Vecteur lié • Support rectiligne connu • Origine • Sens • Intensité 4. Les outils pour le calcul P (Résultante d’un ensemble de forces) Moment d’un ensemble de forces /P Force

4.1 Vecteurs 4.1.2 Opérations sur les vecteurs P w u v v u Addition : le résultat est un vecteur libre si les deux vecteurs sont libres, lié s’ils sont liés. Produit scalaire : le résultat est un réel 4. Les outils pour le calcul Produit vectoriel : le résultat est un vecteur de direction perpendiculaire au plan des deux vecteurs, le module est un réel (soumis à des conventions de signe)

4.2 Intégrales définies et fonctions primitives Les fonctions utilisées dans ce cours sont presque exclusivement des polynômes de la forme : Il suffit de connaître la primitive et la dérivée du terme général : 4. Les outils pour le calcul fonction primitive dérivée

4.2 Intégrales définies et fonctions primitives • Les deux types d’intégration qui apparaissent dans les calculs sont : • les intégrales définies entre deux bornes, ici 0 et a, (on calcule en fait une aire) 4. Les outils pour le calcul • les intégrales indéfinies qui correspondent au calcul de la primitive F(x) d’une fonction f(x). La primitive est toujours définie à une constante près (ce qui justifie le qualificatif « indéfinies »).

4.3 Equation d’une droite dans un plan x,y • Les droites sont omniprésentes dans les calculs relatifs aux forces. Elles peuvent être définies par • un point A et une direction (une « pente ») • par deux points A et B La forme la plus classique de son équation est : 4. Les outils pour le calcul Que l’on retrouve aussi sous la forme :

4.4 Distance d’un point à une droite y D Mettre l’équation de la droite D sous la forme ax+by+c=0 La distance d au point P est donnée par P d ? x 4. Les outils pour le calcul

4.5 Unités • Système SI est basé sur les trois unités de référence : • Masse « m » [M] • Longueur « l » [L] • Temps « t » [T] Les grandeurs utilisées en mécanique ont une « dimension » en référence à ces trois unités de base,soit : Accélération a, unité m/s/s Force F , unité newton N Moment M, unité m.N Allongement absolu Dl, unité m Allongement relatif e, sans dimension (rapport de deux quantités de même dimension), sans unité, s’exprime en pour cent ou pour mille. Aire, A, unité m2 Contrainte (ou pression) s, unité Pa 4. Les outils pour le calcul

5.1 Densité d’un matériau La masse volumique d’un matériau mesure la quantité de matériau contenue dans un volume donné. Le volume de référence est l’unité de volume, soit le m3. La notation utilisée pour cette grandeur est r, l’unité est le kg/m3. La densité d’un matériau est mesurée par le rapport de sa masse volumique à celle de l’eau notée re, classiquement égale à 1000 kg/m3. La densité, rapport de deux quantités de même « dimension », n’a pas d’unité (pas de dimension). 5. Définitions utiles

5.2 Pression au sein d’un fluide La pression « p » au sein d’un fluide de masse volumique r, à la profondeur h, est mesurée par le même nombre que le poids d’une colonne de ce liquide ayant pour hauteur h, et pour aire de section droite, l’unité d’aire. Poids d’une colonne de liquide = volume x poids volumique = h x 1 x rx g D’où : Avec g accélération de la pesanteur (prise égale à 10 m/s/s en première approximation). La pression s’exprime en Pascal (Pa) = 1N/m2. Cette pression s’exerce perpendiculairement à toute surface située à la profondeur considérée. 5. Définitions utiles

Problème Information Réflexion Bibliographie, documentation 6. Conclusion Résolution Choix de la méthode et des outils Résultat Examen critique, ordres de grandeur

Mesure des grandeurs géométriques, puis calcul des grandeurs de référence : Pour l’équilibre : forces et moments Pour la résistance : sollicitation (efforts internes, déformations relatives comparées aux déformations relatives acceptées, contraintes comparées aux résistances) Pour la rigidité : déplacements des fibres moyennes donnant accès aux déformées (la flèche maximale étant comparée aux valeurs acceptées) 6. Conclusion

6. Conclusion

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