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台車型倒立振子のロバスト制御

台車型倒立振子のロバスト制御. Modeling (Real Physical System → Reduced Math. Model) Analysis of Plant LQ Control Analysis of LQ Controllers. 進捗レポート 藤田研究室　 2010 年 7 月 22 日. Real Physical System. Real Physical System. Fig. 1 Cart-pendulum. 2. Ideal Physical Model. Ideal Physical Model.

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台車型倒立振子のロバスト制御

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Presentation Transcript

  1. 台車型倒立振子のロバスト制御 • Modeling (Real Physical System → Reduced Math.Model)Analysis of PlantLQ ControlAnalysis of LQ Controllers 進捗レポート 藤田研究室　 2010年7月22日

  2. Real Physical System Real Physical System Fig. 1 Cart-pendulum 2

  3. Ideal Physical Model Ideal Physical Model Fig. 2 Ideal Physical Model of Cart-pendulum 3

  4. Real Physical System 台車型倒立振子 実験環境概略

  5. noise external disturbances noise Real Physical System Output System Actuators Sensors Process Clock Filter Computer A/D D/A Controller operator input

  6. 0.000524[rad] Real Physical System アクチュエータとセンサ ポテンショメータ ロータリエンコーダ DCモータ 村田製作所製 線形誤差: ∓5[%] マブチ製RE-280RA コーデンシ製KE203 減速機のギア比: 30 分解能: 100[puls/rev] 最大電流: 4[A] 出力軸分解能: 0.03[deg] 定格電圧: 3[V] 6

  7. Real Physical System Digital Signal Processor DS1104 dSPACE Inc. 設定サンプリング周期　 状態ＦＢ　1.0[ms] 電流ＦＢ　0.25[ms] Processor自体はより早い周期で計算している 計測結果 モデル実行時間　：　80～150[μs] 0.080～0.150[ｍs] 7

  8. Real Physical System アクチュエータとローカルコントローラ noise external disturbances noise Output Actuators System Sensors Clock D/A Computer A/D Filter operator input モータ PWM ローカルコントローラ アクチュエータ

  9. Ideal Physical Model モデリングのための仮定 • 床との摩擦，空気抵抗は考慮しない • アクチュエータダイナミクスは考慮しない • センサのダイナミクスや帯域は考慮しない • ノイズや外乱は考慮しない • 計算時間による時間遅れを考慮しない noise external disturbances noise Output Actuators System Sensors Clock D/A Computer A/D Filter operator input

  10. Ideal Physical Model モデリングのための仮定 • トルク入力 (公称値) トルク定数： • 非線形性を無視 • 時間遅れを無視 • 高周波域も考慮 noise external disturbances noise Output System Actuators Sensors Clock モータ PWM D/A Computer A/D Filter operator input 10

  11. Variables and Parameters 変数とパラメータ(公称値) 変数 記号 値 単位 振子の角度 台車の位置 振子の質量 パラメータ 記号 値 単位 台車の質量 振子の重心までの長さ 振子の摩擦係数 ギアの摩擦係数 振子の慣性モーメント 台車の慣性モーメント モータの慣性モーメント タイヤの半径 外力（入力） ギアの減衰比 11

  12. Ideal Mathematical Model 運動方程式の導出 台車 振子 重心位置 重心位置 運動エネルギ 運動エネルギ 位置エネルギ 位置エネルギ 散逸エネルギ 散逸エネルギ 12

  13. Ideal Mathematical Model 運動方程式の導出 ラグランジュ関数 ラグランジュの運動方程式 : 一般化座標 : 外力 System 13

  14. Reduced Mathematical Model 運動方程式 平衡点 周りで近似 パラメータは公称値を用いる（不確かさを考慮しない） 14

  15. *Modeling（「ＦｅｅｄｂａｃｋＳｙｓｔｅｍｓ」版）*Modeling（「ＦｅｅｄｂａｃｋＳｙｓｔｅｍｓ」版） 運動方程式の導出（赤字は右モデル図などとの相違点） 台車 振子 重心位置 重心位置 運動エネルギ 運動エネルギ モータの慣性モーメントがＪｐ→Ｊ である モータの慣性モーメント，および台車の 慣性モーメント項を考慮していない 位置エネルギ 位置エネルギ 散逸エネルギ 散逸エネルギ ギアの摩擦係数ｃ´ ｃ´＝ｃ／ｒｔ２ 15

  16. *Modeling（「ＦｅｅｄｂａｃｋＳｙｓｔｅｍｓ」版）*Modeling（「ＦｅｅｄｂａｃｋＳｙｓｔｅｍｓ」版） 運動方程式の導出（赤字は右モデル図などとの相違点） ラグランジュ関数 ラグランジュの運動方程式 : 一般化座標 : 外力 ＭｔおよびＪｔが変わる 平衡点 周りで近似 16

