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宏观粒子运动规律 习题解答（部分）

3-5 ， 3-6 ， 3-7 ， 3-8 ， 3-10 ， 3-11 ， 3-12 ， 3-13 ， 3-14 ， 3-16 ，. 宏观粒子运动规律 习题解答（部分）. F(N). 30. O. t (s). 4. 7. 3. 5 质量 m 为 10 kg 的木箱放在地面上，在水平拉力 F 的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图所示。若已知木箱与地面间的摩擦系数  为 0.2 ，试求 ( 1 ) 在 t =4 s 时，木箱的速度大小； ( 2 ) 在 t =7 s 时，木箱的速度大小。.

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宏观粒子运动规律 习题解答（部分）

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  1. 3-5，3-6，3-7，3-8，3-10，3-11，3-12，3-13，3-14，3-16，3-5，3-6，3-7，3-8，3-10，3-11，3-12，3-13，3-14，3-16， 宏观粒子运动规律习题解答（部分）

  2. F(N) 30 O t (s) 4 7 3. 5质量 m为 10 kg的木箱放在地面上，在水平拉力 F的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图所示。若已知木箱与地面间的摩擦系数 为 0.2 ，试求( 1 )在 t =4 s时，木箱的速度大小；( 2 )在 t =7 s时，木箱的速度大小。

  3. 解：(1) mv - 0=o4(F-f)dt =(F-f)t|o4 =(30 - 0.21010)4 =40 Ns v = 40/m =40/10 =4 m/s F(N) 30 O t (s) 4 f(N) 20 O t (s) 4

  4. 解：(1) mv - 0=o4(F-f)dt =(F-f)t|o4 =(30 - 0.21010)4 =40 Ns v = 40/m =40/10 =4 m/s (2) mv - 0=o7(F-f)dt = o7Fdt -o7fdt F(N) 30 O t (s) 4 7

  5. 解：(1) mv - 0=o4(F-f)dt =(F-f)t|o4 =(30 - 0.21010)4 =40 Ns v = 40/m =40/10 =4 m/s (2) mv - 0=o7(F-f)dt = o7Fdt -o7fdt = o4Fdt +47Fdt- o7fdt =30 4 + 30(7- 4)2 - 0.210107 F(N) 30 O t (s) 4 7 f (N) 20 O t (s) 4 7

  6. 解：(1) mv - 0=o4(F-f)dt =(F-f)t|o4 =(30 - 0.21010)4 =40 Ns v = 40/m =40/10 =4 m/s (2) mv - 0=o7(F-f)dt = o7Fdt -o7fdt = o4Fdt +47Fdt- o7fdt =30 4 + 30(7- 4)2 - 0.210107 =25 N s v = 25/m =25/10 =2. 5 m/s F(N) 30 O t (s) 4 7

  7. L r o r + dr r T(r) T(r+dr) 0 3. 6一条均匀的绳子，质量为 M，长度为 L，将它栓在转轴上，以角速度  旋转，试证明：略去重力时，绳中的张力分布为 T(r) = M2 (L2- r2)/2L，式中 r 为到转轴的距离。 解(一)：在 r 处的张力 T 等于从 r 到 L 这一段绳子作圆周运动所需的向心力，对 dr 这一段，所需向心力为： dT = T(r+dr) - T(r) = -2rdM=-M2rdr/L T(r)T(L) dT =- rL(M 2 r/L)dr T(L)-T(r)= - M2(L2 - r2)/2L T(r)=M2 (L2- r2)/2L

  8. 3. 6一条均匀的绳子，质量为 M，长度为 L，将它栓在转轴上，以角速度  旋转，试证明：略去重力时，绳中的张力分布为 T(r) = M2 (L2- r2)/2L，式中 r 为到转轴的距离。  解(二)：在 r 处的张力 T 等于从 r 到 L 这一段绳子作圆周运动所需的向心力，即： T(r)= m 2 (L+r)/2 = (M/L)(L-r)2(L+r)/2 = M2(L2 - r2)/2L L- r r o L r (L+r)/2 T(r) T=0 m

  9. 3.7 质量为 m 的小球，其运动路程为 x = A cosωt； 式中 A，ω均为常量，试求在 t = 0 到 t = π/ 2ω的时间间隔内小球受到力的冲量。 解： vx = - Aωsinωt , vx(0) = 0, vx(t) = - Aω; Ix = m vx(t) - m vx(0) = - m Aω

  10. vb L o b h va a 3-8 绳长 2m，一端固定在柱上，一端系一小球，小球放在光滑平面上。开始时，小球位于位 置 a，绳子处于松驰状态，小球以 va=4 m/s的速度向东滑动。速度的矢量线与柱的垂直距离为0.5 m。设小球位于位置 b 时，绳子处于拉紧状态，小球的速度方向朝北，求小球在位置 b 时的速度 vb。 解：小球受绳拉力（有心 力）作用。 角动量守恒：hmva =Lmvb 故: vb = h va /L = 4×0.5/4 = 1 m/s

  11. m1 m2  l2 l1 C 3. 10两质点的质量分别为 m1，m2 ( m1 > m2 )，拴在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度  在光滑水平桌面上旋转。它们之中哪个对质心的角动量最大？角动量之比为多少？ 解：l1 = m2l /(m1+ m2 ) l2 = m1l /(m1+ m2 ) LC1 = m1 l1 v1 = m1 l12 = m1m22l 2  /( m1 + m2 )2 LC2 = m2 l2 v2 = m2 l22 = m2m12l 2  /( m1 + m2 )2 因为 m1 > m2 ，所以LC2 >LC1 。 角动量之比：LC2 /LC1 = m1 / m2

