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第五章 时序和路径规划

应用运筹学. 第五章 时序和路径规划. 浙江大学管理学院 杜红 博士 副教授. 第五章 时序和路径规划. 时序规划 最小树问题 通过一个网络的最短路径 通过一个网络的最大流量. 工作的时序规划. 时序＝顺序＋时间 时序规划 多项任务等待同一人或物处理，每项任务的单独完成的时间确定，且没有先后关系（紧前、紧后）。怎样安排各项任务的顺序，使总效率最高？ 系统时间＝加工时间＋排队时间. 工作的时序规划. 时序规划原则目标 到达时间－－先进先出 最小富裕时间（到期时间－加工时间） 最接近完成者优先

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第五章 时序和路径规划

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Presentation Transcript

  1. 应用运筹学 第五章 时序和路径规划 浙江大学管理学院 杜红 博士 副教授

  2. 第五章 时序和路径规划 时序规划 最小树问题 通过一个网络的最短路径 通过一个网络的最大流量

  3. 工作的时序规划 • 时序＝顺序＋时间 • 时序规划 多项任务等待同一人或物处理，每项任务的单独完成的时间确定，且没有先后关系（紧前、紧后）。怎样安排各项任务的顺序，使总效率最高？ • 系统时间＝加工时间＋排队时间

  4. 工作的时序规划 • 时序规划原则目标 到达时间－－先进先出 最小富裕时间（到期时间－加工时间） 最接近完成者优先 在完成之前最少的机器开关次数 下一工作最短的排队 关键比例最低 最重要的优先 加工工序之间的转换成本最低 加工时间最短者优先 最先到期的工作优先

  5. 工作的时序规划 • 平均排队（等待）时间最短问题 加工时间最短者优先 （相同时间的可任意安排） • 平均延误时间最短问题 最先到期的工作优先 • 例5－1：教材 P105 实例5.3

  6. 工作的时序规划 • 例5－2：教材 P106 实例5.4 平均排队时间最短：加工时间短者优先 A G C H E B F D 加工时间 2 2 3 3 4 5 7 8 等待时间 0 2 4 7 10 14 19 26 总等待时间：82 平均等待时间：10.25

  7. 工作的时序规划 平均延误时间最短：最先到期者优先 G B C A E F D H 到期时间 2 7 8 13 14 20 30 36 加工时间 2 5 3 2 4 7 8 3 开始时间 0 2 7 10 12 16 23 31 完工时间 2 7 10 12 16 23 31 34 延误时间 0 0 2 0 2 3 1 0 总延误时间：8 平均延误时间：1

  8. 工作的时序规划 • 延误的工作项数最少 先按先到期者优先的原则排初次次序 如果没有延误的工作，则是最优解。 如果有延误的工作，则找出其中的一项，找出到此项工作之前（包括该项）加工时间最长的一项，并将之抽去，重新安排时间，如果已没有延误的工作，则将被抽取的这一项放置最后；如仍有被延误的工作，则再重复这一步。

  9. 工作的时序规划 按先到期者优先原则安排的初次次序为： G B C A E F D H 到期时间 2 7 8 13 14 20 30 36 加工时间 2 5 3 2 4 7 8 3 完工时间 2 7 10 12 16 23 31 34 延误时间 0 0 2 0 2 3 1 0 找出一项延误的工作是 C ；C 之前（包括 C）加工时间最长的是 B, 抽去 B 后，重新安排时间：

  10. 工作的时序规划 抽去工作 B 后的次序安排： G C A E F D H 到期时间 2 8 13 14 20 30 36 加工时间 2 3 2 4 7 8 3 开始时间 0 2 5 7 11 18 26 完工时间 2 5 7 11 18 26 29 延误时间 0 0 0 0 0 0 0 B 7 5 29 34 27

  11. 工作的时序规划 • 时序规划扩展： 两台顺序机器完成一批工作 每项工作在机器1和机器2上的加工时间不一样，如何使系统效率最高？ 4 3 2 1 机器1 机器2 工作

  12. 工作的时序规划 • 约翰逊原则 找出各台机器上加工时间最短的一项工作， 如果在机器1上，这项工作最先做； 如果在机器2上，这项工作最后做； 不断重复，从两端往内排。相同时间可任选一个，一般先安排机器1上工作。

  13. 工作的时序规划 例5－3：教材P110 实例5.6 工作： A B C D E F G 机器1： 2 5 10 8 4 12 9 机器2： 14 7 3 10 5 6 6 顺序： 1开始： 0 2 6 11 19 31 40 1完成： 2 6 11 19 31 40 50 2开始： 2 16 21 28 38 44 50 2完成： 16 21 28 38 44 50 53 A E B D G F C

