数值积分与数值微分

数值积分与数值微分 第1小组第4次讨论

题目： 椭圆积分在物理学中有很广泛的应用，通常需要估计椭圆积分的值或上下界。现有一个椭圆积分：请设计方法计算这个积分值的范围（给出上下界），要求对积分的估计尽可能的精确，并评价你们的方法。

(1) 由明显的不等式：立即得到椭圆积分的上界和下界估计： (2)

为了得到更精确的上下界，我们需要两个预备定理为了得到更精确的上下界，我们需要两个预备定理预备定理1：设f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内存在两阶导数， (1)若，则 (2)若，则

证明： 记其中

由拉格朗日中值定理

同理有 （1）当时，易知为[a,b]内的单调递减函数，故有即：

同样由可知是[a,b]内的单调递增函数，故有 （2）当时，同理得到不等式综上述得到不等式证毕！

预备定理2： 设f(x)在[a,b]上有四阶连续导数

椭圆积分的上界和下界 (x+3/2*x^2)/(4-x^2-x^3)^(3/2) 1/4*(16+8*x^2+20*x^3+48*x+15*x^4)/(4-x^2-x^3)^(5/2) 3/8*(96*x+384*x^3+56*x^4+368*x^2+70*x^5+128+35*x^6)/(4-x^2-x^3)^(7/2) 3/16*(768+13056*x^2+7296*x^3+12128*x^4+7776*x^5+1008*x^6+7680*x+840*x^7+315*x^8)/(4-x^2-x^3)^(9/2)

显然,函数f ( x) 在[0 ,1 ] 连续,且在(0 ,1) 内f″( x) > 0 ,根据预备定理1立即得到

直接计算不难求出

由此求得椭圆积分的上界和下界的一个估计如下：由此求得椭圆积分的上界和下界的一个估计如下：由原式我们易得到f(x)的四阶导数大于0 根据预备定理2有：

求得椭圆积分的另两个上界： 上述不等式中，第二个不等式更好.

继续寻找更精确的下界 将函数f ( x) 泰勒展开为如下的级数

　　在级数展开式中不难发现每一加项在区间[0 ,1 ]上都是非负的, 因而任何有限个加项都构成f ( x) 的下界函数,特别将n取到2时，就有由此又可求得椭圆积分的一个下界：　　类似的，随着n 取值的增多,可以得到不断改进的结果，兼顾精度与计算量，我们将n取到4时，可得到更精确的下界：0.547488

综上所述， 我们可以得到该椭圆积分的区间如下:

Romberg算法求积分近似值 准备初值，计算利用公式计算梯形值按加速公式逐个求出T数表

由表可知，上述结果的精度约为 | 0.5479624 - 0.5479761 | ≈ 10-5 通过近似值的计算，可以看到积分范围的估计是完全正确的，但却不够精确，尤其是上界的估计。在实际计算中，虽然运用Gauss公式可能得到较高的精度，但却需要解一个包含了2n+2个未知数的非线性方程组，计算量相当大，而Romberg算法利用最初级的计算即可得到较为满意的精度，具有较高的现实意义。

数值积分与数值微分

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