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刚体 —— 一种理想模型 .

4.1 刚体的基本运动形式. 由无数个连续分布的质点组成的质点系 , 每个质点称为刚体的一个质量元 . 每个质点都服从质点力学规律. 刚体 —— 一种理想模型. 刚体内任意两质元间距离 , 在运动过程中保持不变. 刚体的运动—— 平动和转动 . 任何复杂的运动为两者的叠加. 刚体的平动. 刚体上任一给定直线 ( 或任意二质点间的连线 ) 在运动中空间方向始终不变而保持平行. 刚体的转动. 转动 —— 刚体内各质元绕同一直线做圆周运动. 定轴转动 —— 整个转轴相对参考系静止.

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刚体 —— 一种理想模型 .

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  1. 4.1 刚体的基本运动形式 由无数个连续分布的质点组成的质点系,每个质点称为刚体的一个质量元. 每个质点都服从质点力学规律. 刚体 —— 一种理想模型. 刚体内任意两质元间距离, 在运动过程中保持不变. 刚体的运动——平动和转动. 任何复杂的运动为两者的叠加.

  2. 刚体的平动 刚体上任一给定直线(或任意二质点间的连线)在运动中空间方向始终不变而保持平行. 刚体的转动 转动 —— 刚体内各质元绕同一直线做圆周运动. 定轴转动 ——整个转轴相对参考系静止. 定点转动 —— 转轴上只有一点相对参考系静止, 转动方向不断变动.

  3. 1. 转动平面垂直于转轴. 2. 转动平面上各点均做圆周运动, 角量相同,线量不同. 3. 定轴转动刚体上各点的角速度矢量 的方向均沿轴线。 角坐标: 角位移: 方向右旋 角速度: 角加速度: 描述刚体转动的物理量 转动平面:定轴转动刚体上各质点的运动面. 刚体定轴转动的特点: 

  4. 线速度与角速度之间的关系: 定轴转动中的基本关系式: 和是矢量, 在定轴转动中由于轴的方位不变, 故用正负表示其方向.

  5. z mi 4.2 刚体定轴转动的转动动能 转动惯量 刚体转动动能 动能: 刚体的总动能: 单位: kgm2 转动惯量:

  6. 转动惯量的定义式: 转动惯量的物理意义: 反映刚体转动惯性的量度. 影响 J的因素: • 刚体的总质量 (同分布M > m , JM > Jm). • 刚体质量分布 (同m, J中空>J实). • 转轴的位置.

  7. 例题1.求一质量为m,长为 l 的均匀细棒的转动惯量. (1) 转轴通过棒的中心并与棒垂直. (2) 轴通过棒的一端并与棒垂直. 解: 在棒上取质量元,长为dx, 离轴 O为 x . 棒的线密度为: dm对转轴的转动惯量为: (1) 解为: (2) 解为: (原点O在棒的左端点)

  8. r dr 例题2.一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量. 解： R o

  9. 匀质直杆对垂直于杆的转轴的转动惯量 垂直于杆的轴通过杆的中心 垂直于杆的轴通过杆的端点 垂直于杆的轴通过杆的1/4处

  10. 常见形状转动惯量

  11. Jz Jc R m 平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc, 则刚体对与该轴相距为 d 的平行轴 z的转动惯量Jz是:

  12. 挂钟摆锤的转动惯量(杆长为l, 质量为m1, 摆锤半径为R, 质量为m2) : 挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动的转动惯量(圆环质量为m, 半径为R):

  13. 力 对轴的力矩: 力 对参考点O的力矩: 力矩方向由右手螺旋关系确定,垂直于 和 确定的平面. 力 对轴OA的力矩: 只有 能改变刚体的转动状态. 4.3 力矩的功 刚体定轴转动的动能定理 4.3.1 力矩 表征力对物体转动作用, 称为力矩. 大小:

  14. 4.3.2 力矩所做的功 力矩: 力矩的功: 合力矩的功: 力矩功率:

  15. 4.3.3 刚体定轴转动的动能定理 动能定理 刚体定轴转动的动能定理： 合外力矩和合内力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量

  16. T mg 例题3:一质量为M, 半径R的圆盘, 盘上绕由细绳, 一端挂有质量为m的物体. 问物体由静止下落高度h时, 其速度为多大？ 解1: 由动能定理: M m 解得：

  17. M T mg m 例题3:一质量为M, 半径R的圆盘, 盘上绕由细绳, 一端挂有质量为m的物体. 问物体由静止下落高度h时, 其速度为多大？ 将地球、圆盘、物体作为一个系统. 解2: 机械能守恒 解得：

  18. R O m k  x 例题4. 已知: 如图滑块质量为m, 滑轮半径为R, 转动惯量为J,弹簧劲度系数为k, 斜面角度为. 不计摩擦. 当弹簧无形变时将滑块由静止释放. 求(1)滑块下滑x时的加速度; (2) 下滑的最大距离. 解: (能量微分法) 以A,B,C,地球,斜面为系统, 机械能守恒. 沿斜面建立坐标, 以A的初始 位置为原点. (1) 设原点为势能零点. 下滑x时: 对t求导: 可得:

  19. R O m k  x 例题4. 已知: 如图滑块质量为m, 滑轮半径为R, 转动惯量为J,弹簧劲度系数为k, 斜面角度为. 不计摩擦. 当弹簧无形变时将滑块由静止释放. 求(1)滑块下滑x时的加速度; (2) 下滑的最大距离. 解: (2) 设滑块由静止释放沿斜面 下滑的最大距离为S, 则以A,B,C 为系统, 其机械能守恒. 原点为势能零点. 得

  20. 4.4 刚体的定轴转动定律 动能定理 刚体绕定轴的转动定律 刚体在作定轴转动时, 刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比, 与刚体的转动惯量成反比.

