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Kapitel 18 Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter

Kapitel 18 Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter. AR(1)-Modell: Schätzer für j. Für das AR(1)-Modell Y t = j Y t-1 + u t gelte: | j | < 1, u t ist Weißes Rauschen; verletzte Annahme 4 (Exogenität der Regressoren) OLS-Schätzer:

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Kapitel 18 Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter

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  1. Kapitel 18Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter

  2. AR(1)-Modell: Schätzer für j Für das AR(1)-Modell Yt = jYt-1+ut gelte: |j| < 1, ut ist Weißes Rauschen; verletzte Annahme 4 (Exogenität der Regressoren) OLS-Schätzer: Aus Yt = Sijiut-i sieht man, dass der Erwartungswert von StYt-iut nicht den Wert Null hat: • Der OLS-Schätzer für j ist nicht erwartungstreu! Es lässt sich zeigen: • der OLS-Schätzer für j ist konsistent • Ist asymptotisch normalverteilt

  3. Schätzverfahren für dynamische Modelle Themen sind das Schätzen der Parameter folgender Modelle: • DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen • ADL-Modell • Modell mit Koyck‘scher Lagstruktur

  4. DL(s)-Modell Probleme beim Schätzen der Koeffizienten des Modells Yt = a + b0Xt + … + bsXt-s + ut sind: • „Verlust von Beobachtungen“: es stehen nur n - s Beobachtungen zur Verfügung • Multikollinearität • Ordnung s (meist) nicht bekannt Zusätzliches Problem kann sein: • korrelierte Störgrößen, z.B. AR(1)-Prozess ut = rut-1+ et mit Weißem Rauschen e (Varianz s2)

  5. DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen Modell: Yt = a + b0Xt + … + bsXt-s + ut mit ut = rut-1+ et (e: Weißes Rauschen) Alternative Darstellungen (mit Störgrößen e) • ADL-Form Yt = ar + rYt-1 + br0Xt + … + br,s+1Xt-s-1 + et mit ar = a(1 –r), br0 = b0, br1 = b1 –rb0, …, br,s+1 = –rbs ADL(1,s+1)-Modell • Modell in Quasi-Differenzen: Y*t = a + b0X*t + … + bsX*t-s + et mit Y*t = Yt–rYt-1, X*t = Xt–rXt-1

  6. Beispiel: DL(1)-Modell mit korrelierten Störgrößen Modell Yt = a+b0Xt + b1Xt-1 + ut mit Störgrößen ut = rut-1+ et (e: Weißes Rauschen) • ADL(1,2)-Form: Yt = d + rYt-1 + d0Xt + d1Xt-1 + d2Xt-2 + et mit d = a(1 –r), d0 = b0, d1 = b1 –rb0, d2 = –rb1 ADL(1,2)-Modell • Modell in Quasi-Differenzen: Y*t = a + b0X*t + b1X*t-1 + et mit Y*t = Yt–rYt-1, X*t = Xt–rXt-1

  7. Beispiel: Konsumfunktion Datensatz DatS04: Konsum und Einkommen für Österreich (1976:1 bis 1995:2) In logarithmierten Differenzen: Ĉ = 0.009 + 0.621Y mit t(Y) = 5.94, adj.R2 = 0.326; r = 0.344 ADL(1,1)-Form: Ĉ = 0.004 + 0.345C-1 + 0.622Y – 0.131Y-1 mit t(C-1) = 2.96, t(Y) = 4.81, t(Y-1) = -0.87, adj.R2 = 0.386; r = 0.024 Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0.344C-1, Y* = …): Ĉ* = 0.006 + 0.651Y* mit t(Y*) = 5.42, adj.R2 = 0.288; r = 0.051

  8. DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen: Schätzer Eigenschaften der OLS-Schätzer: • DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen: • erwartungstreu und konsistent • nicht effizient; verzerrte Schätzer der Standardfehler (unterschätzt, wenn r > 0) • ADL-Form: • Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung, verzerrte, aber konsistente Schätzer • nicht-lineare Normalgleichungen • ADL-Form, Quasi-Differenzen-Form: • Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung • nicht-lineare Normalgleichungen