  14. 3 3 4 2 4 2 8 7 8 7 7 7 6 6 1 2 1 2 4 4 4 5 4 9 9 5 3 5 3 5 最小树问题 • 图及相关的概念 • 图：点及点与点之间的连线（箭线：有向图）构成 • 边与弧：两点之间连线为边或弧（箭线）如： 1-2，4-6 • 链与路：任意两点之间的点与边（弧）组成了一条链（路）。 如：1-2-4-6 • 圈与回路：链（路）的两端为同一点则形成一个圈（回路）。 如：1-2-3 • 连通图：任意两点之间至少有一条链，没有孤立点。 • 网络：一个有向图的弧有某种“流转物”流动时的图称为网络 • 权：边或弧的权数，表示边或弧性质或数量。

  15. 最小树问题 • 树的概念 连通图，但没有圈为树。由所有节点(N)和相应的边(N-1)组成。

  16. 最小树问题 • 最小树 一个网络中有很多树，其中边的长度（权数）之和为最小的树为最小树。 • 最小树的获取－－破圈法 从图中任取一个圈，去掉该圈的一条最大边，将此圈破去，然后重复破圈，直至无圈为止。

  17. 最小树问题 例5－4：求以下图的最小树 4 6 7 2 2 4 4 5 7 1 2 3 1 3 5 4 2 6 3 7

  18. 通过一个网络的最短路径 • 问题 在一个网络中，给定一个始点Vs，和一个终点Vt，求Vs 到Vt的一条路，使路长最短。 • 求解 能划分阶段的，可采用动态规划方法。 不能分阶段的，采用狄克斯屈方法。

  19. 通过一个网络的最短路径 狄克斯屈（Dijstra）方法 • 开始节点标永久标记[0,S],其余为临时标记[T,-] • 找出与开始节点相邻的所有节点，为每一个设标记[L,1]，其中L值最小的节点标记右上角标上*，使之成为永久标志。L为两节点间距离，1表示始于第一节点 • 从新的永久标志开始，找出从此节点出发可到达的所有节点，计算这些节点的最短距离（现有距离和经新的永久标志到达的距离的小的一个值），保持、新设或更改这些节点的标志为 [最短距离，最短路径上前一节点标号]，比较图中所有没有*的标记（临时性标记），找出距离最短的一个节点，使之成为永久性标记。重复这一步，直到所有的节点都成为永久性标志为止。

  20. 通过一个网络的最短路径 k [Dj,k] j [Di ,m] i Lij 从i-j时： 如果Di+Lij≥Dj,则不改变j的标记； 如果Di+Lij<Dj，则改为[Di+Lij,i]

  21. 通过一个网络的最短路径 • 例5－5 狄克斯屈方法 ：教材P131 实例5.12 [35,4] [20,1] * * [44,2] [T,-] [T,-] 24 2 5 [41,6] * [25,3] * 11 20 [T,-] [0,S] [T,-] 8 10 7 1 4 8 15 10 20 6 3 6 [T,-] [T,-] [15,1] [21,3] * *

  22. 通过一个网络的最短路径 从起始点到每一点的最短距离为： 节点 最短距离 路径 2 20 1－2 3 15 1－3 4 25 1－3－4 5 35 1－3－4－5 6 21 1－3－6 7 41 1－3－6－7

  23. 最短路径问题的应用 • 例5－6：设备更新问题 某厂使用一种设备，每年年初设备科需要对该设备的更新与否作出决策。若购置新设备，就要支付购置费；如果继续使用则需要支付维修费，设备使用的年数越长，每年所需的维修费越多。现若第一年年初购置了一台新设备，问在5年内如何制定设备更新计划，以便使新设备购置费和维修费的总费用最小？已知设备在5年内各年年初的价格及设备使用不同年数的维修费如下：

  24. 最短路径问题的应用 • 例5－6：设备更新问题 把求总费用最小问题化为最短路径问题。用点 i (i=1,2,3,4,5)表示第 i 年买进一台新设备。增设一点 6 表示第五年末。从i点到i+1,……, 6 各画一条弧，弧（i , j）表示在第 i 年买进的设备一直使用到第 j 年年初（第 j －1年年末）。求1点到6点的最短路径。路径的权数为购买和维修费用。 弧（i , j）的权数为第i年的购置费ai＋从第i年使用至第j-1年末的维修费之和。 从第i年使用至第j-1年末的维修费：b1+…+bj-i （使用寿命为j-i年） 如：（2－4）权数为：a2+b1+b2=11＋5＋6=22 具体权数计算结果如下：

  25. 通过一个网络的最短路径 • 例5－6 设备更新问题 ： 使用Dijstra算法，上述问题最短路为1-3-6或1-4-6 即：第1、3年年初购买设备，或第1、4年年初购买设备 五年最佳总费用为53。 22 2 4 23 41 30 16 17 16 30 6 1 59 41 22 17 31 5 18 3 23

  26. 作业题： • 某地7个村镇之间现有交通距离如图 求：1)从村1到其余各村的最短距离？ 2)如要沿路架设电话线，如何使总长度最小同时又使每个村都能安装上电话？ 4 26 7 12 10 24 10 5 7 1 2 11 16 15 25 12 15 6 3 17

