Mersennovo prvočíslo

1. Mersennovo prvočíslo Jiří Kuczaj V.A

2. Mersennovo prvočíslo • je takové prvočíslo, které je o jedna menší než celočíselná mocnina dvojky, tzn. je tvaru Mp= 2p − 1 • Příkladem Mersennova prvočísla je 7 = 2³ − 1. Naproti tomu například Mersennovo číslo 24 − 1 = 15 není prvočíslem (je to složené číslo, 15 = 3 · 5).

3. Mersennovo prvočíslo • Lze snadno ukázat, že pokud má být číslo 2n − 1 prvočíslem, musí být prvočíslem i exponent n: • Mersennovaprvočísla mají těsný vztah s dokonalými čísly (čísla, která jsou rovná součtu svých vlastních dělitelů), tento fakt byl také prvotním důvodem pro studium tohoto druhu prvočísel. Už ve 4. století př. n. l. Eukleidés dokázal, že pokud Mje Mersennovo prvočíslo, pak M(M+1)/2 je dokonalé číslo. V 18. století pak dokázal Euler, že takovou formu mají všechna sudá dokonalá čísla. (Nejsou známa žádná lichá dokonalá čísla a předpokládá se, že žádná neexistují.) • V současné době není známo, zda je Mersennových prvočísel nekonečně mnoho.

4. Historie • Tato čísla jsou pojmenována po francouzském matematikovi Marinu Mersennovi (1588–1648), který sestavil seznam takových prvočísel s exponenty do 257; jeho seznam však obsahoval chyby: nesprávně zahrnoval M67 a M257 a naopak v něm chyběly M61, M89, M107. Mnoho prvočísel v tomto tvaru je však známo už výrazně déle.

5. Hledání čísel • Pro hledání Mersennových prvočísel existují specializované velice rychlé metody (oproti obecným metodám pro hledání či testování libovolných prvočísel), což je důvod, proč největší známá prvočísla jsou právě Mersennovými prvočísly. • V současné době nejrychlejší metoda testování prvočíselnosti Mersennových čísel spočívá ve výpočtu rekurentní posloupnosti, vyvinutá v roce 1878 EdouardemLucasem a vylepšená Lehmerem ve 30. letech 20. století, známá jako Lucasův-Lehmerův test. Tento test je založen na faktu, že Mersennovo číslo je prvočíslem tehdy a jen tehdy, pokud dělí číslo , kde (a ).

6. Hledání čísel • Převratem ve vyhledávání Mersennových prvočísel byl příchod počítačů. První počítačem nalezené Mersennovo prvočíslo, M521, bylo nalezeno v 22:00 30. ledna 1952 na počítači na UCLA, pod Lehmerovým vedením, pomocí programu sestaveného profesorem Robinsonem. Od nalezení předchozího Mersennova prvočísla tehdy uběhlo už 38 let, následující prvočíslo (M607) pak bylo nalezeno za necelé dvě hodiny, v dalších měsících pak stejný program nalezl tři další. • V roce 1996 vznikl na Internetu projekt GIMPS pro distribuované vyhledávání Mersennových prvočísel. Tento projekt dosud objevil třináct největších známých Mersennových prvočísel (tzn. i největší dnes známé prvočíslo).

7. Dosud není známo, zda mezi 41. a 47. existují některá dosud neobjevená Mersennova prvočísla, číslování je zde proto pouze dočasné. V současnosti je známo 47 Mersennových čísel

8. Konec