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網路模型 Network Models

Chapter 4. 網路模型 Network Models. 4.5 最短路徑模型 (p. 264) The Shortest Path Model. 給定一個網路，目標為從起始節點 ( start node) 行經可能節點， 以最短距離、最少時間或最低成本，最後到達終止節點 ( terminal node) 問題定義 (p.265) 共有 n 個節點 , 由節點 1 開始到終止節點 n. 連接節點 i 與 j 的弧 j 為雙向通行 (Bi-directional) 的，且其距離 d ij 為非負的

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  1. Chapter 4 網路模型NetworkModels

  2. 4.5 最短路徑模型 (p. 264)The Shortest Path Model • 給定一個網路，目標為從起始節點(start node)行經可能節點， 以最短距離、最少時間或最低成本，最後到達終止節點(terminal node) • 問題定義 (p.265) • 共有 n個節點, 由節點 1開始到終止節點 n. • 連接節點i 與 j 的弧j為雙向通行(Bi-directional)的，且其距離 dij 為非負的 • 找出連結節點 1 到節點 n，總距離路徑為最短

  3. FAIRWAY 貨運公司 (p. 265) 找出由Seattle 到 El Paso 距離最短的路徑 注意： 若問題中有雙向的弧時，於兩個節點中，製造兩個反向的弧

  4. Seattle Butte 1 2 599 497 691 Boise 180 420 3 4 Cheyenne 345 432 5 Portland 440 6 Salt Lake City 893 Bakersfield Las Vegas 432 621 554 7 280 8 577 Albuquerque 290 9 10 116 Tucson 500 11 Phoenix 314 268 12 403 El Paso

  5. FAIRWAY 貨運公司 (p. 266) 線性規劃模式 決策變數 • 目標 = Minimize S dijXij

  6. 限制式: Butte Seattle 2 599 1 497 Boise 180 3 4 345 Salt Lake City 432 Portland 6 • [卡車駛離 Seattle (the start node)的道路數] = 1X12 + X13 + X14 = 1 [卡車駛進El Paso (terminal node)] 的道路數] = 1X9,12 + X10,12 + X11,12 = 1 • [卡車駛進某城市的道路數] • = [卡車駛離某城市的道路數]. 例如, 在 Boise (node 4)城市: • X14 + X34 = X46. Non-negativity constraints

  7. FAIRWAY 貨運公司– 使用模板(p.267)

  8. FAIRWAY 貨運公司– 網路模型 The Dijkstra’s algorithm: • 找出由“START” 節點到所連接節點之最短距離 • 一旦第m個最接近之節點決定(覆蓋)後，則第(m+1)個節點可以容易地被決定(覆蓋) • 重複此演算法則直到網路上所有節點被決定為止

  9. Dijkstra’s 演算法說明 (見光碟Supplement CD 5).

  10. 420 + = SLC. 1119 SLC 599 BUTTE 599 BUT + = 691 1290 CHY. 345 + SLC SLC. = SLC 497 497 BOISE. BOI BOI + = 432 612 BOI BOI 180 POR. 180 POR + = 893 SAC 1073 Baksersfield 842 SEAT. …直到所有節點被覆蓋為止

  11. Dijkstra’s algorithm - continued • 當所有節點被覆蓋後，最短路線將可以被確認. • 以後退方式(Backtracking)由終點節點追蹤到起點節點即可找到此最短路線.

  12. 4.6 最大流量問題The Maximal Flow Problem • 問題定義 (p.268) • 有一個來源節點(source node) (labeled 1) • 有一個終止節點(terminal source node) (labeled n) • 有n - 2個中繼節點 (labeled 2, 3,…,n-1), 其中 流入量=流出量 • 節點i至節點j 之最大流量限制為Cij.

  13. 最大流量問題 目標：在不超過最大弧容量限制之下 ，使得由節點1到節點n的總流量最大

  14. UNITED 化學公司(p. 269) • UNITED 化學公司生產農藥與草皮保養品 • 有毒原料需要儲存在儲油槽中 • 此公司有運送管線系統，將化學藥品運送至不同生產區 • 緊急計劃中，安全部門必須在最短時間內，將儲油槽中之化學原料經由管線導入安全容器中 (見圖4.24) .

