Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

1. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása Ábele-Nagy Kristóf

2. Páros összehasonlítás mátrixokMotiváció • Hány százalékban befolyásolják döntésünket az egyes szempontok? – Nehezen megválaszolható • Helyette páros összehasonlítás: hányszor fontosabb az i szempont a j szempontnál? • Ezeket az arányokat mátrixba rendezve ún. páros összehasonlítás mátrixot kapunk

3. Páros összehasonlítás mátrixokDefiníció

4. Páros összehasonlítás mátrixokTulajdonságok • aij=1/aji(wi/wj=1/(wj/wi)) • aii=1 (wi/wi=1) • aij>0 • Konzisztens, ha: aijajk=aiki,j,k(wi/wj * wj/wk = wi/wk) • Konzisztencia nem várható el tapasztalati mátrixoktól

5. Páros összehasonlítás mátrixokSúlyvektor számolása • Sajátvektor módszer: Aw = nw, ha konzisztens, ebből Aw = maxw, maxn • LLSM: Belátható: wi az i. sor elemeinek mértani közepe, wi=1 normalizálással

6. Páros összehasonlítás mátrixokInkonzisztencia mérőszámok • Sajátvektor módszer: max , CR = ((max-n)/(n-1)) / ACIKonzisztencia: max =n, CR=0CR=0.1 önkényes küszöbérték • LLSM: a célfüggvény értékeKonzisztencia: célfüggvényérték = 0Nincs küszöbérték

7. Páros összehasonlítás mátrixok aggregálása • Elemenként • Kváziaritmetikai közép • f(x,…,x)=x • f(1/x1,…1/xt)=1/f(x1,…,xt) • f(sx1,…,sxt)=sf(x1,…,xt) • Aczél-Saaty-tétel:Ezeknek a kritériumoknak egyedül a mértani közép felel meg

8. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok

9. Súlyvektor • Sajátvektor módszer:Minimális inkonzisztenciájú kitöltésEz nem csak a súlyvektort adja meg, hanem a kitöltést is • LLSM:Csak a kitöltött tagokra szummázunkKözvetlenül a súlyvektort adja meg, nem tartozik hozzá kitöltés

10. Gráf reprezentáció • A szempontoknak felelnek meg a pontok, két pont közt pontosan akkor megy él, ha a hozzájuk tartozó szempontok össze vannak hasonlítva, azaz ha a nekik megfelelő pozíción ki van töltve a mátrix • Bozóki-Fülöp-Rónyai-tétel:A sajátvektor és az LLSM feladatnak is pontosan akkor létezik egyértelmű megoldása, ha a nem teljesen kitöltött mátrixhoz tartozó gráf összefüggő

11. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása • Ugyanúgy, mint a kitöltött esetben, de ha egy egyéni mátrixban egy elem nincs kitöltve, azt nem vesszük figyelembe • Így az aggregátum elemei különböző számú elem aggregátumaként adódnak • Az aggregátum pontosan ott lesz kitöltve, ahol legalább egy egyéni mátrix ki volt töltve

12. Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés? • Motiváció: pótoljuk-e a hiányzó információt (egyfajta közelítéssel) aggregálás előtt? • Csak a sajátvektor módszer jöhet szóba, mert kitöltésre is szükség van • Véletlenszerűen, adott hiányzó elem számmal (az egyéni mátrixban) törlünk elemeket, így állítunk elő nem teljesen kitöltött egyéni mátrixokat

13. Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés? • Ezeket a mátrixokat aggregáljuk kétféleképpen: először kitöltjük őket optimálisan, vagy rögtön aggregálunk és csak utána töltjük ki az aggregátumot (ha szükséges) • Az eljárások jóságát az eredeti kitöltött mátrixokból számolt aggregátum súlyvektorától vett távolsággal mérjük

14. Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés? • 134db 4x4-es, 154db 6x6-os, 160db 8x8-as • Minden kísérletet 20-20 (8x8-as mátrixok esetén 10-10) alkalommal futtatunk, az átlagos és a maximális eltérést, valamint legnagyobb sajátértéket nézzük • Kétféle norma (1-es és 2-es)

15. Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?Legnagyobb sajátértékek • Az inkonzisztencia az aggregált mátrixban minden esetben 1% alatt volt. • Ha először aggregálunk, akkor a kitöltetlen elemek számának függvényében emelkedő tendenciájú a legnagyobb sajátérték. Valószínű ok: egyre több információt vesztünk el a döntéshozók eredeti (remélhetőleg nem túl inkonzisztens) preferenciáiról • Ha először kitöltünk, akkor csökkenő tendencia van, ez azért van mert a kitöltés inkonzisztenciára optimalizál

16. Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?Súlyvektorok 6x6 8x8

17. Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?Súlyvektorok • Ha először kitöltjük, az jobb eredményt produkál átlagosan és maximálisan is. • Értelmezés: Ha egy elem egy mátrixban nincs kitöltve, ott az adott döntéshozó véleményét nem vesszük figyelembe közvetlenül. Az eredmények alapján jobb, ha közelítjük a véleményét az adott kérdésben és azt használjuk fel, mint ha a többiek véleményével pótoljuk csak. Azaz jobb, ha közelítve is, de mindenkinek mindenbe van beleszólása.

18. Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?Hány elemet töltsünk ki? • Nincs objektív válasz, túl sok minden befolyásolja • Önkényes küszöbérték: 0.02 (a maximális távolság 1%-a) • Lehetséges befolyásoló tényezők: • Rangsorfordulás érdekes-e? • Döntéshozók száma • Kérdés természete (objektív vs. szubjektív) • Javaslat: általában elég a kérdések felét feltenni (objektív és szubjektív mátrixok voltak vegyesen)

19. Még kevesebb elem kitöltése • Aggregálás esetén lehetséges, hogy az egyéni mátrixok gráfjai nem összefüggőek, ha az aggregátumé az • Ekkor nem tölthetjük ki előre az egyéni mátrixokat • Bár elméletileg lehetséges, nem javasolt, a túl nagy hiba miatt

20. Kevés döntéshozó által kitöltött elemek • Kitöltés nélkül aggregálunk (Előfordul, hogy nincs lehetőség kitölteni) • Kérdés: jobb-e azokat az elemeket törölni az aggregátumból és optimálisan kitöltve helyettesíteni, amiket csak kevés döntéshozó töltött ki? Ha igen, mi az a küszöbérték, aminél kevesebb döntéshozó általi kitöltésnél törlünk? • Motiváció: Ha sokan egyetértenek, de pont egy olyan tölti ki az adott elemet aki nem ért velük egyet, az torzíthatja a csoport véleményét

21. Kevés döntéshozó által kitöltött elemek • Mátrixok előkészítése a kísérlethez (csak 8x8): • Bizonyos (paraméter) számú mátrixot véletlenül kiválasztunk az adatbázisból (döntéshozók száma) • Ezeket két csoportra bontjuk aszerint, hogy a véletlenszerűen kiválasztott kritikus pozíciókon ki lesznek-e töltve, vagy sem • Kritikus pozíció: az a pozíció, amin az algoritmus szerinti kettébontásban a mátrixok nagyobbik csoportja biztosan nem lesz kitöltve, a kisebbik (éppen küszöbérték elemszámú csoportban) biztosan ki lesz töltve • A kitöltetlen elemek száma egy egyéni mátrixban adott, ha a nagyobbik csoportba tartozik, akkor a kritikus pozíciókon nem lesz kitöltve, a többi hiányzó elem pozíciója véletlen, ha a kisebbik csoportba tartozik, akkor a kritikus pozíciókon biztos ki lesz töltve, de a hiányzóelemek bárhol máshol lehetnek

22. Kevés döntéshozó által kitöltött elemek • Paraméterek: • Összes aggregálandó mátrixok száma (döntéshozók száma) • Küszöbérték (= kisebbik csoport elemszáma) • Kitöltetlen elemek száma • Kritikus pozíciók száma • Eredmények mindkét módszerrel számolva (sajátvektor és LLSM) mindkét normában • 100-100 alkalommal futtatunk minden kísérletet

23. Kevés döntéshozó által kitöltött elemek • Súlyvektorok (mindegyik sv.-al és LLSM-el is): • A teljesen kitöltött mátrixokból származó • A nem teljesen kitöltöttek aggregátumából utólagos törlés nélkül • A nem teljesen kitöltöttek aggregátumából utólag törölve a legfeljebb küszöbértéknyi döntéshozó által kitöltött elemeketMegj.: Ez azt jelenti, hogy a kritikus pozíciókon biztosan törlünk, de előfordulhat, hogy a véletlen folytán más pozíciókon is • Összehasonlítás: melyik súlyvektor lesz közelebb a teljesen kitöltött mátrixokból számolthoz?

24. Kevés döntéshozó által kitöltött elemek • 4 paraméter, mindegyik mentén egyesével léptetve rengeteg adat • Ezért az összes mátrixok száma a kísérletben 7,15,50, az összes hiányzó elemek száma 6,8,12 • A kritikus pozíciók száma és a küszöbérték (amit meg akarunk határozni) egyesével • Az eredmények teljesen egybehangzóak, ezért itt csak egy példán szemléltetünk

25. Kevés döntéshozó által kitöltött elemek 15 mátrix aggregálásából sv. módszerrel számolt súlyvektorok távolsága a kitöltöttekből számolttól, 12 kitöltetlen elem és 3 kritikus pozíció esetén a küszöbérték függvényében

26. Kevés döntéshozó által kitöltött elemek • 1-es küszöbértéknél hatalmas kiugrás a távolságban, ez minden paraméterérték mellett igaz marad. Így a következő megállapítást tesszük: • Ha egy elemet csak egyetlen döntéshozó töltött ki, az mindenképpen érdemes törölni

27. Kevés döntéshozó által kitöltött elemek • A küszöbértékek megállapítása (ezen megközelítésben) önkényesen történik: ahol az átlagos távolság törlés esetén még „jóval kisebb” a törlés nélkülihez képest • Küszöbértékek: 7 döntéshozó esetén 1, 15 esetén 3, 50 esetén 5 • Ezek önkényes megállapítások! További kutatási lehetőség konkrét szisztéma szerint megállapítani a küszöbértéket (és más adatbázisokon is)

28. Kevés döntéshozó által kitöltött elemek 50 döntéshozó, 12 kitöltetlen pozíció, 2 kritikus hely Pontosan hol legyen a küszöbérték? 14-ig még mindig kisebb az átlag

29. Kevés döntéshozó által kitöltött elemekÖsszefoglalás • Az 1 döntéshozó által kitöltött elemeket mindenképp érdemes törölni • A küszöbérték gyakorlatilag független • Az összes kitöltetlen elemek számától • A kritikus pozíciók számától • A használt módszertől (sajátvektor vagy LLSM) • A küszöbérték és a mátrixok száma közt pozitív kapcsolat mutatkozik

30. Köszönöm a figyelmet!