Nichstandard-Analaysis

1. Nichstandard-Analaysis Thema für die Schule?

2. Gliederung: • Aufgaben • Was ist Nichtstandard-Analysis? • Bedeutung für die Schule • Diskussion

3. Aufgaben Bitte bearbeitet gemeinsam in euren Gruppen die vor euch liegenden Aufgaben. Ihr habt dazu ca. 5 Minuten Zeit.

4. II. Was ist Nichtstandard-Analysis? • Weitere Strömung der Analysis • Bestehen schon (fast) immer nebeneinander • Herangehensweise ohne den abstrakten Begriff des Grenzwertes • 1. Modell: 1960er Jahre durch Abraham Robinson (Axiomatische Grundlegung)

5. II. Was ist Nichtstandard-Analysis? • Näher an den Ideen der Gründer der Infinitesimalrechnung Newton und Leibniz • Gibt Infinitesimalzahlen: - Zahlen, die näher bei 0 als jede reelle Zahl ≠ 0 - Zahlen, die >, bzw. < als jede reelle Zahl

6. III. Bedeutung für die Schule • Beginn: Kenntnisse über Zahlbereiche IN, Z, Q, IR auffrischen • Dann: über Zahlenfolgen Konstruktion des Nichtstandard-Zahlbereiches (+ Eigenschaften) über Funktionenfolgen Nichtstandard-Funktionen einführen

7. III. Bedeutung für die Schule • Zahlenfolgen sind entscheidender Zugang auch zum Nichtstandard-Zahlbereich → Beispielvorrat benötigt (Arbeitsblatt) • Was kann GW bedeuten? Gibt es GWs? Welche? Warum nicht? • Kann Probleme auch gut verpacken (Arbeitsblatt)

8. III. Bedeutung für die Schule • Zentrale Frage: Wie kann man sinnvoll mit Folgen ohne GW umgehen? • Traditionelle vs. Andere Sicht:

9. III. Bedeutung für die Schule

10. III. Bedeutung für die Schule • Traditionelle Mathematik: Jede Cauchy-konvergente Folge bestimmt reelle Zahl. • Hier: Jede Folge (auch divergente) bestimmt Zahl. → gibt unendl. große und unendl. kleine Zahlen

11. III. Bedeutung für die Schule • Def.: x* heißt unendlich klein ∀n∈IN: Ix*I < 1/n • Nichtstandard-Zahlen als Argumente und Funktionswerte in Funktionen: - einfachster Fall ist Übertrag → f(x)=2x, x∈IR; f(x*)=f(x1, x2,...)=2x*, x*∈*IR =(2x1, 2x2,...)=(f(x1), f(x2),...)

12. III. Bedeutung für die Schule • Komplizierter, wenn Fkt. nicht alle gleich: f(x1, x2,...)=(x1, x2², x3³,...) • heißen interne Funktionen (Beispiele siehe Arbeitsblatt)

13. III. Bedeutung für die Schule Stetigkeit: • Def.: (klassisch) f ist stetig in a∀ε∃δ∀x: Ix-aI<δ → If(x)-f(a)I< ε. • Def.: (nichtstandard) f ist stetig in a∀x*∈*IR: x*≈a → f(x*)≈f(a).

14. III. Bedeutung für die Schule Differenzierbarkeit: • Def.: (klassisch) f ist diff`bar an Stelle x mit Ableitung f`(x)limh → 0 [f(x+x)-f(x)]/x =f`(x) mit eindeutigem f`(x). • Def.: (nichtstandard) f ist diff`bar an Stelle x mit Abl. f`(x)∀0≠IdxI<<1: [f(x+dx)-f(x)]/dx≈ f`(x) mit eindeutigem f`(x) (x*=dx).

15. III. Bedeutung für die Schule Anmerkungen zum Unterricht: • Schüler haben mit unendlich großen, bzw. kleinen Zahlen nicht mehr Probleme als mit reellen, bzw. komplexen Zahlen. • IN, Z, Q sind konkret fassbar • IR, C, *IR sind als Idee vorstellbar, der Umgang mit ihnen bringt Verständnis

16. IV. Diskussion • Ist die Nichtstandard-Analysis ein Thema für die Schule? • Wenn ja, in welcher Form? • Wie führt man sie ein? Vor, während oder nach der Standard-Analysis?

17. Danke für eure Aufmerksamkeit! Und schöne Semesterferien!