  15. UNITED 化學公司(p. 269) • 計劃昰，決定： • 應開啟或關閉哪些活門 • 由儲存槽至安全容器之總運送時間為何?

  16. UNITED 化學公司網路表示圖形

  17. 由節點2 到 4節點之最大弧容量為8 4 8 7 2 3 6 • Data 1 10 3 1 6 7 2 4 10 2 化學儲存槽 安全容器 1 4 3 2 12 8 5 由節點6 到 3節點之最大弧容量為 4

  18. UNITED 化學公司– 線性規劃模式 • 決策變數 Xij – 由節點 i 至 節點 j 之流量 • 目標函數 –Maximize Max X12 + X13 (使得 node 1之淨流出量為最大)

  19. 2 UNITED 化學公司 – 線性規劃模式 • 限制式 (所有中繼節點intermediate node) Flow out from the node - flow into the node = 0 Node 2: X23 +X24 + X26 - X12 - X32 = 0 Node 3: X32 +X35 + X36 - X13 - X23 - X63 = 0 Node 4: X46 + X47 - X24 - X64 = 0 Node 5: X56 + X57 - X35 - X65 = 0 Node 6: X63 +X64 +X65 + X67 - X26 - X36 - X46 -X56 = 0

  20. UNITED 化學公司 – 線性規劃模式 • 限制式– continued • 流量不能超過弧容量上限 X12 £ 10; X13 £ 10; X23 £ 1; X24 £ 8; X26 £ 6; X32 £ 1; X35 £ 15; X36 £ 4; X46 £ 3; X47 £ 7; X56 £ 2; X57 £ 8; X63 £ 4; X64 £ 3; X65 £ 2; X67 £ 2; • 流量為非負數 All Xij ≥ 0

  21. 4 7 2 7 9 2 1 6 7 2 8 8 3 8 5 UNITED CHEMICAL COMPANY – 使用模板(p.271)

  22. 切割(cuts)在最大網路中扮演之角色 (最大流量/最小切割定理) (p.273) 最大流量值= 最小切割產能總數 4 此切割最大流量17 7 7 3 2 此切割之最大流量為17 此切割之最大流量為23 6 7 3 2 7 1 6 2 2 8 10 2 8 3 5

  23. 4.7 推銷員網路The Traveling Salesman Problem • 問題定義 (p. 274) • 有m個節點. • 由節點i至節點j弧的單位成本為Cij • 目標：找出一個循環(cycle)使得通過所有節點之總距離為最短，且不得通過同一個節點兩次

  24. 推銷員問題The Traveling Salesman Problem • 重要性 (Importance): • 許多排程(scheduling application)問題可以用推銷員問題求解 • 範例：: • 郵差送信路線. • 通勤巴士路線 (School bus routing). • 軍隊炸彈佈置 (Military bombing sorties)

  25. 推銷員問題The Traveling Salesman Problem • 複雜度 (Complexity) • 推銷員問題以數學方法敘述很麻煩。有20城市之問題，就需要 500,000個線性限制式

  26. 聯邦緊急事件管理協會 (p. 274)FEDERAL EMERGENCY MANAGEMENT AGENCY • FEMA總部辦公室為因應地震問題,必須到其他四個地區辦公室巡視 • Data辦公室間之往來時間 (minutes)

  27. FEMA推銷員問題網路表示法　(p.275)

  28. 40 2 3 25 35 50 40 50 1 4 65 45 30 80 Home

  29. FEMA -推銷員問題 • 求解方法 • 窮舉法：找出所有可能的循環(all possible cycles) • M個節點之問題，可能有(m-1)!循環. • 對稱之問題，實際只有(m-1)!/2循環 • 僅適用於小問題 • 10個節點之問題有181440個循環 • 15個節點之問題有840兆個循環 • 以指派問題( Assignment Problem)與分枝界限法(Branch & Bound)之組合，可以有效解決20 個(m=20)節點以內之推銷員問題

  30. FEMA問題 –所有計算 可能循環 循環　　　總成本 1. H-O1-O2-O3-O4-H 210 2. H-O1-O2-O4-O3-H 195 3. H-O1-O3-O2-O3-H 240 4. H-O1-O3-O4-O2-H 200 5. H-O1-O4-O2-O3-H 225 6. H-O1-O4-O3-O2-H 200 7. H-O2-O3-O1-O4-H 265 8. H-O2-O1-O3-O4-H 235 9. H-O2-O4-O1-O3-H 250 10. H-O2-O1-O4-O3-H 220 11. H-O3-O1-O2-O4-H 260 12. H-O3-O1-O2-O4-H 260 Minimum • 對稱之問題，實際只有(m-1)!/2循環 • FEMA有問題(5-1)! /2 =12個可能循環

