บทที่ 2 จำนวนจริง (The Real Numbers)

1. บทที่ 2จำนวนจริง (The Real Numbers)

2. 2.2 สมบัติความบริบูรณ์ของเซตของจำนวนจริง • (The Completeness Property of ) บทนิยาม 2.2.1ให้ A  1. สำหรับ u และ a  uทุกๆ a  Aจะเรียก u ว่าเป็น ขอบเขตบน (upper bound)ของเซต A และเรียก A ว่า เซตที่มีขอบเขตบน (bounded above) 2. สำหรับ l และ a  l ทุกๆ a  Aจะเรียก l ว่าเป็น ขอบเขตล่าง (lower bound)ของเซต A และเรียก A ว่า เซตที่มีขอบเขตล่าง (bounded below) 3. จะเรียกเซต A ว่า เซตที่มีขอบเขต (bounded)ถ้า A เป็นเซตที่มีทั้งขอบเขตบน และขอบเขตล่าง

3. ตัวอย่าง 1กำหนด A = { 1, , , ... } ให้ a  Aเห็นชัดว่า a  1 ,  a  A A เป็นเซตที่มีขอบเขตบนโดยมีจำนวนจริงที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 1 เป็นขอบเขตบนของเซต A และ a 0 ,  a  A A เป็นเซตที่มีขอบเขตล่างโดยมีจำนวนจริงที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 0 เป็นขอบเขตล่างของเซต A ดังนั้น A เป็นเซตที่มีขอบเขต 

4. บทนิยาม 2.2.2 A เป็นเซตย่อยของ 1. ถ้า A เป็นเซตที่มีขอบเขตบนจะเรียก v ว่าเป็น ขอบเขตบนน้อยสุด (leastupper bound or supremum)ของ A เมื่อ (i) v เป็นขอบเขตบนของ A (ii) ถ้า u เป็นขอบเขตบนของ A แล้ว v  u ถ้า v เป็นขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของ A เขียนแทนด้วย l.u.b. A = v หรือ sup A = v

5. ถ้า A เป็นเซตที่มีขอบเขตล่างจะเรียก w ว่าเป็น ขอบเขตล่างมากสุด • (greatest lower bound or infimum)ของ A เมื่อ • (i) w เป็นขอบเขตล่างของ A • (ii) ถ้า l เป็นขอบเขตล่างของ A แล้ว w  l • ถ้า w เป็นขอบเขตล่างที่มากที่สุดของ A เขียนแทนด้วย • g.l.b. A = w หรือ inf A = w

6. ตัวอย่าง 3ให้ A = { x  | 0  x  1 } สำหรับ x  Aแล้ว x  1, 1 เป็นขอบเขตบนของ A และถ้า r เป็นขอบเขตบนของ A จะได้ว่า 1  rดังนั้น l.u.b. A = 1 สำหรับ x  Aแล้ว x  0, 0 เป็นขอบเขตล่างของ A และถ้า w เป็นขอบเขตล่างของ A จะได้ว่า w  0ดังนั้น g.l.b. A = 0  ตัวอย่าง 4กำหนด A = [ -2, 10 ] A เป็นเซตที่มีขอบเขตและ l.u.b. A = 10, g.l.b. A = -2 

7. ตัวอย่าง 5กำหนด A = {  n = 1, 2, 3, … } จะได้ A = { , , ,...} A เป็นเซตที่มีขอบเขตและ l.u.b. A = 1, g.l.b. A =  หมายเหตุ 1. ขอบเขตบนน้อยสุดไม่จำเป็นจะต้องเป็นสมาชิกของเซตนั้น 2. ขอบเขตล่างมากสุดไม่จำเป็นจะต้องเป็นสมาชิกของเซตนั้น

8. บทตั้ง 2.2.3ให้ S โดยที่ S ถ้า u เป็นขอบเขตบนของ S, u เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ สำหรับจำนวนจริง  > 0 จะมี s Sซึ่งu –  < s การพิสูจน์ ให้ u เป็นขอบเขตบนของ S ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า สำหรับจำนวนจริง > 0จะมี s S ซึ่ง u –  < s จะแสดงว่า u เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ให้ v เป็นขอบเขตบนของ S ซึ่ง v  u สมมติ v < u ดังนั้น u – v > 0 เลือก = u – v

