應用數學報告

1. 應用數學報告 Topic:Something Shocking about Highway Traffic 系級:通訊3A 學號:B956c0036 姓名:胡恆鳴

2. Introduction Capacities of Highway Second category: Theoretical and mathematical First category: Involve the acquisition Of engineering data Fundamental Diagram of Traffic flow Fluid Flow Model Traffic Flow Kinematic Waves and Characteristic Curves 不要急，仔細聽下去吧 大哥,他要報告什麼? Shock Waves in Highway Traffic Applications 嗯，大哥是對的! Impressions

3. 【一個常常發生在你身邊你卻沒注意到的交通物理現象】【一個常常發生在你身邊你卻沒注意到的交通物理現象】 在一無所知的情況下，你或許開始質疑它的存在性，也許你認為這是不是又是一個「假科學消息」。 在車水馬龍的大小車道，大家過著如同往常般普通生活，殊不知Shock waves它就常常發生你我身旁。 我們由生活化例子來開始說起: 當你開著車距離紅綠燈還有兩百碼，當紅綠燈由綠轉紅時，前面車輛開始紛紛停下來，在這條馬路上車子的數量開始增加，密度開始變大，無形中產生了Shock wave。 當車子煞車時，煞車燈跟著亮起來，紅色煞車燈的Shock waves開始向車行駛的反方向延展，無形中Shock waves 又在車流中產生。 當紅綠燈由紅轉為綠時，車輛陸續開始行駛，無形中又有波產生了。 車流裡有 Shock Waves的現象存在，所以有些時候會發現雖然沒有任何事故，卻突然會塞車塞好一段距離，然後車速又會恢復正常。Shock Waves 是一種類似『波』傳播的一種現象，只是一般波的出現可能可以很明顯的看出，但是交通裡的 Shock Wave 是一種整體現象，不能在局部的地方看出來。

4. 【Capacities of Highway】 一般來說，可分為兩種論述來探討: 論述一:利用工程資料模擬到實際道路上。 論述二:利用理論和數學來觀察和計算現實生活道路的實際容納數量。 前幾年Lighthill and Whithman(1955)發表了長篇研究報告: 他們運用理論來處理數學來觀察和計算現實生活道路的實際容納數量『Highway traffic flow』 ＝＞fluid flow analogy models的運用將用來探討我們的主題 ＝＞簡言之， Lighthill and Whithman 利用空氣動力學和流體動力學的理論，來分析比擬這類似的道路車流。

5. 基本的觀念來解釋: 在能量守衡的條件下: (以時間觀點):假設一條延伸的單一道路長為 dx，在通過左半邊線(plane 1)時，每小時有Q輛車；求得在通過右半邊的邊線時(plane 2)時，每小時通過Q+( ) dx。其中，Q稱為(flux rate)流通率，會隨著位置x和時間t做變化。 (以密度觀點):用密度觀點來觀察道路車流量，假設每英哩有K輛車通過在這條道路之內。K (concentration)也是會 隨著地點x和時間t來做變化。 在任何時間下，通過這條長 dx道路車輛數將是 Kdx，而車流率我們可以寫為 。 由能量守衡定理，我們可知: 我們又可以把式子寫成:」 U( flow velocity)也是和位置x和時間t有相關性，我們又發現Q、K和U其實可以寫成下列關係等式: ＝＞「the equation of continuous 麥兄，我都在忙著整理和製作手上的這份應數報告。 歐弟，當選美國總統後，你都在忙些什麼事呀?

6. K=0 =>車輛可以行駛到最大速度 Umax。 K= K＊(bumper to bumper)=>行駛速度為0。 【Fundamental Diagram of Traffic flow 】 ＝＞ ＝＞ U*是最大速度、K＊交通堵塞程度。 K=0(沒有任何車在道路上)=> Q=0。 K= K＊=>整條道路擁擠塞車，車輛停頓，車速為0。 Qm=U*K*/4在Km=K＊/2時發生。 Qm我們把它稱為the capacity of the Highway(道路容納度)。而K和Q在22.2(b)上所呈現的關係拋物線，稱之為”fundamental diagram of traffic flow”。