  9. Schätzen der ADL-Form Yt = ar + rYt-1 + br0Xt + … + br,s+1Xt-s-1 + et Konsequenzen des Summanden rYt-1: OLS-Schätzer sind verzerrt (siehe oben) Alternative: Instrumentvariablen-Schätzung • konsistent • von der Wahl der Instrumente abhängig

  10. Beispiel: DL(0)-Modell Modell: Yt = a+bXt + ut mit ut = rut-1+ et (e: Weißes Rauschen) ADL(1,1)-Modell: Yt = d + rYt-1 + bXt + d1Xt-1 + et mit d = a(1 –r), d1 = - rb IV-Schätzung • Hilfsvariable: Ŷt = c0 + c1Xt-1 + c2Xt-2 + … Ordnung der Lagstruktur: z.B. AIC • Ersetzen von Yt-1 im ADL(1,1)-Modell durch Ŷt-1 und OLS-Anpassung

  11. Schätzen der Quasi-Differenzen-Form Modell: Y*t = a + b0X*t + b1X*t-1 + et mit Y*t = Yt–rYt-1, X*t = Xt–rXt-1 Berechnung der Quasi-Differenzen: Voraussetzung ist ein Schätzer für r Zweistufiges Verfahren (vergl. Cochrane-Orcutt-Schätzer, FGLS-Schätzung) • OLS-Schätzer für r, Berechnung der Quasi-Differenzen • OLS-Schätzer der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form

  12. Beispiel: DL(1)-Modell Modell: Yt = a+b0Xt + b1Xt-1 + ut mit ut = rut-1+ et (e: Weißes Rauschen) Cochrane-Orcutt-Schätzer: • OLS-Schätzer a, b0, b1 (unter Annahme, dass r = 0); Berechnung der Residuen et = Yt – (a + b0Xt + b1Xt-1) und Berechnung der Quasi-Differenzen Y*t = Yt – rYt-1, Xt* = … • OLS-Schätzung der Koeffizienten aus Y*t = a+b0X*t + b1X*t-1 + et

  13. Schätzen von r Residuen zum Berechnen der Schätzfunktion • OLS-Residuen • IV-Residuen r ist konsistenter Schätzer Iteratives Berechnen: • Schätzung der Koeffizienten unter der Annahme r = 0, Berechnen von r(1) und der Quasi-Differenzen • Schätzung der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form, Berechnen von r(2) und verbesserter Quasi-Differenzen • Wiederholung, bis ein Abbruchkriterium erfüllt ist

  14. ADL-Modell: korrelierte Störgrößen ADL(1,1)-Modell Yt = a + jYt-1 + b0Xt + b1Xt-1 + ut mit ut = rut-1 + et Verallgemeinerung der ADL-Form eines DL-Modells mit korrelierten Störgrößen; schwächere Eigenschaften (z.B.: Schätzer r für r ist nicht konsistent) Schätzverfahren: • IV-Schätzung • FGLS-Schätzung • Direkte Schätzung (nicht-lineare Optimierung)

  15. Konsumfunktion, Forts. ADL(1,1)-Form: Ĉ = 0.004 + 0.345C-1 + 0.622Y – 0.131Y-1 mit t(C-1) = 2.96, t(Y) = 4.81, t(Y-1) = -0.87, adj.R2 = 0.386; r = 0.024 Bei korrelierten Störgrößen: Schätzer sind verzerrt und nicht konsistent! Hilfsvariable: CIV = 0.008 + 0.545Y + 0.127Y-1 IV-Schätzung Ĉ = – 0.011 + 2.149CIV-1 + 0.504Y – 1.197Y-1 mit t(C IV0-1) = 2.11, t(Y) = 3.79, t(Y-1) = -1.88, adj.R2 = 0.342

  16. IV-Schätzung ADL(1,1)-Modell Yt = a + jYt-1 + b0Xt + b1Xt-1 + ut mit ut = rut-1 + et (e Weißes Rauschen) Instrumente: X-j, j > 1 Verfahrens-Schritte: • Bestimmen der Hilfsvariablen Ŷt = c0 + c1Xt-1 + c2Xt-2 + … mit geeigneter Ordnung der Lagstruktur • Ersetzen von Yt-1 durch Ŷt-1; OLS-Anpassung IV-Schätzer sind nicht erwartungstreu, aber konsistent; auch asymptotisch nicht effizient