9. จะมี s Sซึ่ง v = u –  < sซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะขัดแย้งกับที่ v เป็นขอบเขตบนของ S ดังนั้น u < v นั่นคือ u เป็นขอบเขตบนน้อยสุด ในทางกลับกันให้จำนวนจริง  > 0และ u = l.u.b. S เนื่องจาก u –  < uแล้ว u – ไม่ใช่ขอบเขตบนของ S จึงมี s Sซึ่ง u –  < s 

10. สมบัติขอบเขตบนน้อยสุดของ สัจพจน์การมีขอบเขตบนน้อยสุด (Least Upper Bound Axiom) กำหนดให้ A เป็นเซตย่อยที่ไม่เป็นเซตว่างของเซตจำนวนจริง และ A มีขอบเขตบนแล้ว A จะมีขอบเขตบนน้อยสุดใน

11. ทฤษฎีบท 2.2.4ถ้า A เป็นเซตย่อยของ เซตจำนวนจริงที่มีขอบเขตล่างและ A ไม่เป็นเซตว่างแล้วเซต A จะมีขอบเขตล่างมากสุดใน การพิสูจน์ ให้ S = { s  | s เป็นขอบเขตล่างของ A } เนื่องจากเซต A มีขอบเขตล่างดังนั้น S  สำหรับ x  A, x  s s  Sดังนั้น x เป็นขอบเขตบนของ S S เป็นเซตมีขอบเขตบน

12. ให้ a = l.u.b. S ดังนั้น a  xทุก x  Aจึงได้ว่า a เป็นขอบเขตล่างตัวหนึ่งของเซต A และ s  a, s  S นั่นคือ a เป็นขอบเขตล่างมากสุดของ A 

13. ทฤษฎีบท 2.2.5 สมบัติอาร์คีมีเดียน (Archimedean Property) ถ้า x แล้วจะมีจำนวนเต็มบวก n ซึ่ง x < n การพิสูจน์ให้ x  สมมติ x  nสำหรับทุก n ทำให้ x เป็นขอบเขตบนของและ เซตจึงมีขอบเขตบนน้อยสุด ให้ u = l.u.b. จากบทตั้ง 2.2.3 จะมี m ซึ่ง u – 1 < m u < m + 1 แต่ m + 1 เกิดการขัดแย้งที่ u = l.u.b. นั่นคือจะมี n ซึ่ง x < n 

14. บทแทรก 2.2.7ให้ y และ z เป็นจำนวนจริงบวกจะได้ว่า (1) จะมี n ซึ่ง z < ny (2) จะมี n ซึ่ง 0 < < y (3) จะมี n ซึ่ง n – 1  z < n การพิสูจน์ให้ y, z + (1) เนื่องจาก > 0 จะมี n  ซึ่ง < n ดังนั้น z < yn (2) จาก (1) z < yn ให้ z = 1 จะได้ว่า 1 < ny ดังนั้น 0 < < y

15. (3) พิจารณาเซต { m  | z < m }จากสมบัติของอาร์คีมิเดียนจะได้ว่าเซตนี้ไม่เป็นเซตว่าง ให้ n เป็นสมาชิกที่น้อยที่สุดในเซตนี้ ดังนั้น n – 1  z < n 

16. ทฤษฎีบท 2.2.8มีจำนวนจริงบวก x ซึ่ง x2 = 2

17. สมบัติความหนาแน่นของจำนวนตรรกยะใน ทฤษฎีบท 2.2.9 The Density Theorem ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริงใดๆโดยที่ x < y แล้วจะมีจำนวนตรรกยะ r ซึ่ง x < r < y บทแทรก 2.2.10ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริงใดๆซึ่ง x < y แล้วจะมีจำนวนอตรรกยะ rซึ่ง x < r< y

18. ช่วง (Intervals) เซตย่อยของจำนวนจริงในลักษณะต่อไปนี้เรียกว่า ช่วง ถ้า a, b และ a < b (1) ช่วงเปิด ( a, b ) = { x  | a < x < b } (2) ช่วงปิด [ a, b ] = { x  | a  x  b } (3) ช่วงครึ่งเปิด (หรือครึ่งปิด) ( a, b ] = { x  | a < x  b } [ a, b ) = { x  | a  x < b } ช่วง (1) – (3) เป็นช่วงที่มีขอบเขต (bounded intervals) มีความยาวช่วงจำกัด ความยาวช่วงคือ | a – b |

