Tutorial Nyquist – Matlab FONTE: engin.umich/group/ctm/freq/nyq.html

1. Tutorial Nyquist – MatlabFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/nyq.html • Revisão: O diagrama de Nyquist é basicamente um gráfico de G(jw)H(jw) – função de transferência de malha aberta. Para observar o enlace do ponto –1+j0, tanto as freqüências positivas (representadas em vermelho) quanto as negativas (representadas em verde) (w de 0 a ) são consideradas.

2. Tutorial Nyquist – MatlabFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/nyq.html • No entanto, se houver pólos e/ou zeros de malha aberta no eixo jw, G(s) não será definida nestes pontos, e o contorno de Nyquist não deverá passar por estes pontos. • O tutorial menciona que o comando nyquist do Matlab não leva em consideração pólos e zeros no eixo jw e que, portanto, nestes casos, produz um diagrama de Nyquist errado. Para contornar este problema, os autores desenvolveram a função nyquist1.m. Além desta função, há a alternativa de se utilizar a função lnyquist1.m, também desenvolvida pelos autores. Neste caso, o diagrama de Nyquist é traçado na escala logarítmica, facilitando a vizualização do comportamento em torno do ponto –1.

3. O critério de CauchyFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/nyq.html • O critério de Cauchy afirma que, ao se realizar o mapeamento de um contorno fechado no plano complexo s para o plano complexo G(s)H(s), o número de vezes que o contorno em G(s)H(s) envolve a origem é igual ao número de zeros de G(s)H(s) envolvidos pelo contorno de Nyquist do plano-s. Considera-se um envolvimento positivo se este está no mesmo sentido do contorno fechado original, e negativo se está no sentido contrário. • Em sistemas de controle, estamos mais interessados nos zeros de 1+G(s)H(s) (zeros da equação característica = pólos de malha fechada do sistema em estudo). • Assim, se 1+G(s)H(s) envolve a origem, G(s)H(s) irá envolver o ponto –1. Como estamos interessados na estabilidade em malha fechada, queremos saber se há algum pólo de malha fechada (zero de 1+G(s)H(s) ) no semi-plano direito do plano s.

4. Diagramas de Nyquist – exemplos Matlab • Exemplo 1: G(s)H(s) = 0.5/(s – 0.5). nyquist(0.5,[1 –0.5]) • Exemplo 2: G(s)H(s) = (s + 2)/s2. nyquist([1 2],[1 0 0])  errado!

5. Diagramas de Nyquist – exemplos Matlab Observação importante: estas funções implemen-tadas pelos autores funcionam bem para os exemplos dados. Ao utilizá-las em outros exemplos, não obtive sempre resultados satisfatórios. Por isso, sempre faça uma avaliação de módulo e fase para diferentes valores de w e compare com o gráfico obtido no Matlab, para saber se este último faz sentido. • Exemplo 2: nyquist1([1 2],[1 0 0]) • Exemplo 2: lnyquist1([1 2],[1 0 0])

6. Estabilidade de malha fechada • Considere um sistema com realimentação negativa: • Lembre-se, do Teorema de Cauchy, que o número N de vezes que o diagrama de Nyquist de G(s)H(s) envolve o ponto –1+j0 é igual ao número Z de zeros de 1+G(s)H(s) envolvido pelo contorno de Nyquist menos o número P de pólos de 1+G(s)H(s) envolvido pelo mesmo contorno; ou seja: N = Z – P. • zeros de 1+G(s)H(s): pólos da função de transferência de malha fechada! • pólos de 1+G(s)H(s): pólos da função de transferência de malha aberta!

7. Estabilidade de malha fechada • A partir destes resultados, o critério de Nyquist determina que: • P = o número de pólos de malha aberta (instáveis – no SPD do plano-s) de G(s)H(s) • N = o número de vezes que o diagrama de Nyquist de G(s)H(s) envolve o ponto –1+j0 • envolvimentos no sentido horário contam como envolvimentos positivos; • envolvimentos no sentido anti-horário contam como envolvimentos negativos; • Z = o número de malha fechada no SPD. N = Z – P Z = P + N • Veja http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/movie2.html para uma animação ilustrativa.