  17. Konsumfunktion, Forts. DL(1)-Modell: Ĉ = 0.007 + 0.545Y + 0.127Y-1 mit t(Y) = 4.07, t(Y-1) = 0.97, adj.R2 = 0.316; r = 0.276 FGLS-Schätzung: Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0.276C-1, Y* = …): Ĉ* = 0.006 + 0.634Y* + 0.020Y*-1 mit t(Y*) = 5.08, t(Y*-1) = 0.16, adj.R2 = 0.282

  18. Nicht-lineare OLS-Schätzung ADL(1,0)-Modell Yt = jYt-1 + bXt + ut mit ut = rut-1 + et Einsetzen liefert Yt = (j+r)Yt-1 – rjYt-2 + bXt – rbXt-1 + et Gauß-Newton Algorithmus: Minimiert die Summe der quadrierten Residuen • Wahl von Startwerten für r, j, b • Iteration von (a) Berechnen der Residuen, (b) Berechnen der Korrekturen aus Regressionen der Anstiege, (c) Korrektur der Parameter • Wiederholen von 2., bis Korrekturen sehr klein

  19. Nicht-lineare OLS-Schätzung EViews bietet nicht-lineare OLS-Schätzung als Option; dabei werden alle Parameter simultan geschätzt Schätzen von l durch Intervallschachtelung: • Wahl von drei Werten von l; für jedes l: • Berechnen von Wt = Xt + lXt-1 + … + lt-1X1 und lt • OLS-Anpassung liefert Schätzer für a, b0, b* • Berechnen der Summe der quadrierten Residuen • Ausscheiden des l mit größter Summe der quadrierten Residuen; neues l: Mittelwert der anderen beiden l, Wiederholen des Schrittes 1. • Abbruch, wenn l mit kleinster Summe der quadrierten Residuen gefunden

  20. Koyck‘sche Lagstruktur: Schätzen der Parameter DL (distributed lag)- oder MA (moving average)-Form des Modells Yt = a + b(1-l) SiliXt-i + ut Schätz-Problem: Historische Werte X0, X-1, X-2,… sind unbekannt! Näherungsweise äquivalentes Modell ist Yt = b(1-l)(Xt + lXt-1 + … + lt-1X1 + b*lt + ut mit b* = b(1-l)(X0 + lX-1 + … ) als weiterem Parameter (siehe unten) AR (autoregressive)-Form Yt = a(1-l) + lYt-1 + b(1-l) Xt + vt mit vt = ut – lut-1: ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen Schätz-Problem: nicht-lineare Normalgleichungen (Gauss-Newton)

  21. Koyck‘sche Lagstruktur: Schätzen der DL-Form Yt = a + b(1-l) SiliXt-i + ut Näherungsweise äquivalentes Modell ist Yt = a + b(1-l)(Xt + lXt-1 + … + lt-1X1) + b*lt + ut = a + b0Wt + b*lt + ut mit b0 = b(1-l) b* = b(1-l)(X0 + lX-1 + … ) Wt = Xt + lXt-1 + … + lt-1X1 Nicht-lineares Schätzproblem!

  22. Tests auf Autokorrelation Sind allgemeiner Hinweis auf Missspezifikation Durbin-Watson-Test hat reduzierte Macht bei autoregressivem Modell Tests auf Autokorrelation bei autoregressiven Modellen: • Durbin‘s h • LM-Test von Breusch-Godfrey • andere

  23. Durbin‘s h ADL(1,0)-Modell Yt = jYt-1 + b0Xt + ut mit ut = rut-1 + et (e: Weißes Rauschen) Nullhypothese H0: r = 0 d: Durbin-Watson-Statistik Unter H0: h~ N(0,1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n)

  24. Breusch-Godfrey-Test ADL(1,0)-Modell Yt = jYt-1 + b0Xt + ut mit ut = rut-1 + et (e: Weißes Rauschen) Nullhypothese H0: r = 0 • Regression der OLS-Residuen et auf Yt-1, Xt und et-1; Re2 • Teststatistik LM(A) = nRe2 Unter H0: LM(A) ~ c2(1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n)

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