  12. vC m1 m2  l2 l1 C 3. 11在上题中，若起初按住不动，让 m1 绕着它以角速度旋转。然后突然将 m2 放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角速度和绳中的张力。设绳长为 l。 解：动量守恒： m1 l  = (m1+ m2) vC  vC = m1 l  / (m1+ m2) 角动量守恒：设 m1 和 m2 绕质心的角速度为 ’ m1  l 2 = (m1+ m2) vC l2 + ( m1 l1 2+ m2 l2 2 ) ’ = m1 l  l2 + m1 l1’l   l=  l2 + ’l1   l1= ’l1  ’ = 

  13. l1 = m2l /( m1 + m2 )， l2 = m1l /( m1 + m2 )。 绕质心的角动量： LC = ( m1 l12+ m2 l22 )  = m1 l1 l  = [m1m2/( m1 + m2 )]l 2  =   l 2 其中  = m1m2/( m1 + m2 ) 称为折合质量。 绳中的张力： T1 = m1 l1 2 = [m1 m2 /( m1 + m2 )] 2l =  2l T2 = m2 l2 2 = [m1 m2 /( m1 + m2 )] 2l = 2l = T1

  14. y c b x o a 3.12质点在随位置而变的外力F = 2y i+4x2 j (N)作用下,从原点运动到 c (2,1) (m)点。试分别计算 F沿下列路径所做的功： (1)沿路径oac； (2)沿路径obc； (3)沿路径oc； (4) F 是保守力还是非保守力？试解释之。 解：(1) 路径 oac：oa：y=0 （0 < x < 2) ac：x=2 （0 < y < 1) Aoac = o2 Fxdx + o1 Fydy = o2 2ydx + o1 4x2dy = o2 0dx + o1 4 × 22dy = 16 ×( 1- 0 ) = 16 J

  15. (2) 路径 obc：ob：x=0 （0 < y < 1) bc：y=2 （0 < x < 2) Aoac = o2 Fxdx + o1 Fydy = o2 2ydx + o1 4x2dy = o2 2×2dx + o1 0 dy = 4 ×( 2 - 0 ) = 8 J (3) 路径 oc：y = x/2 （0 < x < 2) Aoac = o2 Fxdx + o1 Fydy = o2 2ydx + o1 4x2dy = o2 xdx + o1 16 y2dy = x2/2│o2 + 16×y3/3│o1 = 2 + 16/3 = 22/3 J

  16. F F l θ x x B A 3-13质量为m的木块可在光滑的水平杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一 固定的光滑小环，绳端有一作用力的 F，其大小不变。木块在点 A时具有向右的速度 vo，求力 F将木块自点 A 拉到 B 时的速度。A、B 两点间距为 31/2l，滑环到水平杆的距离为 l 。 解：方法 1 x方向力的分量 FX = F x/(x2 + l2 )1/2 动能定理：mvB2/2- mvA2/2 = AB Fxdx = AB F x/(x2 + l2 )1/2dx = -F(x2 + l2 )1/2│AB = - ( Fl - 2Fl ) = Fl

  17. mvB2/2- mvA2/2 = F r mvB2/2 = mvA2/2+F r vB = ( vA2 +2F r/m )1/2 方法 2 因为外力(绳的拉力)是有心力 T = - F ro 外力势能: EPe = ro T ·dr = ro - F ro ·dr =-ro F dr= or F dr= F r 功能原理： mvB2/2+F r = mvA2/2+2F r mvB2/2 = mvA2/2+F r vB = ( vA2 +2F r/m )1/2

  18. vB L O  B Lo A vA M m 3-14在光滑的水平桌面上，放在质量为M的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧的倔强系数为K。没有一质量为 m 的子弹以初速 vo 射向M，并嵌在木块内，如图 所示，弹簧原长 Lo，子弹撞击木块后，木块运动到达B点的时刻，弹簧长度变为 L，此时OB 与OA垂直，求在 B 点时，木块的运动速度vB。 解：子弹与木块完全非弹性碰撞， 动量守恒。 mvB = (m+M) vA 从A到达 B角动量守恒 Lo(m+M)vA = L(m+M)vB sinθ 机械能守恒: (m+M)vA2 /2 = (m+M)vB2 /2 + k( L-Lo )2/2

  19. v  vo m r b O 3. 16图中 O 为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比：f = k/r2 ( k为常数 )。(1) 求此力场的势能；(2) 一质量为 m 的粒子以速度 vo、瞄准距离 b 从远处入射，求它能达到最近路离和此时刻的速度。 解：(1) Ep(r)= r  k/r2 dr = k / r [令Ep() = 0] (2) 角动量守恒： mvob = mvrsin  v = vob/rsin 能量守恒： mvo2 / 2 = mv2 / 2 + k / r 消除 v 得： mvo2 / 2 = mvo2b2/2r2sin2+ k / r  r2 - 2kr/mvo2 - b2/sin2= 0

  20. r2 - 2kr/mvo2 - b2/sin2= 0  r = k/mvo2 + [ (k/mvo2)2 + b2/sin2 ]1/2 (“-”舍去) 当  = 90o 时， sin2 =1 为最大， r 为最小。 rmin = k/mvo2 + [ (k/mvo2)2 + b2 ]1/2 = { k + [ k2 + m2vo2 b2 ]1/2 } /mvo2 v = vob/rminsin = vob/rmin = mvo3 b / { k + [ k2 + m2vo2 b2 ]1/2 }

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