19. (4) ช่วงอนันต์ ( a, ) = { x  | x > a } ( –, a ) = { x  | x < a } [ a, ) = { x  | x  a } ( –, a ] = { x  | x  a } ( –, ) = ช่วง (4) เป็นช่วงที่ไม่มีขอบเขต (unbounded intervals) หมายเหตุ (1) สัญลักษณ์ และ –ไม่สามารถบอกเป็นค่าจำกัดได้ว่ามีค่าเท่าใดส่วนจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นจำนวนจำกัด , –จึงไม่ใช่จำนวนจริง (2) สำหรับ a , ( a, a ) = และ [ a, a ] = { a }

20. 2.3 ทอพอโลยีบนเซตจำนวนจริง บทนิยาม 2.3.1ให้ x0 จะเรียกเซต ว่า ย่านของจุด x0 (neighborhood of x0)เมื่อมีจำนวนจริงบวกซึ่ง ( x0 – , x0 +  ) ย่านของจุด x0 เขียนแทนด้วย ( x0 ) บทนิยาม 2.3.2ให้เซต G เป็นเซตย่อยของจะเรียก G ว่า เซตเปิด (open set)ในถ้าแต่ละ x  Gจะมีย่านของจุด x ที่( x)  G จึงกล่าวได้ว่าเซต G เป็นเซตเปิดก็ต่อเมื่อสามารถแสดงได้ว่าทุกๆx  G จะมี x > 0 ซึ่ง ( x – x, x + x )  G

21. ทฤษฎีบท 2.3.3 (1) เป็นเซตเปิด (2) เป็นเซตเปิด การพิสูจน์ (1) ให้ x ,  nซึ่ง x < n ให้x = | n – x | ซึ่ง ( x – x, x + x )  นั่นคือเป็นเซตเปิด (2) จะแสดงว่าเป็นเซตเปิดนั่นคือ “ ถ้า xแล้วจะมี x > 0 ซึ่ง ( x – x, x + x ) ” แต่เนื่องจากข้อความดังกล่าวมีค่าความจริง เป็นจริง ดังนั้น เป็นเซตเปิด

22. ตัวอย่าง 2 (1) ( 0, 1 ) เป็นเซตเปิดใน เนื่องจากทุก x  ( 0, 1 ) x > 0 ซึ่ง ( x – x, x + x )  ( 0,1 ) (2) [ 0, 1 ] ไม่เป็นเซตเปิดใน เพราะว่ามี 0 [ 0, 1 ] ที่ไม่สามารถหา  > 0 ซึ่ง ( –, )  [ 0, 1 ] (3) { 1, 2, 3 } ไม่เป็นเซตเปิดใน

23. บทนิยาม 2.3.4ให้เซต F เป็นเซตย่อยของจะเรียก F ว่าเป็น เซตปิด (closedset)ในเมื่อ FCเป็นเซตเปิดใน จึงกล่าวได้ว่าเซต F เป็นเซตปิดก็ต่อเมื่อแต่ละ x  FCจะมี x > 0 ซึ่ง ( x – x, x + x )  F = หรือ ( x – x, x + x )  FC ทฤษฎีบท 2.3.5 (1) เป็นเซตปิด (2) เป็นเซตปิด

24. ทฤษฎีบท 2.3.6ยูเนียนของเซตเปิดใดๆ เป็นเซตเปิด การพิสูจน์ ให้ { G | Gเป็นเซตเปิดและ  , โดยที่ เป็นเซตดรรชนี } จะแสดงว่า เป็นเซตเปิด ถ้า = แล้วโดยทฤษฎีบท 2.3.3(2) จะได้ เป็นเซตเปิด ถ้า  ให้ x  จะได้ว่า x  G

25. เนื่องจาก Gเป็นเซตเปิดจะมี  > 0 ซึ่ง x  ( x – , x +  )  G นั้นคือเป็นเซตเปิด

26. ทฤษฎีบท 2.3.7อินเตอร์เซกชันอย่างจำกัดของเซตเปิดเป็นเซตเปิด การพิสูจน์ให้ G1, G2, G3, …, Gnเป็นเซตเปิดจะแสดงว่า เป็นเซตเปิด ถ้า = แล้วโดยทฤษฎีบท 2.3.3(2) จะได้ เป็นเซตเปิด ถ้า =  ให้ x  ย่อมได้ว่า x  G1 , และ x  G2, และ x  G3, …, และ x  Gn