  17. ※Modeling（「ＣｏｎｔｒｏｌＳｙｓｔｅｍＤｅｓｉｇｎ」版）※Modeling（「ＣｏｎｔｒｏｌＳｙｓｔｅｍＤｅｓｉｇｎ」版） 運動方程式の導出（赤字は藤田研実験モデルとの相違点） 台車 振子 θ の向きが逆 重心位置 重心位置 (注)実験装置は この向きで計測 運動エネルギ 運動エネルギ 振子の慣性モーメントを考慮していない モータの慣性モーメント，および台車の 慣性モーメント項を考慮していない 位置エネルギ 位置エネルギ 散逸エネルギ 散逸エネルギ ギアの摩擦係数はない 振子の摩擦係数もない

  18. ※Modeling（「ＣｏｎｔｒｏｌＳｙｓｔｅｍＤｅｓｉｇｎ」版）※Modeling（「ＣｏｎｔｒｏｌＳｙｓｔｅｍＤｅｓｉｇｎ」版） 運動方程式の導出（赤字は藤田研実験モデルとの相違点） ラグランジュ関数 ラグランジュの運動方程式 : 一般化座標 : 外力 ＭｔおよびＪｔが変わる 平衡点 周りで近似 一部符号が変わる

  19. Reduced Mathematical Model 状態方程式 : 1入力2出力

  20. Block Diagram ブロック線図 出力 入力 ＋ ＋ ＋ ＋ － － Pendulum ＋ ＋ ＋ ＋ － － Cart

  21. Block Diagram Plant(parallel) 出力 入力 Pq (s) q F q F P(s) p Pp (s) p Plant(series) q F Pq →p (s) Pq (s) p 21

  22. プラントの解析 22

  23. Pq (s), Pp (s): Transfer function 伝達関数 :g=0とした pの零点は ここでJpはml2/3だから 23

  24. Pq(s), Pp (s): Pole-Zero パラメータ代入時 :Pole :Zero 極-零マップ Pole : -5.668, -0.1774, 0, 5.383 Pole : -5.668, -0.1774, 5.383 Zero : -5.558, 5.289 Zero : 0 -5.668 -5.668 -0.1774 5.383 -0.1774 5.383 0 0 5.289 -5.558 to to 24

  25. Pq(s), Pp (s): Pole-Zero to 不安定な 極 : 5.383 がある 不安定な 極: 5.383 がある 不安定な 零点: 5.289 がある 逆ぶれが起きる 制御が難しい to 25

  26. Pq(s), Pp (s): RHP Pole-Zero について，振子とギアの摩擦　　　　　　とすると,ゼロでない極と零点は， to を達成したい 5.5235 5.4221 を大きくしたい を調整する を大きくすると　 も大きくなる 26

  27. Pq (s), Pp (s):Bode plot ボード線図 -23.02[dB],0.83[rad/s] -20[dB/dec] 20[dB/dec] 0[dB],0.85[rad/s] -40[dB/dec] -40[dB/dec] 最小位相 最小位相 -348[deg],0.85[rad/s] -168[deg],0.83[rad/s] 27

  28. Controllability 可制御性について与えられたパラメータを用いて計算すると 状態の次元は4なので可制御 V について特異値分解すると 28

  29. Observability 可観測性について与えられたパラメータを用いて計算すると 状態の次元は4なので可制御 NTについて特異値分解すると 29

  30. 入力から状態への特性 固有値分解により 30

  31. 入力から状態への特性 固有値分解により 新たな状態を として 入力から状態への式は となる。 31

  32. ＬＱ最適制御 ・　複数コントローラの比較による倒立振子の解析 （プラントへの入力 ｕ は電流　Ｉ　とする）

  33. ＬＱ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｍｏｄｅｌ 想定モデル 状態フィードバックで表現 プラントへの入力は電流Ｉとする． ：状態フィードバックゲイン ただし、コントローラは見方を変えれば２入力（θ，φ）のＰＤコントローラとなる． 同様に、プラントも出力は２出力（θ，φ）と見ることもできる．

  34. LQ　ＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌ　ＦａｉｌｅｄＥｘａｍｐｌｅLQ　ＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌ　ＦａｉｌｅｄＥｘａｍｐｌｅ 重み関数　１ （失敗） 状態フィードバックゲイン　　 一巡伝達関数

  35. LQ　ＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌ　ＦａｉｌｅｄＥｘａｍｐｌｅLQ　ＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌ　ＦａｉｌｅｄＥｘａｍｐｌｅ 重み関数　２ （失敗） 状態フィードバックゲイン　　 一巡伝達関数

