ÁLGEBRA Y SUS PROBLEMAS

1. ÁLGEBRA Y SUS PROBLEMAS

2. ÍNDICE Algunos consejos CARPINTEROS Y GRIFOS EDADES PORCENTAJES BALANZAS MEZCLAS GEOMETRÍA ALCANCE GRANJAS CRUCE

3. ALGUNOS CONSEJOS • ¿A QUÉ LLAMAMOS x ? SI TENEMOS VARIAS CANTIDADES RELACIONADAS, LLAMAREMOS x A LA MÁS PEQUEÑA SI LA EDAD DE CARLOS ES EL TRIPLE QUE LA DE JULIA: EDAD JULIA x EDAD CARLOS 3x

4. AL TERMINAR UN PROBLEMA: • RELEER EL ENUNCIADO PARA COMPROBAR QUE CONTESTAMOS A LO QUE NOS PREGUNTAN • PONER LAS UNIDADES A LAS SOLUCIONES

5. PROBLEMAS DE EDADES

6. Carlos tiene el triple de la edad de su hermana Marta. Dentro de tres años la edad de Carlos será el doble de la edad de Marta. ¿Qué edad tiene cada uno? Colocaremos los datos en una tabla: x x + 3 3x 3x + 3

7. Nos fijamos en la columna: Edad dentro de tres años La ecuación la escribimos con esa columna El enunciado dice: la edad de Carlos será el doble que la de Marta. Lo escribimos tal cual :

8. La edad de Carlos es el doble de la edad de Marta (x+3) 3x+3 = 2· Luego ahora lo único que falta es resolver la ecuación: 3x + 3 = 2·(x + 3)

9. Nos fijamos en la columna: Edad hace cinco años La ecuación la escribimos con esa columna

10. ¡Otro problema de edades! Mi tío, actualmente, tiene diez años más que mi hermano y hace cinco años tenía el triple. ¿Cuántos años tiene cada uno? Colocaremos los datos en una tabla: x x - 5 x + 10 x + 10 - 5

11. El enunciado lo escribimos: Mi tío tenía el triple de años que mi hermano x + 10 - 5 = 3 • (x – 5) ¡Y resolveremos la ecuación! x + 10 –5 = 3 • (x-5)

12. “Problemas de balanzas”

13. Ana tiene cuatro cromos más que Pedro pero si le diese 8 a Pedro, éste tendría el doble de cromos que ella. Colocamos los datos actuales en una tabla x x + 8 x + 4 x + 4 - 8 Colocamos los datos después del cambio de cromos.

14. Escribimos la ecuación con la columna de después de dar y coger los cromos El enunciado dice que Pedro tendrá el doble de cromos que Ana

15. el doble de cromos Pedro tendrá que Ana x + 8 = 2 · (x + 4 - 8) ¡Y la ecuación queda! x + 8 = 2 · (x + 4 – 8)

16. Veamos si lo hemos entendido con otro ejemplo Entre Juan y yo tenemos 42 euros. Si Juan me diese 2 €, yo tendría el cuadrado de dinero que él. Después de dar Juan 2 € x x + 2 42 - x 42 – x - 2

17. x + 2 (42 – x – 2)2 = yo tendría el cuadrado de dinero que él. yo tendría el cuadrado de dinero que él. x + 2 = (42 – x – 2)2 ¡Y a resolver la ecuación!

18. Problemas Geométricos

19. Como la base es 6 cm mayor que la altura la llamaremos x + 6 El perímetro de un rectángulo es 28 cm. Averigua lo que mide cada lado si la base es 6 cm mayor que la altura. Nota: Perímetro es la suma de todos los lados. Haremos el dibujo y colocaremos los datos en él. Llamamos x a la altura por ser el lado más pequeño. x + 6 x x x + 6 x + 6

20. x Ya podemos resolverla x + 6 Como el perímetro es 28 cm, la ecuación queda: x + x + 6 + x + x + 6 = 28

21. ¡Otro problema! Un rectángulo tiene por área 160 cm2. Calcula las dimensiones de sus lados si la base es 4 cm mayor que la altura. Nota: El área de un rectángulo es base por la altura.

22. Datos: • el área es 160 cm2 • la base mide 4 cm más que la altura. x 1º Nos hacemos el dibujo. x + 4 2º Por ejemplo, llamamos x a la altura. 3º Como la base es 4 cm más que la altura, la llamaremos x + 4.

23. El dato del área igual a 160 cm2 lo utilizamos para escribir la ecuación. x Base • altura = Área x + 4 (x + 4) x 160 • = ¡Y ya podemos resolver la ecuación, que en este caso quedará de segundo grado!

24. H Hipotenusa Otro cateto C1 C2 Un cateto ¡Otro problema! Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 20 cm. Nota: En los problemas en los que se puede crear un triángulo rectángulo, utilizaremos el Teorema de Pitágoras H2 = C12 + C22

25. Ahí está el triángulo Lo primero realizamos el dibujo y escribimos los datos. ¡Buscamos un triángulo rectángulo representando la altura del triángulo ! El lado mide 20 cm

26. Tomamos el triángulo naranja: Lado que mide 20cm Es la hipotenusa. Lado a calcula, x Lado que es la mitad del lado del triángulo inicial. Mide 10cm.

27. Aplicamos el Teorema de Pitágoras: 20cm x 10cm Hipotenusa2 = Cateto12 + Cateto22 202 = 102 + x2 ¡Ahora se resuelve la ecuación de segundo grado!

28. PROBLEMAS DE “ CABEZAS Y PATAS“

29. En una granja hay gallinas y conejos. Si en total hay 50 cabezas y 160 patas, ¿cuántas gallinas hay? ¿Y conejos? Nos creamos un cuadro para entenderlo bien: Como las gallinas tienen dos patas, en total tendremos 2x x 2x Como los conejos tienen cuatro patas, en total tendremos 4(50 – x) 50 - x 4(50 – x) Llamamos x a las gallinas Y como el total de animales es 50, llamamos 50 – x a los conejos

30. Viendo los datos del enunciado, el único dato que no hemos utilizado todavía es el 160, que es el número de patas, la ecuación la escribiremos con las patas. Luego las patas de las gallinas, más las patas de los conejos son las patas totales, 160. Y A RESOLVER 2x + 2x + 4(50 - x) = 160 4(50 – x) = 160

31. ¡Otro problema de este tipo! En un barco hay camarotes simples y dobles. Si en total hay 40 camarotes y se pueden alojar como máximo 48 personas, ¿cuántos camarotes hay dobles? • Tengamos en cuenta que el número de personas que se pueden alojar es el mismo número que el de camas. Como en cada simple solo hay una cama, cabrán x personas. • Rellenamos la tabla como en el caso anterior llamamos x a los camarotes simples, x x 40 - x 2(40 – x) entonces como en total hay 40 camarotes, llamamos a los dobles 40 – x. y en las dobles, 2(40-x)

32. El dato que nos queda por utilizar es el número de personas, 48, luego utilizaremos la columna de las personas. La suma de las personas de cada tipo de camarote será el total. Y A RESOLVER x + 2(40 - x) = 48