  31. FEMA – 最佳解 40 2 3 25 35 50 40 1 50 4 65 45 30 80 Home

  32. FEMA – 以指派問題模式求解(p.277) • 將 “From”節點視為 “Workers”節點. • 將 “To”節點視為 “Jobs”節點. • 將 “Workers” 以最低成本指派給 “Jobs”

  33. FEMA –以指派問題模式求解 • Data

  34. FEMA – 指派模型的解 O3 – O4 – O3 Sub-tour(子路徑） i.e. X34+X43=2 40 2 3 25 35 50 40 1 50 4 45 65 30 80 O1 – O2 – H – O1 Sub-tour（子路徑） i.e. X12+X2H+XH1=3 Home

  35. FEMA –指派模型的解 • 為避免子途徑(sub-tour)之發生，我們必須加入限制式使得子循環(Cycle)無法產生 • 使得問題變的很大 O1 – O2 – H – O1 Sub-tour（子路徑） i.e. X12+X2H+XH1≤2 O1 – O2 – H – O1 Sub-tour（子途徑） i.e. X12+X2H+XH1=3 加入3節點(3-node)子途徑限制式 加入2節點(2-node)子途徑限制式 O3 – O4 – O3 Sub-tour(子路徑） i.e. X34+X43≤1 O3 – O4 – O3 Sub-tour(子路徑） i.e. X34+X43=2

  36. 4.8　最小展開樹The Minimal Spanning Tree • 最小展開樹之問題(Minimal Spanning Tree)昰一種網路架構，此網路中之所有節點必須互相連結，並且無循環(loop)產生 • 一個展開樹(Spanning Tree)昰以(n-1)個弧來連接n個節點的網路 • 一個網路可以有非常多個展開樹，但只有一個最小展開樹(Minimal Spanning Tree)

  37. 4.8 最小展開樹 • 問題定義 (p. 280) • 有n個節點. • 由節點i至節點j弧的距離為dij • 目標：找出一組弧(Arcs)，能以最短距離將所有節點連接起來成一個展開樹

  38. 大都會捷運問題THE METROPOLITAN TRANSIT DISTRICT

  39. 大都會捷運問題THE METROPOLITAN TRANSIT DISTRICT • 溫哥華城市計劃興建一捷運系統來連接八個住宅與商業中心 • 捷運公司必須以最少成本將所有地點連接起來

  40. 大都會捷運問題– 網路示意圖 • 網路示意圖包含: • 規劃可行路線 • 每條路線最低建築成本

  41. 55 North Side University 50 3 5 30 Business District 39 38 4 33 34 West Side 45 32 1 8 28 43 35 2 6 East Side City Center Shopping Center 41 40 37 44 36 7 South Side

  42. 55 North Side University SPANNING TREE NETWORK PRESENTATION 50 3 5 30 Business District 39 38 4 33 34 West Side 45 32 1 8 28 43 35 2 6 East Side City Center Shopping Center 41 40 37 44 36 7 South Side

  43. THE METROPOLITAN TRANSIT DISTRICT • 求解 – 網路求解(見光碟中補充講義Supplement CD 5) • 網路算則採用貪婪法”greedy procedure”. • The algorithm – 第一種形式(version 1) • 選取最短距離之弧，放入已選取弧之集合(a set of selected arcs) • 每次反覆中，將下一個最短距離之弧加入已選取弧之集合，但避免產生Cycle • 重複上列敘述，直到所有節點都被連接起來為止

  44. THE METROPOLITAN TRANSIT DISTRICT • The algorithm – 第二種形式(version 2) • 選取最短距離之弧，放入已連結弧之集合(a set of connected arcs) • 每次反覆中，自未選取之弧集合(unselected arcs)中，加入與已連結集合有連結之最短弧，但要避免產生Cycle • 重複上列敘述，直到所有節點都被連接起來為止 • 請見第二種形式之展示

  45. OPTIMAL SOLUTION NETWORK REPRESENTATION 55 University 50 3 5 30 30 North Side Business District Loop Loop 39 Loop Loop 38 33 33 Loop 4 Loop 34 Loop Loop Loop Loop Loop West Side 45 Loop 32 32 Loop 1 Loop Loop Loop 8 28 28 43 35 2 6 East Side City Center Shopping Center 41 40 37 44 36 Total Cost = $236 million 7 South Side

  46. Loop OPTIMAL SOLUTION NETWORK REPRESENTATION 55 University 50 3 5 30 North Side Business District 39 38 33 4 34 West Side 45 32 1 8 28 43 35 2 6 East Side City Center Shopping Center 41 40 37 44 36 Total Cost = $236 million 7 South Side

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