8. Estabilidade de malha fechada • Assim, sabendo-se o número de pólos de malha aberta no SPD do plano-s (P) e o número de envolvimentos do ponto –1 pelo diagrama de Nyquist (N), pode-se determinar a estabilidade de malha fechada do sistema. • Se Z = P + N é um número positivo não-nulo, o sistema em malha fechada é instável. • Pode-se também utilizar o diagrama de Nyquist para determinar o intervalo de ganhos para que o sistema em malha fechada seja estável.

9. Margem para a estabilidade de malha fechada • Considere G(s) = (s2 + 10s + 24) / (s2 – 8s + 15). • O sistema possui um ganho K que pode ser variado de forma a modificar a resposta de malha fechada do sistema. No entanto, o sistema só será estável para um certo intervalo de valores de K. Como determinar este intervalo de valores de ganho para os quais o sistema em malha fechada é estável? • Primeiro passo: determinar o número (P) de pólos de malha aberta no SPD  raízes de s2 – 8s + 15 : roots([1 -8 15]) s1 = 5, s2 = 3. • Portanto, para que o sistema seja estável, é necessário que haja dois envolvimentos anti-horários de –1 pelo diagrama de Nyquist (N = – 2)  Z = P + N = 2 – 2 = 0. • Se o número de envolvimentos for menor do que 2 ou se não forem no sentido anti-horário, o sistema será instável.

10. Margem para a estabilidade de malha fechada • Há 2 envolvimentos anti-horários de –1. Portanto, o sistema é estável para K = 1. nyquist([ 1 10 24], [ 1 -8 15]) • E se o ganho for aumentado para K = 20? nyquist(20*[ 1 10 24], [ 1 -8 15]) • O diagrama expandiu. Assim, sabemos que, aumentando o valor de K, o sistema permanecerá estável (o diagrama irá se expandir ainda mais). • E se diminuir o ganho K?

11. Margem para a estabilidade de malha fechada • K = 0.5  nyquist(0.5*[ 1 10 24], [ 1 -8 15]) • O sistema agora é instável (N =0  Z = P + N = 2  há dois pólos no SPD). • Para determinar estes pólos de malha fechada: [num,den]=cloop(0.5*[ 1 10 24],[ 1 -8 15]); polos=roots(den);  polos = 1.0000+4.1231i;1.0000-4.1231i ousistema=feedback(tf(0.5*[ 1 10 24],[ 1 -8 15]),1) Transfer function: 0.5 s^2 + 5 s + 12 ------------------ 1.5 s^2 - 3 s + 27 • Pode-se verificar, por tentativa e erro, que o sistema ficará instável para ganhos menores do que 0.8. Veja: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/exa1.sol.html

12. Margem de Ganho • Definimos, anteriormente, a margem de ganho como a variação do ganho de malha aberta necessária, na freqüência relativa à fase de –180o , para levar o sistema a 0dB (e, portanto, para tornar o sistema instável). • Considere o sistema com função de malha aberta: • Pólos de G(s)H(s): todos no SPE do plano-s (determinação direta, aplicação do critério de Routh-Hurwits etc)  P = 0. • Assim, se não houver nenhum envolvimento do ponto –1 pelo diagrama de Nyquist de G(s)H(s) (N = 0), não haverá nenhum zero da equação característica (pólo de malha fechada) no SPD do plano-s (Z = N – P = 0). • Nestas condições, de quanto pode ser aumentado o ganho K sem que o sistema fique instável?