  27. 通过一个网络的最大流量 • 最大流量问题 在一定条件下，使网络系统中从开始点到结束点之间的某种物资流的流量达到最大的问题。限制条件是每一条边的最大通过能力（流量）不等。但有多条路 • 最大流量求解 • 线性规划方法 • 福特－富尔克逊标号法（“分步流动”）

  28. 3 4 2 5 6 2 2 4 2 5 7 1 6 3 6 1 2 3 最大流量的线性规划模型 • 例5－7：有下列石油运输管道图。某公司欲采用这个网络图从1地向销地7运送原油，弧的容量Cij（万升/时）已给定（因管道直径的变化，Cij不完全相同）。问如何安排输送，方能使每小时运送的原油最多？

  29. 最大流量的线性规划模型 3 2 5 5 • 设弧（i,j）上的流量为Fij, 总流量为F. • 目标函数：MAX F=F12+F14 • 约束条件： 流入＝流出; Fij≤Cij; Fij≥0 2点：F12=F23+F25; 4点：F14=F43+F46+F47 3点：F23+F43=F35+F36; 5点 ：F25+F35＝F57 6点：F36+F46＝F67 ; 7点：F47+F57+F67=F12+F14 • 解：F12=5;F14=5;F23=2;F25=3;F43=2;F46=1;F47=2;F35=2 F36=2;F57=5;F67=3 最大流量F＝10 6 2 2 4 2 1 6 7 3 3 6 1 2 4

  30. 思考题：最小费用最大流 3,4 2 5 5,7 • 如果弧（i,j）上的单位流量费用为Bij (百元/万升）。 图中每一条弧的权数前一位为流量限制Cij，后一位为单位费Bij。 • 怎样运送才能使运送最多的石油并使总的费用最小？ • 提示：先求得最大F值；再求总流量为F时使总费用最小的方案。 • 进一步思考：求最小费用问题。 如何求每小时运送6万升原油的最小费用？ 6,6 2,5 2,4 4,4 1 6 7 3 2,3 3,2 6,3 1,3 4 2,8

  31. 最大流量的标注法 • 标记：[流入节点的流量，该流量的来源节点]，第一个节点标记[∞，S]。 • 选取已有标记的一个节点，找出从此节点能直接到达的一个节点，确定到达节点的最大流量，相应地标上标记。重复这一步，尽快到达终点，得到一条从起点到终点的路径，此路径的最大流量为流入终点的流量。将此路径上的每一边的流动能力减去此流量。再从起始节点开始，按新的流动能力，重新进行标号，找出新的一条途径和流量，重复进行下去，直到把所有可能的路径全部找到为止，全部路径的流量和即为通过该网络的最大流量。

  32. 最大流量的标注法 [Fi,K] [Fj,i] i j mij K Fj=min(Fi,mij)

  33. 最大流量的标注法 • 例5－9：教材P135 实例5.14 [18,1] [6,2] 6 2 5 18 7 10 9 [∞,S] [7,2] [6,5] 16 1 4 7 10 2 10 18 8 3 6 [10,1] [6,5] 得到了第一条线路的最大流量：1－2－5－7，流量为 6

  34. 0 2 5 12 7 10 3 16 1 4 7 10 2 10 18 8 3 6 最大流量的标注法 • 将1－2－5－7通过能力减去6，重新标号 [12,1] [7,4] [∞,S] [7,2] [3,5] 得到了第二条线路的最大流量：1－2－4－5－7，流量为 3

  35. 0 2 5 9 4 7 0 16 1 4 7 10 2 10 18 8 3 6 最大流量的标注法 • 将1－2－4－5－7通过能力减去3，重新标号 [∞,S] [8,6] [10,1] [8,3] 得到了第三条线路的最大流量：1－3－6－7，流量为 8

  36. 0 2 5 9 4 7 0 16 1 4 7 2 2 10 10 0 3 6 最大流量的标注法 • 将1－3－6－7通过能力减去8，重新标号 [9,1] [∞,S] [4,2] [4,6] [4,4] 得到了第四条线路的最大流量：1－2－4－6－7，流量为 4

  37. 0 2 5 5 0 7 0 16 1 4 7 2 2 6 6 0 3 6 最大流量的标注法 • 将1－2－4－6－7通过能力减去4，重新标号 [∞,S] [2,3] [2,6] [2,1] [2,4] 得到了第五条线路的最大流量：1－3－4－6－7，流量为 2

  38. 0 2 5 5 0 7 0 16 1 4 7 0 0 4 4 0 3 6 最大流量的标注法 • 将1－3－4－6－7通过能力减去2，重新标号 [∞,S] 不能标记出从1－7之间的任何流量，已经得到最优解

  39. 6 2 5 13 7 3 9 0 1 4 7 10 2 6 14 8 3 6 最大流量的标注法 • 将每一条路径的流量相加即为最大流量：23 • 每一段的流量如下：

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