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兒童分數概念能力面向之探討

兒童分數概念能力面向之探討. 國立台北教育大學 教育心理與諮商學系 林俊吉、吳毓瑩. 研究動機. 分數概念包含許多意義。 部分 / 全部、子集 / 集合、數線上的一個點、比、商（ Dickson, 1984 ）。 不同分數意義下的情境變化非常多，學生需要許多表徵方式來表達其分數概念。 學生會運用「圖形」、「符號」、「語言」「真實情境」、「具體操作」五種不同表徵將其想法表現出來，以達成溝通的目的（ Behr, Wachsmuth, Post & Lesh, 1988 ）。. 分數概念的表徵.

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兒童分數概念能力面向之探討

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  1. 兒童分數概念能力面向之探討 國立台北教育大學 教育心理與諮商學系 林俊吉、吳毓瑩

  2. 研究動機 • 分數概念包含許多意義。 • 部分/全部、子集/集合、數線上的一個點、比、商（Dickson, 1984）。 • 不同分數意義下的情境變化非常多，學生需要許多表徵方式來表達其分數概念。 • 學生會運用「圖形」、「符號」、「語言」「真實情境」、「具體操作」五種不同表徵將其想法表現出來，以達成溝通的目的（Behr, Wachsmuth, Post & Lesh, 1988）。

  3. 分數概念的表徵 • 對分數概念精通的學生在表達分數概念時，不管利用何種表徵系統都能清楚表達自己內心對分數概念的想法。 • 分數概念有許多不同的使用情境及解釋，學生在不同的解釋時所使用的認知結構也有所不同。 • 學生需要漫長的時間來發展分數概念，而且這個過程是相當艱苦的（呂玉琴，1991）。 • 學生主要先以圖形表徵來解決分數概念的問題。

  4. 研究動機 • 國內、外對於學童學習分數概念的研究相當多： • 定義分數概念。 • 教科書、分數概念教學順序的安排。 • 學生的表現、錯誤類型。 • 分數概念的測驗評量。 • 研究目的： • 了解國小學童在解決分數概念問題時所運用的能力面向為何。

  5. 分數概念的問題類型 • 分數符號概念 • 瞭解分數符號所代表意義。 • 等分概念 • 判斷內容物分割成幾部分，每一部分是否相等。 • 等量概念 • 比較同分子、同分母、異分子異分母分數 • 等值分數概念 • 約分、擴分、圖形彈性思考 • 單位量概念 • 指認單位量 。

  6. 研究方法 • 施測對象 • 北、中、南三區國小三年級572位、四年級524位、五年級1885位、以及六年級757位學童。 • 共有3738名兒童 。 • 測驗工具 • 蒐集吳宏毅（2002）、游政雄（2002）、劉世能（2002）、陳瑞發（2003）、黃靖瑩（2003）、詹婉華（2003）等人之分數概念研究。 • 共有206題，包含等分概念、分數符號概念、單位量概念、等量概念、等值分數概念等五種重要分數概念。 • 重新整理修訂（內容分析、古典測驗分析、項目反應理論分析）

  7. 研究方法 項目反應理論：垂直等化 • 利用共同試題的設計，可將試題內容的範圍擴大，可使不同題本的分數或試題參數得以連結在相同的能力量尺上。 定錨試題設計

  8. 研究方法 • 分析方式 • 項目反應理論（item response theory , IRT）垂直等化、二參數羅吉斯模式 • 將學生的能力值校準在同一個量尺上以得到每個學生對於每一題的答對機率。 • 變異數分析 • 比較不同年級學生的能力值 • 因素分析 • 利用項目反應理論所估計的機率值作為二級資料，亦即因素分析的資料來源。 • 找尋適當的因素結構解釋兒童解題時的能力面向。

  9. 研究方法 項目反應理論（IRT） a:鑑別度 b:難度 試題特徵曲線 ICC :某一個題目的試題特徵曲線 答對機率 連續型變項 連續型變項

  10. 研究方法 項目反應理論：難度 A B A題比B題簡單

  11. 研究方法 項目反應理論：鑑別度 C D 0.6 0.2 C題比D題更有鑑別力 yes

  12. 等化設計 「◎」表示該試卷上所出現的試題組塊。

  13. 本研究之原始資料 估計學生能力值與試題參數

  14. 本研究之二級資料 因素分析 可估計出各題的ab與學生的能力值θ

  15. 研究結果 能力值比較 • 四個年級的平均能力值θ，由高而低分別為： • 六年級（1.51）、五年級（0.52）、三年級（0.10）、四年級（-0.17）。 • 六年級＞五年級＞三、四年級 • 什麼原因使四年級的能力比三年級低？ 施測時間點

  16. 研究結果 能力折線圖 • 三四年級著重在分數活動，有助於分數計算的成長。 • 分數概念的成熟要到五年級時，才有階段性的成長。

  17. 研究結果 3年級 因素分析 正交轉軸

  18. 研究結果 45年級 因素分析 正交轉軸

  19. 研究結果 56年級 因素分析 正交轉軸

  20. 研究結果 各能力面向題目舉隅 3年級 圖形表徵能力（運用操作圖形的方式作為溝通模式的能力） 語言表徵能力（能夠區辨關鍵文字所在並能掌握字詞意義，是展現處理關鍵文字負荷量的能力。 ）

  21. 研究結果 各能力面向題目舉隅 45年級 直接對應能力(能夠在等分的切斷數與分母相同的線索中，掌握分數部分與全部間對應關係的能力。 ) 彈性思考能力(能在不完全的線索中自行增加線索，或在不相關的線索中能自行排除不相干線索的能力。)

  22. 研究結果 各能力面向題目舉隅 56年級 圖形與符號轉換能力(能夠在等分的切斷數與分母相同的線索中，掌握分數部分/全部對應關係的能力。) 單位量指認能力(能夠正確指認出正確的單位與整體量的能力。 )

  23. 研究結果 因素分析 各能力面向之測驗特徵曲線

  24. 研究結果 表徵系統與能力面向的對應 表徵系統 能力面向 圖形 圖形表徵能力 直接對應能力 符號與圖形的轉換能力 語言表徵能力 彈性思考能力 單位量指認能力 符號 語言

  25. 研究結果 舉例 • 圖形表徵能力 ＆ 直接對應能力 ＆ 符號與圖形轉換能力 • 符號與圖形轉換能力薄弱 採用圖形表徵能力 解決此題：「小政看起來比較寬，小政多。」 • 我們猜測當學生無法處理高難度能力的問題時，學生會採用其熟悉的低難度能力來解決問題，而在解決的過程中由於低難度能力並非解決高難度能力問題的關鍵能力，因此學生才會導致出錯。

  26. 後續研究的建議 • 需要階序模型的驗證，以討論： • 1、「低難度能力」是「高難度能力」的基礎。 • 2、當學生無法處理當下的問題時，會利用前一個能力（熟悉的能力）來處理問題。 • 3、而在解決的過程中由於低難度能力並非解決高難度能力問題的關鍵能力，因此才會導致出錯。

  27. 感謝 • 感謝國科會專題研究「九年一貫數學能力指標的詮釋：分數與小數（呂玉琴、許見行，2004a）」幫忙通力協助施測。 • 此整合型計畫，包含：分數概念能力指標的詮釋（呂玉琴、許見行，2004b）、分數四則運算能力指標的詮釋（李源順等人，2004）、小數能力指標的詮釋（劉曼麗、江愛華、侯淑芬、梁惠珍、鄭寰文，2004）、分數與小數能力指標的評量（吳毓瑩、林俊吉，2004）等四個子計畫，感謝你們。 謝謝大家

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