§5 多维随机变量的函数的分布

1. §5 多维随机变量的函数的分布

2. 与一维随机变量的情形类似，若已知多个随机变量(X1,X2,…,Xn)的联合分布,需要确定它们的函数 Z=g(X1,X2,…,Xn) 的分布。以下介绍几种常见的多个随机变量的函数的分布，且以两个随机变量的函数和连续型随机变量为主。 一、Z=X+Y的分布 先考虑(X，Y)是离散型且X与Y相互独立的场合，不失一般性，设X和Y都取非负整数值，各自的概率分布为{ak}及{bk}，下面来计算随机变量Z=X+Y的分布律。因为

3. {Z=r}={X=0，Y=r}∪{X=1，Y=r-1}∪… ∪{X=r,Y=0} 利用独立性的假定得到 cr=P{Z=r}=a0br+a1br-1+…+arb0,r=0,1,2,…, 这就是求离散型独立随机变量和的概率分布公式——离散卷积公式，亦称离散褶积公式。 在X与Y非独立时，Z=X+Y分布律的求法类似。

4. 例1 (泊松分布对和的封闭性) 设X1，X2独立， 证：因为 ， 及X1,X2独立,故

5. 例2 设离散型r,v.(X,Y)的联合分布律如下： (X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) Pij1/18 5/18 3/18 3/18 4/18 2/18 求(1)X+Y的分布律，(2)MAX(X,Y)的分布律 解：先列如下的草表,Z=X+Y,T=MAX(X,Y) (X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) Z 2 3 4 3 4 5 T 1 2 3 2 2 3 Pij1/18 5/18 3/18 3/18 4/18 2/18 再由概率的加法原理,进行相应的合并则可得 Z=X+Y和T=MAX（X，Y）的分布律为：

6. Z=X+Y 2 3 4 5 概率 1/18 8/18 7/18 2/18 T=MAX(X,Y) 1 2 3 概率 1/18 12/18 5/18 现在来考虑(X,Y)是连续型随机变量,设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为 y 如图，积分区域G：x+y≤z是直线x+y=z的左半平面，化成累次积分得 x+y=z x o

8. 例3 已知X,Y独立同分布且X~U (0,1)，求X+Y的概率密度函数。 x 解：由题设X,Y独立。 z=x z=x-1 1 z 0 2 1

10. 例4 X,Y互相独立， 证明：Z=X+Y的p.d.f.为正态概率密度，即： 证明：

11. 若 其中 ，即X,Y不独立，求Z=X+Y的p.d.f.，则有： 为证上述结论，只需利用公式 的联合概率 及 密度函数代入 即可得到以上结论。 若 且它们相互 独立，则它们的和Z=X1+X2+...+Xn仍然服从正态分布，且有：

12. 更一般的，可以证明，任意有限个正态随机变量（可以不独立）的线性组合仍然服从正态分布。更一般的，可以证明，任意有限个正态随机变量（可以不独立）的线性组合仍然服从正态分布。 两个随机变量的差Z=X-Y的分布讨论与和的情形类似。例如，在离散型场合，若已知(X,Y)的联合分布律为 P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…, 则Z=X-Y的分布律为

13. 在连续型场合，若已知(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y)，Z=X-Y,则Z的分布函数为

14. 例5设离散型随机向量(X,Y)的联合分布律为 x 0 1 2 Y 0 1/8 1/4 0 1 1/8 1/4 1/4 求Z=X-Y的分布律 解 （X,Y） (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) Z=X-Y 0 -1 1 0 2 1 概率 1/8 1/8 1/4 1/4 0 1/4 则 Z=X-Y的分布律为 Z=X-Y -1 0 1 2 概率 1/8 3/8 1/2 0

15. 例6 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 y 试求Z=X-Y的概率密度函数。 解：如图所示，当z<-1时 1 FZ(z)=0 当-1<z<0时 x-y=z x o 1 z

16. 当0<z<1时, 当z≥１时，FZ(z)=1

17. 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y), y D1 o x D2

18. 例7 设X与Y相互独立,它们的密度函数分别为

20. 3 顺序统计量的分布 定义 设 ,为n维随机向量。 按从小到大顺序排列,记为 将 称 的顺序统计量。 为 例:设一随机实验是每次投掷红白二颗骰子,记 为相应的点数。如第一次试验结果 是 ,则 如第二次结果是 则 显然 称 为极小量， 为极大量，