13. Margem de Ganho • O sistema em malha aberta representado por este diagrama ficará instável em malha fechada se o ganho for aumentado além de um determinado valor limite. • O intervalo do eixo real negativo entre –1/a (definido como o ponto em que ocorre a fase de –180o, isto é, em que o diagrama cruza o eixo real negativo) e –1 representa o aumento no ganho que pode ser tolerado antes da instabilidade em malha fechada. • Assim, se o ganho for igual a a, o diagrama passará pelo ponto –1.

14. Margem de Ganho • Portanto, neste caso, a margem de ganho = a unidades. Em dB: MG = 20log10(a). • Retornando ao exemplo anterior: nyquist (50, [1 9 30 40 ]) • Portanto, para determinar a margem de ganho, é necessário determinar o ponto em que a fase é 180o. • Observe que, quando a fase for de  180o, a parte imaginária de G(jw)H(jw) é nula (só há parte real). Como o numerado já é real, examinemos o denominador.

15. Margem de Ganho • Ao substituir s = jw, os únicos termos no denominador que vão possuir parte imaginária serão os de potências ímpares de s. • Assim, para que G(jw)H(jw) seja real, deve-se ter: – jw3 + 30jw = 0 •  w = 0 ou w = 30. • Basta agora encontrar o valor de G(jw)H(jw) nesta freqüência. • No Matlab: polyval(50,j*w)/polyval([1 9 30 40],j*w) w=0; polyval(50,j*w)/polyval([1 9 30 40],j*w) ans = 1.2500 (Não é o ponto que estamos procurando. Por que?) w=sqrt(30); polyval(50,j*w)/polyval([1 9 30 40],j*w) ans = -0.2174 (Este é o ponto que estamos procurando). (Observe a parte imaginária nula.)

16. Margem de Ganho • Como podemos, a partir deste valor, determinar a MG do sistema? • Definimos anteriormente que o ganho no ponto de 180o de fase era –1/a : • – 1/a = – 0,2174  a = 4,6 •  em dB: MG = 20log10(a) = 20log10(4,6) = 13,26 • Vamos testar este valor de ganho: a = 4.6; nyquist(a*50,[1 9 30 40]) • Veja: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/exa2.sol.html

17. Margem de Fase • Definimos anteriormente a margem de fase (MF) como a variação da fase necessária, na freqüência relativa à magnitude unitária (ou 0dB), para levar o sistema a –180o (e, portanto, para tornar o sistema instável). • A margem de fase também mede a tolerância do sistema a atrasos no tempo. Se houver um atraso maior do que 180/wc_fase na malha (onde wc_fase é a freqüência em que a fase do sistema é –180o), o sistema ficará instável em malha fechada. • O atraso no tempo pode ser representado como um bloco extra na malha direta do sistema, que acrescenta fase ao sistema mas não tem efeito no ganho. Ou seja, o atraso no tempo pode ser representado como um bloco com magnitude 1 e fase tatraso (em rd/s) .

18. Margem de Fase • Sabemos que, se o diagrama de Nyquist de malha aberta do sistema envolve o ponto –1 + j0, o sistema em malha fechada será instável. • Se o diagrama for deslocado de theta graus, ele irá passar pelo ponto –1 no eixo real negativo, tornando o sistema marginalmente estável em malha fechada. • Portanto, o ângulo necessário para tornar o sistema marginalmente estável em malha fechada é chamado de margem de fase (medida em graus). • Para determinar o ponto correspondente à MF, traça-se um círculo centrado na origem com raio unitário, determina-se o ponto no diagrama de Nyquist com magnitude 1 (ganho de 0dB) e mede-se o deslocamento de fase necessário para que este ponto esteja em um ângulo de 180o.

19. Exercícios • Para testar o seu entendimento. 1) Qual G(s)H(s) implica em sistemas de malha fechada estáveis? Justifique sua resposta.

20. Exercícios 2) Para cada um dos cinco pontos indicados nos diagramas de Bode, determine os pontos correspondentes no diagrama de Nyquist? Explique sua resposta.

21. Exercícios 3) Qual diagrama de Nyquist possui a maior margem de ganho? Explique a sua resposta.