27. x  G1 1 > 0 ซึ่ง ( x – 1, x + 1 )  G1 x  G2 2 > 0 ซึ่ง ( x – 2, x + 2 )  G2 …………………………………………. x  Gn n > 0 ซึ่ง ( x – n, x + n )  Gn ให้  = min { 1, 2, 3, …, n } ทำให้ ( x – , x + )  Gi i = 1, 2, 3, …, n ดังนั้น ( x - , x + )  นั้นคือ เป็นเซตเปิด

28. ทฤษฎีบท 2.3.8อินเตอร์เซกชันใดๆของเซตปิดเป็นเซตปิด การพิสูจน์ให้ { F | Fเป็นเซตปิด,  } จแสดงว่า เป็นเซตเปิด เนื่องจาก ( )C = ซึ่ง , เป็นเซตเปิด จากทฤษฎีบท 2.3.6 เป็นเซตเปิด นั้นคือ เป็นเซตปิด

29. บทแทรก 2.3.9ยูเนียนอย่างจำกัดของเซตปิดเป็นเซตปิด ตัวอย่าง 4กำหนด Gn = ( 1, 2 + ) , n  Gnเป็นเซตเปิด , n  พิจารณา จะได้ว่า = ( 1, 2 ] ซึ่งไม่เป็นเซตปิด

30. ตัวอย่าง 5กำหนด Fn = ( 1, 2 - ) , n  Fnเป็นเซตเปิด , n  พิจารณา จะได้ว่า = [ 0, 1 ) ซึ่งไม่เป็นเซตปิด

31. บทนิยาม 2.3.10ให้ A และ x Aจะเรียก x ว่าเป็น จุดภายใน (interiorpoint)ของ A ถ้ามีย่านของจุด x เป็นเซตย่อยของ A บทนิยาม 2.3.11ให้ A และ x จะเรียก x ว่าเป็น จุดลิมิต (cluster points or limit points) ของ A ถ้าทุกๆย่านของจุด x บรรจุสมาชิกของเซต A ที่ไม่ใช่ x นั่นคือ x เป็นจุดลิมิตของ A เมื่อแต่ละ  > 0 , (x)  ( A – { x } ) 

32. ทฤษฎีบท 2.3.12เซตย่อยของเซตของจำนวนจริงที่ไม่ใช่เซตว่าง เป็นเซตปิดก็ต่อเมื่อเซตนั้นบรรจุทุกๆจุดลิมิตของเซต การพิสูจน์ ให้ F เป็นเซตปิด F และ x เป็นจุดลิมิตของ F จะแสดงว่า x  F สมมติ x  Fดังนั้น x  FC เนื่องจาก FCเป็นเซตเปิดจึงมีย่านของจุด x, (x) ซึ่ง(x)  FC ดังนั้น (x)  F =  เกิดการขัดแย้ง ที่ว่า x เป็นจุดลิมิตของ F ดังนั้น xF

33. ในทางกลับกัน ให้ F ที่บรรจุทุกๆจุดลิมิตของ F จะแสดงว่า F เป็นเซตปิด ให้ y  FCดังนั้น y จึงไม่เป็นจุดลิมิตของ F ทำให้มีย่านของ y , (y) ซึ่ง(y)  ( F – { y } ) =  แต่ y  FC, (y)  F = (y)  FC ทำให้ FCเป็นเซตเปิด ดังนั้น F เป็นเซตปิด 

34. บทนิยาม 2.3.13 ช่วงซ้อนใน (Nested Intervals) ลำดับของช่วง In, n จะเรียกว่าเป็นช่วงซ้อนใน (nested)ดังรูป ถ้า I1 I2  I3 …  In  In+1 … I1 I3 I5 [ [ [ [ [ ] ] ] ] ] I4 I2

35. ทฤษฎีบท 2.3.14 สมบัติของช่วงซ้อนใน (Nested Intervals Property) ถ้า In = [ an, bn ] , n เป็นช่วงซ้อนในที่ Inเป็นช่วงปิดทุกๆ n แล้วจะมีจำนวนจริง x0ซึ่ง x0 Inสำหรับทุก n  และถ้า g.l.b. { bn – an In = [ an, bn ] , n  } = 0แล้ว In , n จะมีสมาชิกร่วมเพียงตัวเดียว

36. ทฤษฎีบท 2.3.15 ทฤษฎีโบลซาโน–ไวแยร์สตราสส์ (Balzano–Weierstrass Theorem) ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนจริงที่เป็นเซตอนันต์และมีขอบเขตจะต้องมีจุดลิมิต