  21. (1) 对m: (2) 对m0: (3) 由初始条件 ,得 例题5. 如图,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联, 绳子质量可以忽略, 它与定滑轮之间无滑动. 假设定滑轮的质量为m0 ,半径为R, 其转动惯量为m0R2/2, 滑轮轴光滑. 试求该物体由静止开始下落的过程中, 下落速度与时间的关系. 解: 由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律: 恒矢量,与时间无关. 联立(1),(2),(3)解得:

  22. dr o R r 例题6. 一半径为R, 质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上. 若它的初始角速度为0, 绕中心O旋转, 问经过多长时间圆盘才停止.(设摩擦系数为) 解：

  23. A C B 质心 O 例题7. 一质量为m, 长为l的均质细杆, 转轴在O点, 距A端l/3. 今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求: (1)水平位置的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度. 解: 平行轴定理 转动惯量: (1)

  24. A C B 质心 O 例题7. 一质量为m, 长为l的均质细杆, 转轴在O点, 距A端l/3. 今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求: (1)水平位置的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度. 解: (2)

  25. 称为dt时间内刚体所受合外力矩的冲量矩. 4.5 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律 4.5.1 角动量 冲量矩 角动量定理 由转动定律 角动量 角动量定理 刚体在t1t2时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量的增量.

  26. 4.5.2 角动量守恒定律 角动量守恒定律: 刚体所受合外力矩为零, 则刚体的角动量保持不变.

  27. F´ R M m r F 例题8.一半径为R, 质量为M的实心橡胶轮以角速度0绕轴转动, 另一半径为r, 质量为m的小橡胶轮静止. 现使小轮与大轮接触. 问: 两个轮子最后的角速度为多少? 解:由角动量定理:

  28. 物体系的角动量守恒 对有几个物体或质点构成的系统, 若整个系统所受对同一转轴的合外力矩为零, 则整个物体系对该转轴的总角动量守恒.

  29. 例题9. 一质量为M, 半径为R的转台, 可绕中心轴转动. 设质量为m的人站在台的边缘上. 初始时人、台都静止. 若人相对于台沿边缘奔跑一周, 问: 相对于地面而言, 人和台各转过了多少角度? 解: 人和盘组成系统.人走动时系统对轴的合外力矩为0,因此系统角动量守恒.

  30. 例题9. 一质量为M, 半径为R的转台, 可绕中心轴转动. 设质量为m的人站在台的边缘上. 初始时人、台都静止. 若人相对于台沿边缘奔跑一周, 问: 相对于地面而言, 人和台各转过了多少角度?

  31. 4.6 固体的弹性 刚体是理想模型, 实际物体受外力作用时形状或多或少地会发生变化. 若外力不很大时物体形状变化也不大, 去掉外力后物体完全恢复到原来的形状, 称这样的物体为变形体,物体相应的形变为弹性形变. 若作用在物体上的外力很大,引起物体的形变也很大,除掉外力后物体就不能完全恢复到原样,这种特性称之为物体的塑性. 物质是由大量的分子组成的,弹性来源于分子间的相互作用力. 从宏观上看可以把整个物体看成由原子、分子组成的连续介质, 这时只需研究这种连续介质体受力与整体形变的关系, 不必考虑物体中每个分子受力的行为.

  32. 应力 假想在物体内部任取一平面S(面元的取向可以是任意的),此平面将物体分开为两部份,若分布在此截面两边的内力变化为F与-F，则定义平面上的应力为 对实际物体来说,如果受到的是拉力或压力,则假想平面的法线取为沿外力的方向,把上式定义的应力称为张应力或正应力,当外力是压力时(F= -F)也称为压应力.图示中假想平面A两边内力的变化,故张应力的大小就是

  33. 若作用在物体上的外力是力偶,则假想平面A取为与外力平行,定义的应力称为切应力或剪应力.在图中假想平面两边内力的变化,所以假想平面上剪应力的大小为 剪应力与张应力的差别只是应力在平行于假想平面还是在垂直于假想平面上投影, 但它们的作用效果完全不同.

  34. 应变 当物体受外力作用时其长度、形状及体积都可能发生变化,这种变化与物体原来的长度、形状及体积之比称为应变. 每一种应力都有一对应的应变, 张应力作用引起的应变称为张应变. 设有一柱状物体, 原长度为L0, 施以拉力F后物体的长度变为L, 这时柱体的伸长量为L－L0, 由定义

  35. 物体受剪应力作用产生的应变叫做切应变.设物体为矩形物体,图中虚线表示物体原来的形状,受剪应力后物体的形状变成实线所示的形状.剪应力产生的应变大小可用角形变确定,在弹性范围内实际很小,可x用和L0的比值表示(以弧度为单位). 剪应变也可以看成是沿物体对角线方向的拉伸与压缩形变. 定义 立方体受各个方向的压力F作用时,体积发生变化,相应的形变称体应变. 即

  36. 胡克定律 在弹性范围内任一弹性体内的应力和应变成正比,比例系数为弹性体的弹性模量, 这一结论称为胡克定律. 物体单纯受张应力或压应力作用时,在正比极限范围内,其应力与应变的比值称为杨氏模量. 剪切的情况下,切应力与切应变的比值称为切变模量. 体变的情况下,压强与体应变的比值称为体变模量.

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