7. 【Kinematic Waves and Characteristic Curves】 其中 是在延展道路上運動波的速度。 微分22.5式後可以寫成: 由於 是負量(由圖22.3(a)中我們可以發現其Velocity-concentration curve 斜率是負的)我們可以知道Wave velocity C永遠小於Vehicle Velocity U，即是運動波永遠產生在交通車流後面。

8. 假設P點在flow-concentration curve上，從原點到P點的矢徑代表車輛行駛的速度。同樣地，在圖形22.3上通過P 點的切線代表著波速度。由圖22.3我們可以得到些訊息: ＝＞當K<Km (light traffic)，斜率為正=>波速度為正=>波和traffic flow同方向。 ＝＞當K>Km (Heavy traffic)，斜率為負=>波速度為負=>波和traffic flow反方向。 ＝＞當K=Km( Heavy traffic)，波是穩定狀態。

10. 稱之為”nonlinear first-order partial differential equation” 其中，K是(x-ct)的一個函式。 這個quantity 代表一個 so-called kinematic wave用速度C相應一個特別值concentration K。如果我們把波形畫在X、t座標上，會產一條直線稱之為”Characteristic”。每條線斜率代表波速。總而言之nonlinear first-order partial differential equation產生了一個家族，使其和K和Characteristic產生關聯性。 【Traffic wave 特殊性】 Traffic waves的數學分析式中＝＞沒有任何和力學有關聯的式子 。 潮汐波、海洋波＝＞皆有運用到力學 。 事實上，traffic problem並沒有辦法用牛頓定律可以解的。 這是 traffic waves和其他波形不同的地方。

11. 【Shock waves in High Traffic】 擁擠的道路:我們定義在圖上為Point 2，其在通過Point 2的切線斜率(Q , K)是代表波速C2，這條直線在22.4(b)上的上半部，其每條直線皆平行於Line 2。每條線代表了”kinematic wave corresponding to the traffic concentration K2”。這些總稱為”so-called characteristic ” 少許車流量的道路:我們定義在圖上為Point 1，其在通過Point 1的切線斜率(Q , K)是代表波速C1，這條直線在22.4(b)上下半部，其每條直線皆平行於Line 1。 當C1和C2兩條線相遇，邊會產生一條交界處的直線，這就是Shock wave。 其速度為:

12. EX:

13. 【Application】 交通的通暢與否，Shock wave的分析和應用，佔了絕對重要角色。 ＝＞紅綠燈秒數設計 ＝＞道路的規劃 ＝＞閘道管制 ..ETC 藉由科學的力量，把這種觀念和分析模式應用在生活上，除了讓駕駛能夠更放心行駛在道路上，更能為交通的後續效應有更好的影響，至於會觸發什麼更好的影響，這將是新的挑戰及研究。

14. 【Impression】 從開始讀Paper 對主題感到陌生 無助的看著Paper 用電子辭典查單字 微積分、工數課本和網路找資料 漸漸產生興趣並想研究它 開始製作報告 問題請教曾老師 不分晝夜花了約一個月的時間 完成 修改 完成 修改 完成… 最後發表 雖然很具挑戰性 但是 從無到有 所經歷的過程、學習到的經驗和成就感 --無價 報告還有要改進的地方 但是我盡我最大的努力呈現給大家 希望能夠讓大家可以學到一些新知識 希望大家會喜歡 誠摯的感謝 曾老師的問題指導和啟發 台下捧場的各位專心聆聽 我可愛的電腦--沒有給我秀逗 我可愛的機車--陪我上山下海查資料 無私奉獻照片者 監獄兔 歐巴馬先生和麥侃先生 摩西先知 麥克阿瑟先生 彎彎圖畫 胡恆鳴同學 參考網站和資料 微積分課本 工數課本 物理課本 維基百科 www.ece.osu.edu/~coifman/shock www.chicagotribune.com www.trafficforum.ethz.ch www. trafficwaves.org/tanim.html myweb.ncku.edu.tw/~shouren/Traffic%20Flow%20Characteristics.pdf http://doctor_c.caece.net/mute/traffic/0shockwave.html 因為礙於時間和版面的不足 還有許多默默奉獻的人事物 沒有把你們PO上來 但還是謝謝你們的熱情資料提供囉 The report will never be end Because The Legend will be happened again and again! Report by Hyman Hu When I have been done my best to accomplish my report .Then , I will dare to whisper, "I have not lived in vain.'"