  36. LQ　ＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌ　ＳｕｃｃｅｓｓＥｘａｍｐｌｅLQ　ＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌ　ＳｕｃｃｅｓｓＥｘａｍｐｌｅ 重み関数　３ （成功） 状態フィードバックゲイン　　 一巡伝達関数

  37. 重み関数　１ × 重み関数　２ × 重み関数　３ ○ Ｉｍ 失敗していることから分かること ・ゲインが大きい、もしくはゲインの割に 　零点の実部が全体的に小さい Ｒｅ ０ ・零点の実部より零点の虚部の値が全体的に小さい

  38. Ｆｒｏｍ　Ｎｙｑｕｉｓｔ　Ｐｌｏｔ 青　　　　：重み関数１ 緑　　　　：重み関数２ マゼンタ：重み関数３ 積分器があるのでπ/2の角度から入ってくる これでは、点（-1,0）付近の様子が分からないので、拡大して見る

  39. Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　Ｍａｒｇｉｎ　ＳＭ × 青　　　　：重み関数１ × 緑　　　　：重み関数２ ○ マゼンタ：重み関数３ ・スタビリティマージンSMｉ（ｉ＝1～3）は、全ての場合　 SMｉ＞１　である． ・ナイキスト線より、失敗した重み関数は SMが１よりかなり大きい所を回る形 失敗の原因は、 SMのとりすぎ． パフォーマンス不足

  40. Ｆｒｏｍ　Ｏｐｅｎ　Ｌｏｏｐ　Ｔｒａｎｓｆｅｒ　ＦｕｎｃｔｉｏｎＦｒｏｍ　Ｏｐｅｎ　Ｌｏｏｐ　Ｔｒａｎｓｆｅｒ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ × 青　　　　：重み関数１ × 緑　　　　：重み関数２ ○ マゼンタ：重み関数３ 高い 低周波ゲインが低い 外乱に弱い

  41. Ｆｒｏｍ　Ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ　ＦｕｎｃｔｉｏｎＦｒｏｍ　Ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ 青　　　　：重み関数１ 高い 緑　　　　：重み関数２ マゼンタ：重み関数３ バンド幅の取りすぎ × × ○ 低周波ゲインが高い 外乱に弱い

  42. Ｆｒｏｍ　Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ　Ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ　ＦｕｎｃｔｉｏｎＦｒｏｍ　Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ　Ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ 青　　　　：重み関数１ 緑　　　　：重み関数２ マゼンタ：重み関数３ 不確かさが　　付近まで来ている × × ○ ピーク値ＭＴが2[ｄＢ]より高い この周波数の振動が実機に出やすい

  43. 重み関数ＷＳ，ＷＴより 青　　　　　　：重み関数１ 不確かさ 緑　　　　　　：重み関数２ マゼンタ　　：重み関数３ パフォーマンス プラント入力（電流）側から見た感度関数および相補 感度関数に対する重み関数　　　　　　　　　　…（※） 赤（粗点線）：　ＷＳ （s） 赤（細点線）：　ＷＴ （s）

  44. ＬＱ最適制御 ・　先の比較解析でみた下の重み関数に ついての詳細な倒立振子の解析 （プラントへの入力 ｕ は力 Ｆ とする）

  45. Kθ,Kp:parameter and transfer function より としており の関係が成り立つ またKより 45

  46. Kq (s), Kp (s):Bode plot 30.95[dB] 3.01[dB] 45[deg],0.512rad/s] -135[deg],5.63[rad/s] pの低周波ゲインがKにより増減する。これが感度の目安となることが予想できる。qでもゲインがわずかに変動する。 46

  47. result • pの変化はあまりない。 • しかし動きが振動的。

  48. Pq (s)Kq (s), Pp (s)Kp (s):transfer function 伝達関数 赤線はKによって変化するパラメータ 青線を引いた不安定極、零点はプラントPに依存。 Pp (s)Kp (s)で絶対値が小さい安定零点の-0.5116がある点に注意する。 48

  49. Pq (s)Kq (s):Bode plot ピークゲインに注目。このKでは振動的にならないKより高い。 20[dB/dec] 8.047[dB],0.98[rad/s] -20[dB/dec] 位相はKによらず変わらない -159.4[deg],0.98[rad/s] 位相遅れのピークと ゲインのピークが一致 49

  50. Pp (s)Kp (s):Bode plot 対応するゲインが大きい 0[dB],2.06[rad/s] 21.1[dB],0.30[rad/s] ゲイン交差周波数に注意する。 Pq (s)Kq (s)より低い。 位相のピーク値に注目 このKでは遅れが大きい -279[deg],2.06[rad/s] -299[deg],0.30[rad/s] 50

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