21. 为极差。 顺序统计量在工程管理等领域有重要应用。本章仅限制在 相互独立条件 下讨论。 1 极大、极小分布 这里直接利用定义与事件转化的方法求之。 注意到

23. 例8 设系统L由两个独立工作的电子元件L1,L2联接而成。联接的方式分别为（1）串联，（2）并联，设L1,L2的寿命分别为X,Y,已知它们的密度函数分别为：

24. 解（1）串联的情况 由于当L1,L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，因而系统L的寿命为Z=min(X,Y),我们可以求得X,Y的分布函数分别为

25. 串联系统 并 联系统 L1 L1 L2 L2 （2）并联的情况 由于当L1,L2中都损坏时，系统L才停止工作，因而系统L的寿命为Z=max(X,Y),于是得Z=max(X,Y)的分布函数为

26. 下面来看看其它多个随机变量的函数的分布。 例9 设随机变量X与Y相互独立，且都服从标准正态分布，试求Z=X2+Y2的概率分布。 解

28. 上面求连续型随机向量函数的分布都是通过求分布函数的一般方法来求的，我们通常还利用随机向量相应的变量变换来求(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的概率分布。上面求连续型随机向量函数的分布都是通过求分布函数的一般方法来求的，我们通常还利用随机向量相应的变量变换来求(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的概率分布。 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为 其中G为平面区域(可以为无界区域),边界为分段光滑曲线。我们作一适当的变量变换 其中u=g(x,y)对应于Z=g(X,Y)的取值变量，而v=h(x,y)为任一选定的辅助变换变量，其原则是便于运算且满足 （1）存在唯一的逆变换（反函数）

29. (2)存在连续的一阶偏导数,且雅可比(Jacobi)行列式(2)存在连续的一阶偏导数,且雅可比(Jacobi)行列式 则根据二重积分及变量变换的有关性质，Z=g(x,y)的分布函数为

30. 由密度函数的定义知，Z=g(X,Y)的密度为 实际上,此时Z=g(X,Y),W=h(X,Y)构成的随机向量(Z,W)的联合密度为 其中G*为G在变换T下的象域：即G*=T(G). 例10 设随机变量X与Y相互独立，且都服从标准指数分布，即他们的密度函数均为 的联合概率密度,并判定U,V的独立性。

31. 解：(X,Y)的概率密度为 变换为 解出逆变换为 雅可比行列式为 在变换之下，区域G={(x,y)|x>0,y>0}与 G*={(u,v)|u>0,v>0}一一对应。随机向量变换的其它条件均满足,因此由定理可得(U,V)的概率密度函数为

32. 并有f(u,v)=fU(u)fV(v),所以随机变量U与V是相互独立的。并有f(u,v)=fU(u)fV(v),所以随机变量U与V是相互独立的。

33. 例11 设随机变量X与Y相互独立,且都服从标准指数分布,即他们的密度函数均为 求Z=X-Y的密度函数。 解：(X,Y)的概率密度为 对应于Z=X-Y，作变换 其逆变换为 而 因仅在u+v>0,v>0,即 v>-u，v>0上 f(x(u,v),y(u,v))≠0

34. 当u<0时， 故Z=X-Y的密度函数为

35. 例12 (例题7)设X与Y相互独立,它们的密度函数分别为 X与Y的联合密度为 解 ,解出逆变换为 雅可比行列式为

36. 在变换之下,区域G={(x,y)|x>0,y>0}与G*={(u,v)|u>0,v>0}一一对应。随机向量变换的其它条件均满足,因此由定理可得(Z,V)的概率密度函数为在变换之下,区域G={(x,y)|x>0,y>0}与G*={(u,v)|u>0,v>0}一一对应。随机向量变换的其它条件均满足,因此由定理可得(Z,V)的概率密度函数为

37. 即 注:若 在G*上反函数不唯一，设有k个反函数 这时G *中一个点对应着G k个点,将G分成k个部分,D1,D2,…,Dk，使每个Di与G *一一对应,那么二维随机向量(Z,V)的密度函数为 其中

38. 例13 设X1,X2相互独立，都服从N(0,σ2)分布，试求 的联合概率密度。 解 （X1,X2）的联合概率密度为 ,解得两个反函数 由 和

39. 同样有 ,由随机向量变换公式 变换的值为域 得（Y1,Y2）的联合概率密度为 易知，Y1的概率密度为 （瑞利分布）

40. Y2的概率密度为 （柯西分布） 并且Y1,Y2相互独立。